Blin法在群体决策中的理性条件及其应用

第３２卷第１期　、，ｏｌ　３２．ＮＯ　１　温州大学学报・自然科学版　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｗｅｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ‘Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　２０１１年２月　Ｆｅｂ．２０１１　

Ｂｌｉｎ法在群体决策中的理性条件及其应用　

刘　鹏，周轩伟　，粟四海　

（温州大学数学与信息科学学院，浙江温州　３２５０３５）　

摘要：利用Ｂｌｉｎ法来对群体决策中的供选方案进行排序，验证了Ｂｌｉｎ法满足Ａｒｒｏｗ提出的四个公理，　

并讨论了群体最优解的存在条件，最后给出其排序方法和实例分析．　

关键词：群体决策；Ｂｌｉｎ法；理性条件　

中图分类号：Ｏ２２１　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４．３５６３（２０１１）０１—００１７—０７　ＤＯＩ：１０．３８７５￣．ｉｓｓｎ．１６７４—３５６３．２０１１．０１．００３　本文的ＰＤＦ文件可以从ｘｕｅｂａｏ．ＷＺＩＩ．ｅｄｕ．ｃｎ获得　

随着经济的发展和社会的进步，群体决策在现代政治、经济、科技和军事等重大决策中发挥　

着越来越重要的作用．自从Ａｒｒｏｗ的专著①出版以来，关于群体决策的研究越来越多．群体决策　

问题中，不同的集结决策个体偏爱结构的方法对应于不同的决策规则，其中研究最多的是较多规　则［１－３ｌ和Ｂｏｒｄａ数规则　训．此外文献［５—７］也探讨了不同规则集结个体偏爱为集体偏爱的问题。较　

多规则会出现循环的情况．本文将文献［８－９］中提出的Ｂｌｉｎ法用于群体决策中，给出规定，有效　

地避免了较多规则的循环问题，并证明了满足Ａｒｒｏｗ的四个公理ｆ１刚，讨论了群体最优解存在的条　件…】，最后给出了其排序方法和实例分析．　

１　Ｂｌｉｎ一规则　

设Ｘ＝｛Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘ　｝（　２）是供选方案集，Ｇ＝｛ＤＭｌ，ＤＭ２，…，ＤＭｆ）（Ｚ　２）是决策群　

体，其中ＤＭ，（，．＝１，２，…，ｚ）是第ｒ个决策者．　１，Ｒ２，…，Ｒ，ＩＸ是Ｇ在Ｘ上的偏爱断面，记　

Ａ＝ｆ１，２，…，ｆ｝．　

定义１　设Ｇ中ｆ个决策者关于｛Ｘｌ，Ｘ２，…，Ｘ　｝的排序结果分别为Ｌ１，Ｌ２，…，Ｌｚ，给出Ｇ中　

１　ｌ　的二元关系尺为　＝尺（　，　）一１，厶一＂Ｌｋ（　，Ｘｊ）（ｆ，Ｊ：１，２，…，　），其中，　

（　，Ｘｊ）＝　

收稿日期：２０１０—０４—１４　作者简介：刘鹏（１９８４一），男，山西运城人，硕士研究生，研究方向：多目标规划．十通讯作者，ｚｈｏｕｘｕａｎｗｅｉ＠　ｍａｉｌ．ｗｚｐｔｔ．ｚｊ．ｃｎ　①参见文献【１０］．

　１８　温州大学学报・自然科学版（２０１１）第３２卷第１期　

ｆ　…　１　

则Ｍ＝：　‘－．．　：．｝，这里　满足下列条件：　Ｉ　ｌ　

ｔ，ｒ￣ｌ　２…　Ｊ　

１）　ｆ＝０，ｉ：１，２，…，Ｓ，　

２）　，＋ｒｊｆ＝１，ｉ≠Ｊ，ｉ，Ｊ＝１，２，…，Ｓ，　

称Ｍ为模糊优先矩阵　１．　

取　＝０．５对模糊优先矩阵Ｍ进行截割，得截矩阵：　

．　Ｉ　１　ｆ　０．５　Ｍｏ．５－（　｛ｏ　＜０　

令　

（　）＝∑　．　（３　

定义２设　，　，∈Ｘ，Ｒ，，　，，，（ｒ∈Ａ）是ＤＭ，在　上的偏爱、严格偏爱和淡漠，且　，§　

（　，　Ｊ）＝１，ｘｉＲ　ｘＪ§Ｌ　（　ｆ，Ｘ』）　０．５，ｘｉＩ，ＸＪ§　（　，Ｘ　）＝０．５．　

注：１）Ｒ，由Ｐ，和，　相互生成，即Ｒ，＝　Ｕ　，；　

２）如果对不同的决策者赋以不同的权值，则Ｒ可以改变成赋权模糊优先矩阵，这时，　

：∑　‘　，，　），其中　为决策者Ｄ　的权值，并且∑ｏｒ，＝ｌ。　

定义３设　ｆ，　Ｘ，Ｒ，Ｐ，Ｉ是Ｇ在Ｘ上的偏爱、严格偏爱和淡漠，记为：　

ｘｉＲｘ　甘ｐ（ｘ　）　／２（ｘ　），ＸｉＰｘ，§ｐ（ｘｆ）＞ｐ（ｘ　），ｘｉｉｘ　§　（　）　ｌｚ（ｘｊ）・　

且Ｒ＝Ｐ　Ｕ　Ｊ．　

从个体偏爱　ｌ，Ｒ２，…，Ｒｆ】到群体偏爱Ｒ的映射Ｆ称为Ｂｌｉｎ一规则．记为：　

Ｒ＝Ｆ［Ｒ　，Ｒ：，…，Ｒｆ】．　

定理１设（Ｒ，，Ｐ，，Ｉｒ）（ｒ＝１，２，…，１）是ＤＭ，在ｘ上的偏爱组，则　

１）Ｒ　在Ｘ上具有非对称性或对称性；　

２）　在Ｘ上具有非对称性；　

３），　在Ｘ上具有对称性．　

证明：１）只需证明２）和３）．　２）对任意的　ｆ，　∈Ｘ，设　Ｐ，　，，则有　，（　，　）＝１．由式（１）知Ｌｒ（　，　）＝０・又　

由定义２知－１　．故　在　上具有非对称性．　

３）对任意的　，　Ｊ∈Ｘ，设Ｘｉ　，　，则由定义２知Ｌｒ（　ｆ，　）＝０．５．又由式（１）知　

，（　，，　）＝０．５，再由定义２知　，，，Ｘｆ．故，，在Ｘ上具有对称性．

　刘鹏等：Ｂｌｉｎ法在群体决策中的　兰鱼　苎皇　———————　—————　—————————————————————————————————————————————————一　定义４设集合Ｘ，Ｒｒ和　（ｒ＝ｌ，…，ｆ）分别是ＤＭ，在Ｘ上的偏爱和严格偏爱，Ｒ和Ｐ分　

别是Ｇ在Ｘ上的偏爱和严格偏爱．　

１）称Ｃ，（Ｘ）：｛　∈Ｘ　ｘｉＲｒＸｊ，Ｖｘ　∈ｘｌ　ＤＭ，在Ｘ上的选择集；　

２）称ｃ（Ｒ，ｘ）：｛　∈ｘ　ｌｘ￣Ｒｘｊ，Ｖｘｊ∈ｘ）是Ｇ在Ｘ上的选择集・　

定理２下面结论成立：　

１）　ｎ　Ｃ，（　）　Ｃ（Ｒ，Ｘ）；　

２）若盆ｃ　（ｘ）≠　，Ｎ　ｃＴ　Ｃｒ（ｘ）＝ｃ（尺，ｘ）・　

证明：１）设Ｘｉ∈　Ｃ，（ｘ），则有　ｆ∈Ｃ，（ｘ），ｒ：１，…，ｆ．由定义４的１）有＿）ｃ　尺，ｘ，，　

Ｖ　∈ｘ，ｒ：　一，ｚ．由式ｃ・　和定义２知Ｌ，ｃ　＝｛　５　，从而有　＝　喜Ｌ，ｃ　，，　

ｆ）２　０．５，　（ｔ）＝　一ｌ≥　（　），即有‘Ｒｘ　，Ｖｘ　∈Ｘ．由定义４的２）知蕾∈ｃ（ｎ，　），　

从而　ｃ７Ｃ，（Ｘ）　Ｃ（Ｒ，Ｘ）・　

，　２）若ｒ、Ｃ，（Ｘ）≠　，　ｒ＝ｌ　Ｖｘ　∈Ｘ，则有：　

／．ｚ（ｘ，）　∥（　）．　ｆ　Ｒ￣Ｃ（Ｒ，ｘ）　ｃ，（ｘ）・否则设　∈ｃ（足ｘ），即　’　

（４）　

但　萑ｒｑｃ，（ｘ）・　

由ｎｌ　Ｃ，（ｘ）≠　知，存在ｔ∈　Ｃ，（ｘ），Ｖｘ　∈Ｘ，有ｘｉＲ，　，ｒ＝ｌ，…，１，从而有　

ｘｉＲ，　，ｒ＝ｌ，…，１．又由　萑　ｃ，（ｘ），所以存在ｒｏ∈｛ｌ，…，ｆ），使得ＸｉＰｒｏＸｊ（否则，　

ｆ　Ｖｒ＝１，…，ｌ，有　，，，　ｆＲ，　，则有　∈ｃ，（ｘ），从而有　』∈　ｃ，（ｘ），产生矛盾），从而可　

以得到／２（ｘ　）＞∥（　，），与式（４）矛盾．　

２满足的理性条件　

定理３　（许可性）设Ｒ＝Ｆ（Ｒ　一，Ｒ，），则Ｒ在Ｘ上具有自反性、传递性和完全性．　

证明：１）对任意的　ｆ∈Ｘ，显然／２（ｘｆ）：／２（ｘｆ），即ＸｉＲｘｆ，故Ｒ在Ｘ上具有自反性．　

２）对任意的Ｘｉ，Ｘｆ，　∈Ｘ，若有ＸｉＲｘＪ和　ＪＲｘ　，则由定义３知：　

（　ｉ）≥／２（ｘＪ），／２（ｘＪ）≥／２（ｘ，），　

从而有　（　）　（　），即ＸｉＲｘ　，故Ｒ在Ｘ上具有传递性．　

３）对任意的Ｘｉ，　，∈Ｘ，都有ｐ（ｘ　）　ｐ（ｘ　），或　（　）　（　），或二者皆有・由定义３

　２０　温州大学学报・自然科学版（２０１１）第３２卷第１期　

知ｘｉ　ｆ，或　ｆＲｘ　，或　Ｉｘｆ，即尺在Ｘ上具有完全性．　

注：由定理３知，Ｒ＝Ｆ（Ｒ　一，Ｒｆ）是Ｘ上的一个序关系，从而是一群体可排规则．　

定理４　（一致性）设［　，…，Ｒｌ】是Ｇ在Ｘ上的一个偏爱断面，　｛，　ｊ∈Ｘ，ｖｒ∈｛１，…，１），　

若Ｘｉ　，，则ｘｉＰｘ，．　

证明：设　ｆ，ｘ『∈Ｘ，Ｖｒ∈｛Ｉ，…，１），都有ｘｉ　Ｐ，　，由定义２可知Ｌ，（　ｆ，ｘ　）＝Ｉ，　Ｉ，　

从而有　（　，　ｆ）＝１，ｒｊｆ＝０．　

由公式（３）￣／ｚ（ｘｆ）＝ｌ，　（　ｆ）＝０．若仅有两个方案　和　，显然有　ＰｘＪ．假设有七　

个方案时，有ｘｉＰｘｆ成立，即有　（　）＞／４ｘｆ）．现证明再加入一个方案　＋ｌ时，仍有■　・下　

面分４种情况进行讨论：　

１）若Ｖｒ∈（１，…，ｚ），有　Ｐ，　，尸，　＋１，则　＝１，　ｌ＝１，此时有：　

／．ｔ。（　）＝ｌｚ（ｘ￣）＋１＞ｌｚ（ｘｊ）＋１＝／２（Ｘ　），　

其中　’为加入方案　＋１后的计数方式．　

２）若对某些ｒ∈｛１，…，Ｚ｝有ｘｉ　ｆ　，其余的ｒＥ（１，…，Ｚ】有Ｘｉ　Ｊ，或者对某　

些ｒＥ｛１，…，ｚ）有　ｆ　＋１，其余的，．∈｛１，…，ｆ）４ｆｉｘ　尸，　，则有ｒｉ’，ｋ＋　＞　ｌ，或者　

＝，．；　ｌ，但无论是哪一种情况，都有：　

’（　ｆ）＝ｌｔ（ｘｆ）＋　＋ｌ＞／ｕ（ｘＪ）＋　，　＋１　１．ｔ（Ｘｊ），　

其中　’为加入方案　＋ｌ后的计数方式．　

３）若　，．∈｛１，…，ｆ１，有ｘ￣Ｐ，ｘ㈨Ｐ，　ｆ，则有　＝１，　ｌ＝０，从而有　

’（　）＝／ｚ（ｘｉ）＋‘，　＋ｌ＞ｌｔ（ｘ　）＋　，　＋ｌ　／．ｔ（　Ｊ）・　

４）若Ｖ，．∈｛１，…，ｚ），有　＋ｌ　Ｐ，　ｆ　『，则　：０，　，　＝０，从而有：　

’（　）＝　（　）＋　＋ｌ＞∥（　）＋　，　＋１　／ｚ（　）－　

上述仅对Ｘｉ之间是ｅｒ关系进行了讨论，若其关系为　，，可以进行同样分析，并有相同结论・　

由上面的证明过程可知，Ｘｉ　∈Ｘ，Ｖｒ∈｛１，…，１），若ｘｉ　Ｐ，　，则ＸｉＰｘｊ・　

定理５　（非独裁性）不存在ｆ∈｛１，…，　），对任意的Ｘｉ　∈Ｘ，（　ｆ≠Ｘｊ）．ｘｉＰｔｘｊ，　

则　ｉ　Ｊ・　

证明：采用反证法．　设存在ｆ∈｛１，…，ｌｌ，使得对任意的Ｒ　（ｒ＝１，…，１），都有：　

ｘｉ　Ｐｌｘｊ　ｘｉＰｘｊ，　ｘｌ，Ｘｊ∈Ｘ，Ｘｉ≠Ｘｊ・　

现在构造一个Ｒ＝（Ｒ　一，Ｒ１），在上述条件下有ＸｊＲｘｉ．　

先取厶（　ｆ，　，）＝０，（ｉｅ｛１，…，Ｚ），ｉ≠ｆ），则有：

　刘鹏等：Ｂｌｉｎ法在群体决策中的理性条件及其应用　２１　

（Ｘｊ，Ｘｉ）＝１，　＝７１　ｌ

ｋ　（　＝　＜　壹

ｋ＝ｌ　：　＝　‘　＝１　‘　‘　‘　从而有　ｒｊ。　．　

对任意　∈Ｘ＼｛　，　，），任意的ｉ∈｛１，…，１），再取　

Ｌ　（ｘｋ，　）＝０，　（ｘｋ，ｘｉ）＝０，　

即有Ｌ　（　，　）＝１，Ｌｉ（ｘＪ，ｘ　）＝１，则有　＝１，　＝１．由式（３）可得　（　）　／．ｚ（ｘＪ），　

再由定义３知　Ｒｘｆ，与假设相矛盾．　

定理６　（独立性）设［Ｒ，…，　】和［　，…，　】是Ｇ在ｘ上的两个偏爱断面，Ｓ　Ｘ．对　

任意的Ｘｉ　∈Ｓ，ｒ＝１，…，ｌ，如果ｘｉＲ，　Ｊ铮ｘｉＲ，　，那么ｘｉＲｘＪ§ＸｉＲ　．　

证明：对任意的Ｘｉ　Ｘ　∈Ｓ，，．∈（１，…，Ｚ｝，由ｘｉＲ，ｘ　和ｘｉＲ，ｘＪ可知：　

１）若Ｌ，（Ｘｆ，Ｘ　）：０．５，Ｖｒ∈｛１，…，１），则有：　

＝　∑　（Ｘｉ￣Ｘｊ）＝０．５．　

由式（２）知　＝１，再由式（３）知ａ（ｘｆ）＝１．因为Ｌ，（　，，　ｆ）＝Ｌ，（　，　）＝０．５，　

Ｖｒ∈｛１，…，Ｚ），从而有　（　』）＝Ｚ，即有ＸｉＩｘＪ，此时有　，（　，　）＝０．５，Ｖｒ∈｛１，…，Ｚ）．　

仿上亦可得到　，’　Ｊ．由ｘｉＲ，　Ｊ甘ｘｉＲ＇ｒｘ　，ｒ＝ｌ，…，ｌ，可知　§ｘｆｌ’　．　

２）若对某些，．∈｛ｌ，…，ｌ｝有：　

Ｌ，（Ｘｆ，Ｘ　）＝０．５，　（５）　

而对其余的，．∈｛１，…，ｌ｝有：　

，（　ｆ，Ｘ　）＝１，　（６）　

由式（５）可得　＝１，从而有：　

／ｚ（ｘ　）＝１．　（７）　

由式（６）式可得　＝０，从而有：　

ａ（ｘ　）：０．　（８）　

由式（７）和式（８）可知／ｕ（ｘｆ）＞　（　ｆ），由定义３有ｘｉＰｘ，．　

同上分析，可以得到　尸’　Ｊ．此时，由ｘｉＲ，　§ｘｉＲ＇￣ｘ　，ｒ：１，…，ｌ可知　，§　尸’　Ｊ．综