乘法公式小结与复习

2023年《整式的乘法》教学反思3篇整式的乘法小结教案2023年《整式的乘法》教学反思3篇整式的乘法小结教案1这节课最为欣赏的是通过类比的方法学生自主的掌握单项式乘法法则，不足的是步子较慢，没有完成预设的内容。

这一部分内容主要是要注意运算的法则依据是乘法的交换律，分成三步计算：一是各个单项式的系数相乘，二是同底数幂相乘，三是单独的字母照抄。

这部分的计算中往往会混合了积的乘方，要注意运算的顺序，有乘方的要先算乘方，后算乘法，积的乘方应注意复习巩固。

从学生课堂表现与作业完成情况看，效果还不错，学生整体对法则的掌握较好，但在处理一些涉及符号以及乘除与加减同时出现的一些问题时，出现的错误较多，另外合并同类项与幂的运算法则在运用中也出现混淆的现象。

在整个这一部分的内容教学中，难点与易错点主要是：一、符号不能正确的判断，其中主要是没有注意带符号运算或者没有注意整体思想，漏掉括号或者去括号错误。

二、同时注意整体思想的渗透，作为整体的相反数的的变形，根据指数的奇偶性来判断符号。

三、混合运算中符号及各种运算法则混淆不清，运用还不够熟练。

对这些问题的解决除了加强基本法则运用之外，还应对于综合题目多加练习，以达到巩固提高的目的。

2023年《整式的乘法》教学反思3篇整式的乘法小结教案2本节是学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方后的综合运用，是因式分解的逆运算，也是进行因式分解的基础，其中，单项式乘以单项式是本节的重点，单项式乘以多项式中项的符号的确定是本节的难点，而单项式乘以多项式有转化到单项式与单项式的相乘，因此，掌握好单项式乘以单项式是关键，本人从以下几方面作反思：（1）成功之处也从课本开头的问题引入，具体的数据，问题较简单，学生很快进入了状态，激发了学生求知的兴趣引出本节内容。

然后将上式作适当的变形，用字母表示叙述几个例子，引出单项式乘以单项式法则的内容，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系，符合学生的认知规律，并在得出结论的过程中，与学生一起探讨，注重学生的参与，从课堂学生做习题的情况来看，掌握的比较好。

考试加油!奥利给~
拓广探究
练习2 某种产品的原料提价，因而厂家决定对产 品进行提价，现有三种方案： 方案1：第一次提价p％，第二次提价q％； 方案2：第一次提价q％；第二次提价p％； 方案3：第一、二次提价均为 p + q ％．
2 其中，p、q 是不相等的正数．三种方案哪种提价 最多？
课堂小结
〔1〕本节课复习了哪些主要内容 ？ 〔2〕你有哪些收获 ？你觉得还有什么需要注意的地
到我们学过的哪些运算法则？它们之间有怎样的关系？
（1）（-2x2y3） （ 2 xy） 3；
（2）（ 2a+3b） （ 2a-b） ； （3） 5x（ 2x+1） （ x-1） ；
（4）（2x+3y-1）2；
（5）（- 2a7b5） 3a2b5；
3
2
（6）（ 7 x2y3- 8 x3y2z） 8 x2y2 ．
知识梳理
问题2 因式分解： （1） 25x2-16y2； （2）（ a - b ） （ x - y ） - （ b - a ） （ x + y ） ； （3） a2-4ab+4b2； （4） 4+1（ 2x-y） +（ 9x-y） 2．
知识梳理
在上述因式分解的过程中 , 你能说说运用到哪几种 分解因式的方式 ？在因式分解的过程中需要注意哪些事 项 ？你能举例说明因式分解与整式乘法之间的关系吗 ？
典型例题
例2 因式分解： （1）16 x4 -1； （2）a3-10a2+25a； （3）m2-4m-12．
典型例题
例3 化简求值． （1）（ a - 2 ） （ a + 2 ） - a （ a - 2 ） ,其中 a=-1 ； （2）已知（ x+y） 2=25 ， （ x-y） 2=9，求 x y 和 x 2 + y 2 的值．

例1：
步骤：
x
x

x 6 x 5 ( x 1)( x 5) ①竖分二次项与常数项
2

1
②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式
5
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
x 5x 6 x
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
小结：
x x
x 8x 15 ( x 5)(x 3)
十字相乘法
高一数学组
一、复习回顾
( x a)(x b) x (a b) x ab
2
x (a b) x ab
2
？
二、十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反 向运算，它适用于分解二次三 项式。
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
小结: 由多项式乘法法则
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来用就得到一个因式分解的方法
2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) ∴x
x x
a b
这个方法也称为十字相乘法
特别注意：验证一次项！
今日作业：
把下列各式分解因式： (1) x2-4xy-5y2 (2) m2+5mn-6n2 (3) y2-8xy+12x2 2-12ab+36b2 (4) a
(5) b2-7bx2-18x4 2-4(x+y)-5 （6）(x+y)
（7）2x2-3x-2
2

整式的乘法与因式分解小结与复习知识梳理1. 有关法则⑵单项式与单项式相乘的法则：把它们的 、 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同 一起作为积的一个因式.⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据 律用单项式去 多项式的每一项，再把所得的 相 .⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 另一个多项式的每一项，再把所得的积相 .⑸单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的 ；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 一起作为商的一个 ．⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的商 ．2. 有关公式：⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的 ，即用字母表示为：(a+b)(a－b)= .⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的 再加上（或减去）这两数的 ，即：(a ±b)2= .3. 有关概念⑴因式分解：把一个多项式化为 的形式，叫做多项式的因式分解.⑵提公因式法：把多项式各项的 提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即am bm cm ++= .提公因式法的实质是逆用 律.⑶公式法：把乘法公式()()a b a b +-= 、2()a b ±= 逆用，就得到分解因式的公式22a b -= ，222a ab b ±+= ，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法.考点呈现考点1 幂的运算性质例1下列运算正确的是（）A. （-a）6·（-a3）=a18B.（-b3）5=-3b8C. （a2b）4=a10b3D.（ab）12÷（ab）10=a2b2分析：根据幂的运算性质可知（-a）6·（-a3）= a6·（-a3）=-a6+3=-a9，（-b3）5=（-1）5（b3）5=-b3×5=-b15，（a2b）4=（a2）4b4=a8b4，（ab）12÷（ab）10=（ab）12-10=（ab）2= a2b2，所以选项D正确.解：选D.温馨提示：对于幂的各种运算性质，一定要分清指数的变化特征，避免混淆.另外，在计算选项D时，把ab看做一个整体，也就是看做底数，因此，它实际上是进行同底数幂的除法运算.考点2 整式的乘法例2先化简，再求值：（-2x2）2-（x2+1）（4x2-5）-x（x+11），其中x=-2.分析：根据整式的乘法法则对原式进行化简，再代入求值即可.解：原式=4x4-（4x4+4x2-5x2-5）-x2-11x=4x4-4x4-4x2+5x2+5-x2-11x=-11x+5.当x=-2时，原式=-11×（-2）+5=22+5=27.温馨提示：在解决单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘的运算时，要防止出现漏乘，并且要细心处理每项的符号.考点3 乘法公式例5计算：（x+3y）2-2（x+3y）（x-3y）+（x-3y）2的结果为＿＿＿＿.分析：本题可以利用两数和乘以这两数差的乘法公式和两数和（差）的平方公式展开后化简，也可逆用两数和（差）的平方公式化简.解：方法1：原式=x2+6xy+9y2-2（x2-9y2）+x2-6xy+9y2=x2+6xy+9y2-2x2+18y2+x2-6xy+9y2=36y2.方法2：原式=[（x+3y）-（x-3y）]2=（6y）2=36y2.温馨提示：解这类题时，一是要注意乘法公式的正确使用，确保化简的结果正确；二是注意公式的逆向运用，本题显然逆用公式计算比较简便.考点4 整式的除法例4先化简（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）-（2a+b）（2a-b），然后再选取你喜欢的一对a，b的值代入求值.分析：化简本题时，主要分两部分：对于（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）采用多项式除以单项式的方法计算；对于（2a+b）（2a-b）采用两数和乘以这两数差的乘法公式计算，最后合并同类项即可.在选取a，b的值时，要注意ab≠0，即a ，b 都不能为0.解：原式=-b 2-2ab-（4a 2-b 2）= -b 2-2ab-4a 2+b 2=-4a 2-2ab.当a=2，b=1时，原式=-4×22-2×2×1=-16-4=-20.温馨提示：在进行多项式除以单项式时，要特别注意多项式每项的符号与除式的符号.本题是开放性试题，答案并不唯一，在选取a ，b 的值时，一定要注意a ，b 的取值范围.考点5 定义新运算型例5 先规定一种新运算“§”，a§b=a 2+ab+（b-1）2，根据这个新运算，可得（2x-1）§（x+3）= ＿＿＿＿.分析：根据规定的新运算a§b=a 2+ab+（b-1）2，把它转化成我们熟悉的四则运算（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2，然后进行计算即可.解：（2x-1）§（x+3）=（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2=4x 2-4x+1+2x 2+6x-x-3+x 2+4x+4=7x 2+5x+2. 温馨提示：解决这类问题其关键是根据规定的新运算法则把待求式转化为我们学过的运算.考点6 分解因式的方法例6分解因式：16a 2b 2 − 34a 2b +12ab 2. 分析：当多项式的系数是分数时，应把各项中分数系数的最小公分母作为公因式系数的分母，使余下的因式中各项系数都化成整数.解：原式＝112ab (2ab − 9a +6b ). 例7分解因式：（1）3()4()a b a b +-+= ； （2）3244x x x ++= ．分析：（1）观察可知多项式两项都有公因式a+b ，提公因式a+b 后，余下的多项式能利用两数和乘以两数差的乘法公式继续分解；（2）各项都有公因式x ，提公因式x 后，余下的多项式可以利用两数和的平方公式继续分解．解：（1）原式2()()4()(2)(2)a b a b a b a b a b ⎡⎤=++-=++++-⎣⎦． （2）原式22(44)(2)x x x x x =++=+．考点8分解因式的相关计算例8 已知实数a ，b 满足1ab =，2a b +=，求代数式22a b ab +的值．分析：观察算式特点可知，两项都有公因式ab ，为此可将其因式分解，再将1ab =，a+b=2代入求值． 解：当1ab =，2a b +=时，原式()122ab a b =+=⨯=． 误区点拨易错点1 混淆幂的运算性质例1 下列计算：①x 3·x 9=x 27；②（-2m 2n ）3=-2m 6n ；③（a-b ）9÷（a-b ）3=（a-b ）3.其中正确的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个错解：选D.剖析：①是幂的乘法运算，应是底数不变，指数相加，即x3·x9=x12，而错解是把指数运算弄成指数相乘了；②是积的乘方运算，应该是（-2m2n）3=（-2）3m6n3=-8 m6n3，而错解是忘记把2和n分别乘方了；③幂的除法运算，应是底数不变，指数相减，即（a-b）9÷（a-b）3=（a-b）6，错解却弄成指数相除了，以上错误的原因是对幂的运算性质混淆不清造成的.正解：A.易错点2 进行整式的乘法运算时出现漏乘例2计算：⑴ab（b+b2）-b2（ab-a+1）= ＿＿＿＿＿.⑵（a-b）（a+5b）的结果为＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2=2ab2；⑵原式=a2-5b2.剖析：⑴单项式与多项式相乘时，要注意单项式和多项式的每一项都要相乘，错解中，单项式-b2与多项式ab-a+1相乘时，只是-b2与ab、-a分别相乘，却漏掉了-b2与1相乘；⑵同样多项式与多项式相乘时，要求是先用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，而错解中只是两个多项式的首项与首项相乘，末项与末项相乘，即a与a相乘，-b与5b相乘，漏掉了a与5b相乘和-b与a相乘.以上两个小题出现错误的原因是由于漏乘造成错误.正解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2-b2=2ab2-b2.⑵原式=a2-ab+5ab-5b2= a2+4ab-5b2.易错点3 乘法公式的结构掌握不牢例3计算：⑴（2x+3y）（3y-2x）= ＿＿＿＿＿.⑵（4x-5y）2=＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2.⑵错解1：（4x-5y）2=（4x）2-4x·5y+（5y）2=16x2-20xy+25y2.错解2：（4x-5y）2=（4x）2-（5y）2=16x2-25y2.剖析：⑴两数和乘以这两数差的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，本题出现错误的原因是没能很好地把握两数和乘以这两数差的乘法公式的结构特征，顺序颠倒；⑵两数和（差）的平方公式是（a-b）2=a2-2ab+b2，错解1把中间项的2漏掉了，错解2干脆把中间项都漏掉了，错误的原因是未能把握两数和（差）的平方公式的特征.正解：⑴原式=（3y+2x）（3y-2x）= （3y）2-（2x）2=9y2-4x2.⑵（4x-5y ）2=（4x ）2-2·4x·5y+（5y ）2=16x 2-40xy+25y 2.易错点4 在整式的乘除混合运算中，运算顺序混乱例4 计算：x 2y 2÷x·xy 的结果为＿＿＿＿＿.错解：原式=x 2y 2÷x 2y=y.剖析：在进行整式的乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行，即先做除法（x 2y 2÷x=xy 2）再做乘法（xy 2·xy=x 2y 3），错解的原因是违背了这一混合运算的顺序，造成了运算顺序的混乱而出现错误.正解：原式=xy 2·xy=x 2y 3.易错点5 提公因式后漏项致错例5分解因式：22462a b ab ab -+．错解：原式2(23)ab a b =-．剖析：当各项的公因式恰与某一项相同（或互为相反数）时，提取公因式后，该项的位置应为1（或1-），而错解却忽视了这一点，漏掉了第三项“1”．正解：原式2(231)ab a b =-+．易错点6用公式不恰当致错例6分解因式323612ma ma ma -+-．错解：原式223(24)3(2)ma a a ma a =--+=--．剖析：错解错在对两数和（差）的平方公式的特点掌握不牢，误认为224a a -+是完全平方式． 正解：原式23(24)ma a a =--+．易错点7式分解不彻底致错例7分解因式222(4)16x x +-．错解：原式22222(4)(4)(44)(44)x x x x x x =+-=+-++．剖析：错解错在因式分解不彻底．因为结果中的两个因式都是完全平方式，还可以继续分解．正解：原式2222222(4)(4)(44)(44)(2)(2)x x x x x x x x =+-=+-++=+-．方法点击1.逆用幂的运算性质求值例1 已知a m =2，a n =4，求a 3m-n 的值.分析：a 3m-n 的指数是3m 与n 的差，它是同底数幂的除法的结果的形式，于是就有a 3m-n =a 3m ÷a n ，再逆用幂的乘方法则化成（a m ）3÷a n ，代入求出结果.解：因为a m =2，a n =4，所以，a 3m-n =a 3m ÷a n =（a m ）3÷a n =23÷4=2.点评：逆用幂的运算法则是解相关问题的技巧性方法.例2 计算：（-0.125）115×（2115）3+（20122013)532()135-⨯的结果为＿＿＿＿＿. 分析：按常规计算比较繁琐，经观察发现，若把（2115）3转化为（23）115，（125)135()135********•化成，可逆用积的乘方法则计算.解：原式=（-0.125）115×（23）115+（20122012)513(135)135-⨯• =（-0.125）115×8115+2012)135513(135⨯-⨯=（-0.125×8）115+2012)1(135-⨯ =（-1）115+135=-1+135=138-. 点评：对于这类特殊问题，逆用幂的运算性质，可简化运算过程.3.利用整式的乘法确定积中不含某项字母系数的值例3 若关于多项式（x-1）（-kx+1）的乘积中不含一次项，则k 的值为＿＿＿＿＿.分析：因题中要求不含x 的项，即该项系数的和为0.解：（x-1）（-kx+1）=-kx 2+kx+x-1=-kx 2+（k+1）x-1，因为积中不含x 的项，所以k+1=0，所以k=-1. 点评：解本题的关键是理解不含某项的意义，即相乘后合并同类项使其系数为0.4.巧用乘法公式求值例4 计算：20132-2012×2014-10012的结果为＿＿＿＿＿.分析：本题是有理数的混合运算，若按混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法，最后算减法，会使运算过程很繁琐，注意到若把20132-2012×2014化为20132-（2013-1）（2013+1）， 10012化为（1000+1）2，然后利用乘法公式，可使运算大大的简化.解： 20132-2012×2014-10012=20132-（2013-1）（2013+1）-（1000+1）2=20132-（20132-12）-（10002+2×1000×1+12）= =20132-20132+1-10002-2000-1=-1 002 000.点评：解决这类问题的关键是抓住式子的特点，把它转化为易于利用乘法公式求解的形式.5.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解例5 已知多项式2x 3-4x 2-1除以多项式A ，得商式为2x ，余式为2x-1，则多项式A=＿＿＿＿＿.分析：由“被除式=除式×商式+余式”可得“除式=（被除式-余式）÷商式，将除式2x 3-4x 2-1、商式2x 、余式2x-1，代入即可求出除式A 的值.解：根据题意得，A=[2x 3-4x 2-1-（2x-1）]÷2x=（2x 3-4x 2-1-2x+1）÷2x=（2x 3-4x 2-2x ）÷2x=x 2-2x-1. 点评：明确“除式=（被除式-余式）÷商式“是解决本题的关键.跟踪训练1. (-2x 3y 4)3的运算结果是( )A. -6x 6y 7B. -8x 27y 64C. -6x 9y 12D. -8x 9y 122. 用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×103秒到达另一座山峰，已知光在空气中的速度约为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为（ ）A.1.2×1010米B. 12×1011米C. 1.2×1012米D. 1.2×1011米3. 若x 2-ax-1可以分解为(x-2)(x+b)，则a+b 的值为（ ）A. -1B. 1C. - 2D. 24. 把多项式x 3-2x 2+x 分解因式结果正确的是（ ）A. x(x2-2x)B. x2(x-2)C. x(x+1)(x-1)D. x(x-1)25. 计算(2x-3)2的结果为4x2+□x+9，则“□”中的数为（）A. -6B. 6C. -12D. 126. 若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式(a-c)2-b2的值（）A. 一定为正数B. 一定为负数C. 可能为正数，也可能为负数D. 可能为零7. 下列各式：x2·x4，(x2)4，x4+x4，(-x4)2，x12÷(-x2)2，其中与x8相等的有_____个.8. (3x-2)(3-5x)的计算结果中，含x的项的系数是______.9. 4m(2x-y)2-4mn2因式分解的结果为_______.10. 一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm2，则这个正方形的边长为____cm.11. 已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x-y的值等于.12. 计算下列各式：(1) a•a5+(2a3)2+(-2a2)3；(2)(2x+5y)(3x-2y)-(x-2y)2.整式的乘法与因式分解小结与复习知识梳理：略.跟踪训练：1.D 2.C 3. D 4. D 5. C 6.B7. 3 8. 19 9. 4m(2x-y+n)(2x-y-n) 10. 7 11.112. (1)-3a6；(2)5x2+15xy-14y2。