(刘德武)斐波那契数列

斐波那契数列一、简介斐波那契数列Fibonacci,又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展;故斐波那契数列又称“兔子数列”;斐波那契数列指这样的数列：1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数的和等于后面一个数字;这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子;按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项;二、性质如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理;那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式;令常数p,q满足F n-pF n-1=qF n-1-pF n-2;则可得：F n-pF n-1=qF n-1-pF n-2=q2F n-2-pF n-3=…=q n-2F2-pF1又∵F n-pF n-1=qF n-1-pF n-2∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=01-p-qF n-1+1+pqF n-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组∴F n-pF n-1= q n-2F2-pF1=q n-21-p=q n-1F n=q n-1+pF n-1=q n-1+pq n-2+pq n-3+…=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列;将它用求和公式求和可以得到：而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p1-p=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+=,2=,p=±√+;随意取出一组解即可：这就是著名的斐波那契数列通项公式;有了它,斐波那契数列的一些性质也不难得出了;比如斐波那契数列相邻两项的比值趋向于黄金分割比,即：根据斐波那契数列通项公式,可以得到因为n是趋向于正无限的,因此我们可以知道：那么我们就可以把分子和分母的第二项同时省略掉,即这就是斐波那契数列的魅力之一——它和黄金分割比有密切的关系;下面将给出斐波那契数列的几个性质及其证明;1F1+F2+F3+...+F n=F n+2-1证明：原式=F3-F2+F4-F3+...+F n+2-F n+1=F n+2-1.2F1+F3+F5+...+F2n+1=F2n+2证明：原式=F2+F4-F2+F6-F4+...+F2n+2-F2n=F2n+23F12+F22+...+F n2=F n F n+1证明：利用数学归纳法,显然n=1时满足,下面证明若n=k时满足,n=k+1时也满足.已知F12+F22+...+F n2=F n F n+1,F12+F22+...+F n+12=F n F n+1+F n+12=F n+1+F n F n+1=F n+1F n+2,因此n+1后仍然满足.上述公式成立.4F1F2+F2F3+...+F n F n+1=F n+22-F n F n+1-1/2证明：数学归纳法,n=1时满足.已知F1F2+F2F3+...+F n F n+1满足,那么F1F2+F2F3+...+F n F n+1+F n+1F n+2=F n+22-F n F n+1-1/2+F n+1F n+2=F n+22-F n F n+1+2F n+1F n+2-1/2=F n+22+2F n+1F n+2+F n+12- F n F n+1-F n+12-1/2=F n+32-F n+1F n+2-1/2,因此上式成立.5F n2=F n-1F n+1+-1n+1证明：数学归纳法,n=2时满足.已知前面的n都满足,那么F n2=F n-12+F n-22+2F n-2F n-1=F n-12+F n-3F n-1+-1n-1+2F n-2F n-1=F n-1F n+F n-12+-1n-1=F n-1F n+1+-1n+1,因此上式成立.6F n+m=F m-1F n+F m F n+1n>m>1证明：利用通项公式,设α=,β=1-α=注意到1/α+α=sqrt5=1/β+β,1/α+β=0=1/β+α,上式就变成了这就是上述公式的证明.三、斐波那契数列与自然斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数典型的有向日葵花瓣,蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e可以推出更多,黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等;斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现;例如,在的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子假定没有折损,直到到达与那些叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数;叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回;叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数;在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为源自希腊词,意即叶子的排列比;多数的叶序比呈现为斐波那契数的比;图为斐波那契弧线;关于递推式的拓展研究一、错位排列问题有n个数,求有多少种排列使这n个数都不在原来的位置上;比如n=2时,有一种排列;设fn表示n个数的错位排列数量,分两种情况讨论：1.第n个数在第pp≠n个数的位置上,第p个数在第n个数的位置上,则此时共有fn-2种选择;由于p有n-1种值,则总共有n-1fn-2种排列方法；2.否则,共有n-1fn-1种排列方法;综上所述,fn=n-1fn-1+fn-2,f1=0,f2=1;那这个数列的通项公式是什么呢直接对这个数列不好进行操作,可以转化一下;设错位排列的概率函数为gn,其中g1=0,g2=;在fn的递推式两边同时除以n即可得到;两边同时乘n得到ngn=n-1gn-1+gn-2ngn-gn-1=gn-2-gn-1注意到e-1的泰勒展开式跟它好像有点像,是因此有如下的等式：同时,我们也可以得到了函数f的通项公式为：这就是一些关于错位排序的性质;二、类斐波那契数列的研究我们知道斐波那契数列递推式为fn=fn-1+fn-2,那么假如有更多项呢假设fn=fn-1+fn-2+fn-3,其中f1=f2=f3=1.我们暂时称这个数列为类斐波那契数列,那么它的通项公式又如何呢令a,b,c满足fn+afn-1+bfn-2=cfn-1+afn-2+bfn-3则得到c-a=1,ac-b=1,bc=1,消元得c3-c2-c-1=0,利用牛顿迭代可以计算出c=……,则a=……,b=……所以fn+afn-1+bfn-2=c n-31+a+b,记t=1+a+b,两边同时除以c n构造更多的常数项：为了方便,我们记,则：令p,q,r满足gn-pgn-1-q=rgn-1-pgn-2-q,则得到：这个方程会发现没有实数解,于是我们只能使用复数了：p= (i)q=...+ (i)r=...+ (i)继续上面的递推式,则有gn-pgn-1-q=r n-2g2-pg1-q;记T= g2-pg1-q,则：gn=pgn-1+r n-2T+q=ppgn-2+r n-3T+q+r n-2T+q=p n-1g1+p n-2T+p n-3rT+…+r n-2T+q+pq+…+p n-2q因此也就可以得到f的递推式了：不难得到,t=…,T=…+…i;递推式中的c,p,q,t,T都是常数,但除了c以外都是复数,因此计算上会比较困难;在附录中附上C++的程序,附复数计算的模板和使用递推式计算类斐波那契数列的程序;三、递推式和矩阵如果对于每个线性递推式都要先计算它的通项公式才能够快速地得到某一项,那这个方法太过于复杂了;于是我们可以使用矩阵来加速递推;比如斐波那契数列的递推式也可以写成：因此就有如下结果：其中矩阵的幂次方可以使用快速幂算法在Ologn的时间内解决,因此我们就可以在Ologn 的时间内计算出斐波那契数列的第n项排除高精度的时间,且精度要比虚数和小数精确的多;附录利用通项公式计算类斐波那契数列的代码：include<>include<>include<algorithm>include<>include<vector>include<>include<queue>include<set>include<functional>include<>using namespace std;const double EPS = 1E-15;struct Complex{double a, b;4lf+%.14lfi\n", a, b; }};Complex csqrt const Complex& c{Complex r = Complex1, 1, t = Complex;while r = t{t = r;r = r - r r - c / 2 / r;}return r;}Complex cpow Complex c, int e{Complex res = Complex1, 0;for ; e; e >>= 1{if e & 1 res = res c;c = c c;}return res;}int main{double c = 2, t = 0;while fabsc - t > EPS{t = c;c -= c c c - c c - c - 1 / 3 c c - 2 c - 1;}double a = c - 1, b = 1 / c;printf"%.14lf\n", 1 + a + b;t = 1 + a + b;Complex r = csqrt Complex a a / c / c - 4 b / c / c - a / c / 2;;Complex p = Complex-a / c - r, q = Complex t / c / c / c / Complex1 - r;, ;Complex T = Complex1 / c / c - Complex1 / c p - q;;int n = 7;scanf"%d", &n;Complex res = cpow Complex c, n cpowp, n - 1 / Complex c + T cpowr, n - 1 - cpowp, n - 1 / r - p + q cpowp, n - 1 - q / p - Complex1;;system"pause";return 0;}。

斐波那契数列快速算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述斐波那契数列作为一个经典的数学问题，一直以来都受到广泛的研究和关注。

它的定义是：每个数都是前两个数的和，即第n个数为第n-1个数与第n-2个数的和。

斐波那契数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34等。

常规算法是通过递归或循环生成斐波那契数列，但在求解大数列时，这些算法存在效率低下的问题。

因此，我们需要寻找一种更快速的算法来计算斐波那契数列。

本文将详细介绍一个快速算法，该算法可以快速地生成斐波那契数列的任意项，而不需要进行递归或循环。

通过使用矩阵的乘法，我们可以将斐波那契数列的计算转化为矩阵的幂运算。

本文的目的是介绍这种快速算法并分析其优势。

通过对比常规算法和快速算法的运行时间和空间复杂度，我们可以看到快速算法在求解大数列时的优势。

在接下来的章节中，我们会首先介绍斐波那契数列的基本概念和问题背景。

然后，我们将详细讨论常规算法的实现原理和缺点。

接着，会逐步引入快速算法的原理和实现方法，并进行算法效率的对比分析。

最后，在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，并重点强调快速算法的优势。

我们希望通过这篇文章的阐述，读者可以更深入地了解斐波那契数列的快速算法，以及在实际应用中的意义和价值。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述文章的主要内容和组织结构，下面是一个例子:1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分，每个部分都有自己的目标和重点。

下面将对每个部分的内容进行详细介绍。

1. 引言部分旨在引入斐波那契数列快速算法的背景和相关概念。

首先，我们将概述斐波那契数列的定义和特点，以及为什么需要快速算法来计算斐波那契数列。

其次，我们将介绍本文的结构，并列出各个部分的主要内容和目标。

最后，我们明确本文的目的，即通过快速算法探索斐波那契数列的计算方法。

2. 正文部分是本文的核心内容，将详细介绍斐波那契数列以及常规算法和快速算法的原理和实现。

斐波那契数列的介绍
嘿，朋友们！今天咱来聊聊斐波那契数列。

你说这斐波那契数列啊，就像是一个神秘又有趣的小伙伴。

它是从兔子繁殖问题里蹦出来的呢！想象一下，兔子们一代代繁衍，那数量的变化可有意思啦。

一开始只有一对小兔子，过一个月它们长大啦，又过一个月它们就生了新的小兔子，就这样，兔子的数量按照一种特别的规律增长着，这就是斐波那契数列的来历。

这个数列呢，前两个数是 0 和 1，然后后面的每个数都是前两个数相加得到的。

听起来好像挺简单，但你仔细研究研究，就会发现它可神奇啦！比如说，你看大自然里的很多现象都和它有关系呢。

像那些花儿的花瓣数量呀，有的就是斐波那契数列里的数。

斐波那契数列还常常在艺术和设计里冒出来呢。

设计师们有时候就会根据它来设计一些好看的图案，让作品变得特别又吸引人。

而且啊，在一些音乐作品里居然也能找到它的影子，真是太奇妙啦！就好像这个数列偷偷藏在各种地方，等着我们去发现它。

它就像是一个宝藏，越挖越有意思。

有时候我都在想，这斐波那契数列是不是老天给我们的一个特别礼物呀，让我们在探索中找到乐趣和惊喜。

哎呀呀，说了这么多，总之呢，斐波那契数列就是这么一个特别的存在。

它不是那种高高在上、让人摸不着头脑的东西，而是贴近我们生活，能给我们带来乐趣和新奇的小伙伴。

希望大家也能像我一样，发现它的美妙之处，和它成为好朋友哟！好啦，今天关于斐波那契数列就先聊到这儿啦，下次再和你们分享更多好玩的事儿哦！。

【递归】斐波那契数列1.引言1.1 概述斐波那契数列是一个非常经典且有趣的数列，它起源于西方数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），他在13世纪提出了这个数列的定义。

斐波那契数列的特点是，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

即数列的递推关系是：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示第n项。

斐波那契数列的前几个项是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……以此类推。

可以看出，斐波那契数列的规律十分有趣，而且在自然界中也存在许多与之相关的现象，比如植物的叶子排列、兔子繁殖等。

本文的主要目的是通过递归算法来实现斐波那契数列的计算。

递归是一种常用的解决问题的方法，它通过将一个大问题拆分为若干个相似的子问题，再逐个解决子问题，最终得到整个问题的解。

在实现斐波那契数列的递归算法中，我们将会深入探讨递归的原理和实现方式。

在本文的正文部分，我们将首先介绍斐波那契数列的定义和特点，帮助读者更好地理解这个数列的背景和规律。

然后，我们将详细解析递归算法是如何实现斐波那契数列的计算的，包括递归函数的编写和递归调用的过程。

通过具体的代码实例和分析，读者将能够全面了解递归算法在解决斐波那契数列的问题上的应用。

最后，在结论部分，我们将总结递归算法的优缺点，并探讨斐波那契数列在实际应用中的一些可能的应用领域。

通过本文的学习，读者将能够对递归算法有更深入的了解，并能够运用递归算法解决其他类似的问题。

整篇文章将会以清晰的逻辑结构和简洁的语言风格来呈现，希望能够对读者对递归算法和斐波那契数列有更深入的理解和应用。

1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三部分。

下面将对这三个部分的内容做详细介绍。

引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。

首先，概述部分将对斐波那契数列进行简要的介绍，概括其定义和特点。

接着，文章结构部分将详细说明本篇文章的整体结构和各个小节的内容安排。

斐波那契数列来源与定义：你是否经常再看数学资料或在做智力题时遇到这个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……,这个数列就是举世闻名的斐波那契数列。

13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波那契，他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。

书中有许多有趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月裏，又能开始生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的兔子开始，1年后能繁殖成多少对兔子？”斐波那契把推算得到的头几个数摆成一串：1，1，2，3，5，8……这串数里隐含着一个规律：从第3个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。

而根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。

于是，按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上一个有名的数列。

大家都叫它“斐波那契数列”，又称“兔子数列”。

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。

而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46 368=1.6180339889…...越到后面，这些比值越接近黄金比。

人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。

斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。

直到十九世纪初才有人详加研究，1960年左右，许多数学家对斐波那契数列和有关的现象非常感到兴趣，不但成立了斐氏学会，还创办了相关刊物，其后各种相关文章也像斐氏的兔子一样迅速地增加。

名词解释斐波那契数列
嘿呀！今天咱们来聊聊啥叫斐波那契数列呢？
哎呀呀，斐波那契数列呀，这可是个超级有趣的数学概念呢！简单来说，斐波那契数列就是一串按照特定规则排列的数字哟！
那它到底是咋个规则呢？哇！就是从0 和1 开始，后面的每个数都是前两个数相加得到的呀！比如说，0、1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 是不是感觉有点神奇呢？
为啥这个数列这么重要呢？哎呀呀！它在好多领域都有着大用处呢！在自然界中，你知道不？好多植物的生长结构都和斐波那契数列有关系呢！比如向日葵的种子排列，还有菠萝表面的鳞片分布，是不是很神奇呀？
在数学领域，斐波那契数列也有着重要的地位哟！它可以用来解决各种问题，像优化算法呀，密码学呀等等。

而且呢，斐波那契数列还有一些很有趣的性质哦！比如说，相邻两个数的比值会逐渐趋近于一个特定的数值，叫黄金分割比呢！
哇塞！斐波那契数列是不是超级厉害呀？它不仅仅是一串数字，更是蕴含着大自然和数学世界的奥秘呢！
你想想，要是没有斐波那契数列，我们可能就没办法发现这么多美妙的规律和联系啦！
所以呀，当我们深入了解斐波那契数列的时候，就仿佛打开了一扇通往神奇数学世界的大门呢！怎么样，你是不是对斐波那契数列有了更深刻的认识啦？。

原来课可以这样上——“千课万人”带给我的宝贵财富作为一名刚刚关注小学数学研究的教育工作者，在平时的听评课中一直寻觅着有效而又适合学生的教学方法。

在思想上，我明白我们的教学应该充分地尊重学生，从学生的认知起点和生活经验去组织教学活动，课堂上要善于巧用生成资源突破教学重难点等等。

但是在实际操作中，我们的教师往往会顾此失彼，有时候效果还差强人意。

因此，我一直在思考：怎样才能让学生忘我地投入我的课堂，又怎样使课堂成为学生的需要?在杭州参加的“千课万人’’全国小学数学生态课堂教学研讨观摩活动使我解开了一直以来的疑惑，吴正宪、张杭樱、黄爱华、华应龙等诸多名师的课堂给我们提供了活生牛的示范，让我这个许久未逢甘露的路人畅饮一番，回味之余发现：原、来课还可以这样上。

游戏不单单是噱头，关键是让学生投入游戏活动中爱玩、好动是学生的天性，特别是低年级的学生，他们的思维处于形象阶段，往往关注游戏和动手操作等比较感性的活动。

于是我们投其所好，通过课件用各种各样的闯关游戏或者比赛展开教学活动，但是学生在这些游戏活动中只有“看”和“听”的份，他们早已疲倦了这些形式化的游戏活动，不愿投入过多的感情。

黄爱华老师在《比较数的大小》中，巧用游戏，让学生在三轮抽签游戏中经历不同层次的思考。

在第——轮游戏(从低位抽起)中，让学生初步思考，发现比较数的大小起决定作用的不是低位而是最高位上数的大小；在第二轮游戏(从高位抽起)中，让学生在第一轮的基础上进一步思考和感受比较数的大小的一般方法；在第三轮游戏(抽到的数字放在哪里可自由决定)中，学生的思维被进一步打开，在权衡胜负的过程中，进一步感知怎样使数尽可能大。

在这三轮游戏中，学生的思维被一步步打开，课堂的争辩一次比一次激烈，整个会场都沉浸在比赛和游戏的氛围中，学生更是如此。

在黄老师的课堂上，学生成了游戏和课堂的主角，而老师则是游戏的裁判和课堂的组织者，学生学得开心、学得扎实，因为他们投入了。

耐心听听学生的“知道”，巧妙回答学生的“不知道”吴正宪老师在她的讲座中向我们例举厂“你怎么知道我的知道”这个例子，其实这样的故事在我们身边也时时上演，每个学生心中都有一个“知道”，只不过有些孩子的“知道”大胆地呈现在了课堂上，而有些孩子则把“知道”无声地藏在了心中。

幼儿教师观摩课观摩心得体会优秀(4篇) 幼儿教师观摩课观摩心得体会15月20-22号在重庆举办了全国英语优质课比赛，我有幸能到现场去观摩这场盛事。

本次研讨会分为专家学术报告、教师现场说课、现场授课、授后反思、现场互动、专家点评、论文评选等环节。

通过学习，我有如下心得体会：在这几天的观摩优质课中我发现优秀的教师都有几个共同特点：1、口语地道：英语教师的口语是英语课的门面。

参赛教师的口语发音准确，流利，音质优美动听，课堂英语氛围浓厚。

2、教态亲切自然，表情丰富，在课堂上能轻松、活泼、潇洒、灵活地进行授课，富有艺术性，具有感染力。

3、具有时代感，能够熟练，巧妙地利用多媒体等多种手段辅助教学，使学生们接触到的知识直观、立体、生动。

4、干练、利索，驾驭课堂能力强。

5、其他才艺为课堂锦上添花。

教师的肢体语言很到位，并且个个能个善舞，那像导演般的指挥动作拉近了教师与学生的距离，使学生很快进入了学习状态。

教师的基本素质固然很重要，但一堂课的设计也是至关重要的。

特别是株洲的参赛选手何家坳小学的贺喜老师。

她所教授的主题是形状，从形状单词入手，将形状融入到数学数列，再到不同的形状组成不同图形，从简到难，更融入生活。

课堂充满课程研究中心趣味性。

参赛老师都用尽各种绝招来调动学生积极性，让学生展开联想，这不仅能激起学生们对英语学习的兴趣，同时也能营造宽松、民主、和谐的教与学的氛围，学生积极发言，课堂效果很好，得到了评委和听课老师们的一致好评。

让学生真正成为课堂的主人。

这是素质教育的要求。

当时我就体会到人们常说的一句话：没有学不会的学生，只有不会教的老师。

如果我们每节课都能如此用心，那么掉队的学生肯定会大大减少。

优秀教师的课件基本上都是精心设计的，在课件设计中我感受最深的是一位老师在写作环节中用课件出示了学生所熟悉的家务，然后再让学生下笔。

加上教师高度的驾驭课堂能力，课上得让人感觉是一种享受。

总之，一节课如果设计的.好，精美的课件会使其“锦上添花”。

斐波那契数列描述光波
斐波那契数列是一个经典的数学序列，其定义方式为：第一
个和第二个数均为1，从第三个数开始，每个数都是前两个数
之和。

即，斐波那契数列的前几个数依次为
1,1,2,3,5,8,13,21,34,……
斐波那契数列的光波描述是一种基于斐波那契数列的光干涉
现象描述方法。

光波是由光的波动产生的，根据光的波动性质，我们可以用波动的周期和振幅来描述光波。

斐波那契数列与光波之间的关系是，可以利用斐波那契数列
来描述一种特殊的光干涉现象，即“斐波那契条纹”。

当两束
光波相遇并干涉时，在特定条件下，光波的振幅会出现周期性
的增强和减弱现象，形成一条条明暗交替的条纹。

斐波那契条纹的形成是基于斐波那契数列的特性，每条条纹
的宽度和明暗变化可以用斐波那契数列中的数值来表示。

具体
来说，第一条条纹的宽度是1，第二条是1，第三条是2，第四条是3，依次类推。

而每一条条纹的明暗变化则是由光波的相
位差所决定的。

这种斐波那契条纹现象在光学、干涉仪器、光学显微镜等领
域都有广泛应用。

通过观察和分析斐波那契条纹的模式，我们
可以得到关于光波的信息，如波长、干涉程度等，从而在光学
研究和相关技术领域中有所应用。