菲波那契数列

课题：斐波那契数列

桂林市第十七中学 王嵘

指导教师 桂林师专数学系 蒋晓云

一． 教学目标

1. 知识方面

使学生理解斐波那契数列，掌握斐波那契数列通项公式的求法，能应用斐波那契数列解决日常生活中的一些问题。

2. 能力方面

培养学生的观察能力、探究发现的能力、解决实际问题的能力、审美意识。

3. 品质素养方面

使学生体会，数学来源于生活的大众数学思想；通过主动探究，培养学生的认知力、观察力、想象力、注意力、记忆力和独创的实践力。

二．重点难点

重点：斐波那契数列、斐波那契数列的应用。

难点：斐波那契数列通项公式的求法、将实际问题转化为数学问题。

三．教学手段

多媒体辅助教学

四． 教学过程

（一）提出问题

今天这节课我们来看一个有趣的问题，它最初是由一名意大利数学家在十三世纪初提出的：兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第八个月共有多少对兔子（若生下的小兔都不死的话）？

（二）分析问题

１．先让学生自由讨论，教师再辅以课件分析：

第一个月：只有一对小兔

第二个月：小兔未长成不会生殖，仍然只有一对。

第三个月：这对兔子生了一对小兔，这时共有两对。

第四个月：老兔又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成熟，这时共三对。

第五个月：这时已有两对兔子有生殖（原来的老兔和第三个月出生的小兔）于是生了两对小兔，这时共五对兔子。

……

月份1234567兔子数（对）11235813

如此推算下去，我们不难得出下面结果：

月份数兔子数（对)12345678…1123581321…

 第八个月共21对兔子

2．如果我们把上表中下面一列数用nu表示，下标n表示月份数，则有：

,21,13,8,5,3,2,1,1:nu

它给我们数列的形象，由于这个问题是由意大利数学家斐波那契提出的，故这个数列被称为斐波那契数列，nu称为斐波那契数，我们这节课就来研究这个有趣的数列问题（板书课题）。

3．还是回到生小兔问题，假如问一年后有多少对兔子？一年半后？两年后？显然继续用这种方法来推算，似乎有些“笨”，而且越往后越使人觉得复杂，有无简单的办法推算？提示学生观察数列的项的关系？

4．学生讨论得出该数列中各项有如下递推关系：

)3(12121nuuuuunnn

鼓励学生的同时，提出：在当时，这个简单的递推关系却是在斐氏死后近四百年后由一名叫奇拉特的数学家发现的。其实这个式子并不难理解。试想：第n个月时的兔子可分为两类：一类是第1n个月时的兔子，另一类是当月新出生的兔子，而这些兔子数恰好为第2n个月时的兔子数（它们到第n个月时均可生殖）。

由于这一发现，生小兔问题引起人们的极大兴趣，最重要的是计算这列数给我们带来一定的方便。我们可以轻而易举地计算一年后，一年半后……的兔子对数。

5．但是不是有了递推关系，就能满足我们的需要了呢？若要计算两年，三年以后的兔子数，我们不得不要了解它前面两项的兔子对数。而要用递推关系，又出现了繁琐，这时我们迫切地想知道：若已知月份数，能够马上计算出兔子对数吗？这又引起了另一个问题——斐波那契数列的通项是什么？

6．由学生先探讨，教师再分析：

这并不是我们熟悉的等差或等比数列，但能否采用化归的思想，将其转化为我们熟悉的数列来解决呢？

设)(211nnnntUUptUU (p≠0,n≥3) ①

则{}1nnUU是以p为公比,首项为12tUU的等比数列.

有)1()(21021tptUUptUUnnnn ②

又由①有 21)(nnnptUUtpU

有

11pttp 

25125111pt

25125122pt

代入②得

1111)251(215)251(215nnnnnnUUUU ④③

③×215④×215 得

nnnU)251()251(5

])251()251[(51nnnU

教师继续指出：在当时，由十三世纪初裴氏提出问题开始，到十八世纪初，棣莫佛在其所著的《分析集锦》中才第一次给出以上通项表达式，从此人们对裴氏数列的研究活动蓬勃发展，很多数学家，如法国数学家拉姆，鲁卡斯等都利用这一通项表达式得出裴氏数列的很多重要性质。美国还在1963年创刊了《裴波那契季刊》专门研究该数列。虽然由于我们现有数学知识的限制无法深刻体会它的重要性质，但至少我们可以感受到的是这是继其递推关系后又一耐人寻味的等式：等式左边是正整数，而式子右边是由无理数来表达的。有了它，我们就可以计算出前面的生小兔问题。

（三）斐氏数列的应用

斐波那契数列不只是在生小兔问题中才会遇到，它也能出现在自然界、生活中……

1．树枝生长问题：

（1） 波兰数学函史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中有这样一个问题：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝便可每年长出一条新枝，如此下去，十年后树枝将有多少？

（2） 由学生回答，教师指出：这个问题只是斐波那契数列问题的变化而已，即树枝的繁衍方式是按斐波那契数列增加的。

5年后4年后3年后2年后1年后

2．上楼方式问题：

上楼梯时，若允许每次跨一级或两级，那么对于楼梯数为1、2、3、4。。。时上楼的方式数各是多少？ 楼梯级数12341235方式数上楼方式…………………

学生回答后，教师分析：楼梯数为n时的上楼方式1nu可分为两类：一类是首次跨一级时，此时方式数为nu，另一类是首次跨两级时，此时方式数有1nu，所以)1()2(211unuuunnn

３．蜜蜂进蜂房问题：

（１） 一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到1、2、3……、n号蜂房，但只允许它自左向右（不许反方向倒走）。则它爬到各号蜂房的路线数各是多少？

（２） 学生探讨，老师再分析：

蜜蜂爬进 n 号蜂房有两类：一类：不经过 n-1 号蜂房，直接从 n-2 号蜂房进入第 n 号蜂房，

空空空路线有 Un-1 条二类：经过 n-1 号蜂房，路线有 Un 条空空空所以 Un-1 + Un = Un+11357246nn-2n-1…………

4．街头叫卖声与裴氏数列

（1） 大家也许常在街头听到诸如“清仓大处理，每样商品只卖2元”的叫卖声，这个声音不是人直接叫喊的，而是用录音机播放的，长时间地反复地播放同一句话，这是怎样操作的呢？ （2） 学生回答具体录音操作需两台录音机，相互之间反复播音和录音，当一台播音时，另一台同时开始录音。如此反复进行。

1123

（3） 设第n步中，总录入的声音遍数记为nu，师生共同分析出11u，12u，23u，34u 21nnnuuu 这也是裴波那契数列。

（4） 更进一步，若吆喝一遍叫卖声，连同中间停顿共需10秒，则录制一盒时间长为1小时的磁带只需操作几步？

学生探讨，而后师生分析：

法一：用通项公式：

因 1小时＝3600秒，则Un≥103600＝360 （1）

所以51nn251251≥360

即nn251251≥3605

设n251＝a ，则a－n1a1≥3605 （2）

① 当n为奇数，由（2）得 a＋a1≥3605 ，即 2a－3605a＋1≥0

解得a≥1805＋161999 或 a≤1805－161999

即n251 ≥1805＋161999 或 n251≤1801619995

两边取对数： 解得n≥13.90 所以最小奇数为 15

② 当n为偶数，由（2）得 a－a1≥3605 ，即 2a－3605a－1≥0

解得 n≥13.91 最小偶数为 14 综合 ① ② ，最小整数 n＝14 ，即只要按上面步骤连续操作 14 次，就可录制一盒时间长

1 小时的磁带。

法二：用递推公式：

我们也可用递推公式，连加得，23313U ， 37714U。 取最小正整数n为14

（四）课堂小结：

本节课我们认识了一类美妙的数列，但由于时间和我们现有知识储备的限制，使我们对它的学习也仅仅停留在粗浅阶段。大家有兴趣的话，希望能随着学习的深入来逐步认识它，如它的通项公式唯一吗？它有什么性质？注意到通项公式中有一重要数 618.0215 ，这又说明斐氏数列于黄金比（分割）有什么关系？……斐波那契数列涉及的知识极为广博，建议大家通过查找资料来了解更多知识，当然这节课的意义远不在于此，数学知识来源于生活，只要我们细心观察，就会发现数学的美妙。

附：板书设计

课题：斐波那契数列

一、定义：{},nU21,13,8,5,3,2,1,1……

二、递推关系：)3(12121nuuuuunnn

三、通项公式：])251()251[(51nnnU

【教学反思】

1、 生兔子问题激发了学生的好奇心和强烈的求知欲望，学生在研究每个月的兔子对数中得出斐波那契数列，体验了成功的喜悦。

2、 通过观察、比较、归纳、交流，学生发现了斐氏数列的递推关系。

3、 通过师生互动共同探讨得出斐氏数列的通项公式。

4、 斐氏数列应用非常广泛，而要应用它来解决生活中的数学问题，关键是要善于将这些实际问题转化成数学问题，教师与学生一起学习了树枝生长问题、上楼方式问题、蜜蜂进蜂房问题、声音录制问题，对每个问题都注意引导学生完成这种转化，让学生学会这种转化的数学思想，为他们的终身学习打下基础。

5、 通过对网上资源的介绍，扩大的学生的视野，将问题延伸到课外。

【导师评语】

本节课教师从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供了充分地从事数学活动和交流的机会，在分析和解决生兔子问题、树枝生长问题、上楼方式问题、蜜蜂进蜂房问题、声音录制问题时，学生表现出极大的热情和兴趣，充分展示他们的聪明才智，这有利于