乘法公式的复习(题型扩展)

1 乘法公式的复习

一、复习:

(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，xyyxx2y2

② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2

③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4

④ 系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤ 换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

⑥ 增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2

x2y2x2y2

x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2

xyzxyzxyzxyz

2x2y2z

4xy4xz

例1．已知2ba，1ab，求22ba的值。

解：∵2)(ba222baba ∴22ba=abba2)(2

∵2ba，1ab ∴22ba=21222

例2．已知8ba，2ab，求2)(ba的值。

解：∵2)(ba222baba 2)(ba222baba

∴2)(ba2)(baab4 ∴2)(baab4=2)(ba

∵8ba，2ab ∴2)(ba562482

例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 2 解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2

（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=24096

=161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982

解：（1）103210032 10022100332 100006009 10609

（2）198220022 20022200222 400008004 39204

例8．计算

（1）a4b3ca4b3c （2）3xy23xy2

解：（1）原式a3c4ba3c4ba3c24b2a26ac9c216b2

（2）原式3xy23xy29x2 y24y49x2y24y4

例9．解下列各式

（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。

（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。

（3）已知aa1a2b2，求222abab的值。

（4）已知13xx，求441xx的值。

分析：在公式ab2a2b22ab中，如果把ab，a2b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。

解：（1）∵a2b213，ab6

ab2a2b22ab132625 ab2a2b22ab13261

（2）∵ab27，ab24

 a22abb27 ① a22abb24 ②

①②得 2a2b211，即22112ab

①②得 4ab3，即34ab

（3）由aa1a2b2 得ab2 3 22221222abababab22112222ab

（4）由13xx，得19xx 即22129xx 22111xx

221121xx 即4412121xx 441119xx

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？

分析：由于123412552

23451121112

34561361192

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。

解：设n，n1，n2，n3是四个连续自然数

则nn1n2n31 nn3n1n21 n23n22n23n1

n23nn23n21 n23n12

∵n是整数， n2，3n都是整数  n23n1一定是整数

n23n1是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例11．计算 （1）x2x12 （2）3mnp2

解：（1）x2x12x22x2122 x2x2x212x1x4x212x32x22x

x42x33x22x1

（2）3mnp23m2n2p223mn23mp2np9m2n2p26mn6mp2np

分析：两数和的平方的推广

abc2 abc2 ab22abcc2 a22abb22ac2bcc2

a2b2c22ab2bc2ac 即abc2a2b2c22ab2bc2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：53532222xyxy 解：原式53259222244xyxy

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2. 计算：111124aaaa

解：原式111224aaa

111448aaa

例3. 计算：32513251xyzxyz

解：原式25312531yzxyzx 4 25314925206122222yzxyxzyzx

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：57857822abcabc

解：原式578578578578abcabcabcabc

101416140160abcabac

四、变用: 题目变形后运用公式解题。

例5. 计算：xyzxyz26

解：原式xyzzxyzz2424

xyzzxyzxyxzyz241224422222

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

12223244222222222222....abababababababababababab

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6. 已知abab45，，求ab22的值。

解：ababab2222242526

例7. 计算：abcdbcda22

解：原式bcadbcad22

2222244222222bcadabcdbcad

例8. 已知实数x、y、z满足xyzxyy592，，那么xyz23（ ）