1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件
自主预习·探新知
情景引入
古代有一次考画师的题目是“深山藏古寺”，考生的画面上有的是崇山峻岭，松柏深处有座寺庙；有的是山峦之间露出寺庙的一角……而有一个考生的画面上只有起伏的山峦，密密的松林，一个和尚正从山脚下沿着一股小道担水上山，却没有寺庙．最后，这幅画被评为第一名．
和尚担水上山与深山古寺之间有什么逻辑关系呢？(如果有和尚担水上山，那么山里就有庙……)
新知导学
1．如果命题“若p，则q”为真，则记为__p⇒q__，“若p则q”为假，记为__p⇒/q__.
2．如果已知p⇒q，则称p是q的__充分条件__，q是p的__必要条件__.
3．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的__充要条件__，记为__p⇔q__.
4．如果p⇒/q且q⇒/p，则p是q的__既不充分也不必要条件__.
5．如果p⇒q且q⇒/p，则称p是q的__充分不必要__条件．
6．如果p⇒/q且q⇒p，则称p是q的__必要不充分__条件．
预习自测
1．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( A )
A．－1＜m＜0 B．－4＜m＜2
C．m＜1 D．－3＜m＜1 [解析] 圆方程整理得(x－1)2＋y2＝1，
即圆心为(1,0)，半径r＝1.
∵直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同交点，
∴直线与圆相交，∴|1＋m|2＜1，即|m＋1|＜2，解得－2－1＜m＜2－1.故结合选项得直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是－1＜m＜0，故选A．
2．(2020·天津卷，2)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A．
第一课时 必要条件与充分条件教学案例
必要条件与充分条件，是常用逻辑用语的第一个基本内容，是逻辑思维的基本语言。对于一个命题，明确了“条件”是“结论”成立的必要性条件还是充分性条件，可以使学生的数学思维更加清晰，是培养学生逻辑思维能力的重要途径，学生能够熟练地使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理和运算，为今后的数学学习，在思维的敏捷性、推理的准确性、语言表达的精炼性等方面，奠定坚实的基础。
(1)知识目标：
掌握命题的概念和基本形式；通过典型的数学命题，理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。
(2)核心素养目标：
提高学生数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养学生的逻辑推理能力和数学的运算能力。
（1）掌握命题的概念和基本形式；
（2）理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；
（3）能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。
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一、知识引入
初中学习过“命题”的知识，可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。
命题的一般形式是“若𝑝，则𝑞”，
其中𝑝是命题的条件，q是命题的结论，如果“若𝑝，则𝑞”是真命题，就说由𝑝推出q，记作𝑝⇒𝑞。
如：平面上两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等。
该命题为真命题，其中“平面上两条直线被第三条直线所截”是命题的前提，“如果两直线平行”是命题的条件，“那么同位角相等”是命题的结论。 思考讨论：
定理1：菱形的对角线互相垂直.
定理2：对顶角相等.
定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.
①将定理1、2改成“若𝑝，则𝑞”的形式.
提示：定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.
定理2：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
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下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 1.1.1 四种命题(不作要求) 1.1.2 充分条件和必要条件
学
习 目 标 核 心 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)
2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)
3．培养辩证思维能力. 通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.
1．符号⇒与的含义
命题真假 “假设p那么q〞为真 “假设p那么q〞为假
表示方法 p⇒q pq
读法 p推出q p不能推出q
2.充分、必要条件的含义
条件关系 含义
p是q的充分条件
(q是p的必要条件) p⇒q
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的充分不必要条件 p⇒q，且qp
p是q的必要不充分条件 pq，且q⇒p
p是q的既不充分又不必要条件 pq，且q p
思考：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否一样？
(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)一样，都是p⇒q (2)等价
1．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，应选A.] .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 2．对于任意的实数a，b，c，在以下命题中，真命题是( )
A．“ac＞bc〞是“a＞b〞的必要条件
B．“ac＝bc〞是“a＝b〞的必要条件
C．“ac＜bc〞是“a＜b〞的充分条件
D．“ac＝bc〞是“a＝b〞的充分条件
B [假设a＝b，那么ac＝bc；假设ac＝bc，那么a不一定等于b，故“ac＝bc〞是“a＝b〞的必要条件．]
3．设a，b是实数，那么“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
学必求其心得，业必贵于专精
1 充要条件的四种解释
充要条件是简易逻辑中的重要概念,高考的要求是要弄清充要条件的意义，会判断两个命题间的充要关系.因此必须对充要条件深刻的理解和认识。本文将对充要条件进行多角度的解释。
一、用集合解释
若p为条件，q为结论，且设P所对应的集合为A={x|p｝，q所对应的集合为B={x|q｝，则
①若AÌ，__B,就是x∈A则x∈B,则A是B的充分条件，B是A的必要条件.
②若A错误!B,就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.
③若A=B，就是A错误!B且A错误!B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件,即A是B的充要条件。
④若AB，A错误!B，则A是B的既不充分也不必要条件。
二、用四种命题解释
若p为条件，q为结论,由此构造一个命题：若p则q，则
(1）如果原命题成立,逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；
（2）如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的； A B 学必求其心得，业必贵于专精
2 (3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；
(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.
三、用“Þ”、“”、“”解释
用“Þ”、“”、“”对充分条件、必要条件、充要条件的定义的解释主要体现在四个字上“头必尾充”，此种解释显得直观、简捷，在实际的解题中是采用得最为广泛的一种方法。
（1）若pq,且q错误!p，则p是q的充分且不必要条件，q是p的必要且不充分条件；
（2)若qp，且p错误!q，则p是q的必要且不充分条件，q是p的充分且不必要条件；
(3)若pq,且qp（或pq）,则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件);
（4)若p错误!q，且q错误!p，则p是q的非充分非不必要条件.
四、用汉语言解释
命题的条件为p与结论为q之间的关系可用汉语言解释为：
