九年级下册数学讲义《统计初步》全章复习与巩固

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题《统计初步》全章复习与巩固学习目标1. 了解总体、样本、个体等基本概念，知道调查的几种方式及特点.．2. 了解几种统计图侧重表达的信息，学会选择合适的统计图表并会绘制统计图表，能准确而迅速地反映出要表达的信息.3. 了解平均数、加权平均数、中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．教学内容【要点梳理】要点一、总体、样本的概念1．总体：调查时，调查对象的全体叫做总体.2．个体：组成总体的每一个调查对象称为个体.3．样本：从总体中取出一部分个体叫做总体的一个样本.4．样本容量：样本中个体的数量叫样本容量（不带单位）.要点诠释：注意：为了使样本能较好地反映总体的情况，除了要有合适的样本容量外，抽取时还要尽量使每一个个体都有同等的机会被抽到.要点二：全面调查与抽样调查调查的方式有两种：普查和抽样调查：1．普查：需要对总体中的每个个体都进行调查，所费的人力、物力和时间较多.这一方法的优点是数据准确度较高，调查的结论较可靠.2．抽样调查：是从总体中抽取样本进行调查，并以此来估计整体的情况.抽样调查与普查相比更省时省力，但要按一定的统计方法收集数据.要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.要点三：扇形统计图和条形统计图及其特点1.扇形统计图的特点：（1）用扇形面积表示部分占总体的百分比；（2）易于显示每组数据相对于总体的百分比；（3）扇形统计图的各部分占总体的百分比之和为100％或1. 在检查一张扇形统计图是否合格时，只要用各部分分量占总量的百分比之和是否为100％进行检查即可.2．条形统计图的特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别.要点四、平均数和加权平均数如果一组数据：123n x x x x 、、、…，它们的平均数记作x .这时，()1231n x x x x x n=⋅⋅⋅++++. 要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数a 附近上、下波动时，一般选用简化计算公式x x a '=+.其中x '为新数据的平均数，a 为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若n 个数12n x x x 、、…的权分别是12n f f f 、、…、，则112212......n n nx f x f x f f f f ++++++叫做这n 个数的加权平均数.要点诠释：（1）相同数据i x 的个数i f 叫做权，i f 越大，表示i x 的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.要点五、中位数、众数和截尾平均数1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.3.截尾平均数：一组数据去掉最大值和最小值后，求得的平均数叫做截尾平均数.4.平均数、中位数与众数的联系与区别：联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.要点六、方差和标准差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差2s 的计算公式是： ()[]222212)(...)(1x x x x x x n S n -++-+-= 要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的2k倍.方差的非负平方根叫做这组数据的标准差，用符号s表示，即：；标准差的数量单位与原数据一致.要点七、频数和频率分组后各个小组内的数据的个数叫做频数.反映各小组中相关数据出现的频数的统计图叫做频数分布直方图.如果将每小组的频数除以全组数据的总的个数，就可以得到各小组数据的频数与全组数据总个数的比值，我们把这个比值叫做组频率.通常在频率分布直方图中，用每个小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率.因此在频率分布直方图中，纵坐标表示频率与组距的商，即“频率组距”，横坐标的意义与频数分布直方图相同.条形图和直方图的异同：直方图与条形图不同，条形图是用长方形的高（纵置时）表示各类别（或组别）频数的多少，其宽度是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少（等距分组时可以用长方形的高表示频数），长方形的宽表示各组的组距，各长方形的高和宽都有意义. 此外由于分组数据都有连续性，直方图的各长方形通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图是分开排列，长方形之间有空隙.【典型例题】类型一、统计的基本概念例1、为了了解2012年河南省中考数学考试情况，从所有考生中抽取600名考生的成绩进行考查，指出该考查中的总体和样本分别是什么？【思路点拨】从概念上来看，总体即全部考查对象，样本是一部分考查对象，还要注意考查的对象是数量指标.【答案与解析】解：总体是2012年河南省参加中考考试的所有考生的数学成绩；样本是抽取的600名考生的数学成绩. 【总结升华】统计中的研究对象是数据，而不是具体的人或物. 在叙述总体和样本时，要注意他们的范围和数量指标.【试一试】2012年某县共有4591人参加中考，为了考查这4591名学生的外语成绩，从中抽取了80名学生成绩进行调查，以下说法不正确的是（）A.4591名学生的外语成绩是总体；B.此题是抽样调查；C.样本是80名学生的外语成绩；D.样本是被调查的80名学生.【答案】D；例2、下列调查中，适合用普查方法的是（）.A.电视机厂要了解一批显像管的使用寿命；B.要了解我市居民的环保意识；C.要了解我市“阳山水蜜桃”的甜度和含水量；D.要了解某校数学教师的年龄状况.【答案】D；【解析】A、B、C工作量太大，太复杂，只能作抽样调查，而D可以作普查.【总结升华】在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.【试一试】下列抽样调查中抽取的样本合适吗？为什么？（1）数学老师为了了解全班同学数学学习中存在的困难和问题,请数学成绩优秀的10名同学开座谈会；（2）在上海市调查我国公民的受教育程度；（3）在中学生中调查青少年对网络的态度；（4）调查每班学号为5的倍数的学生，以了解学校全体学生的身高和体重；（5）调查七年级中的两位同学，以了解全校学生的课外辅导用书的拥有量.【答案】解：（1）中的抽样不太合适，抽样时，应该让成绩好、中、差的同学都有代表参加；（2）中上海市的经济发达，公民受教育的程度较高，不具有代表性；（3）中青少年不仅仅是中学生，还有为数众多的非中学生，中学生对网络的态度不代表青少年对网络的态度；（4）中抽样是随机的，因此可以认为抽样合适；（5）中调查的人数太少，各年级的情况可能有所不同，因此抽样不合适.类型二、统计图例3、某厂生产一种产品，图一是该厂第一季度三个月产量的统计图，图二是这三个月的产量占第一季度总量的比例分布统计图，统计员在制作图一、图二时漏填了部分数据.根据上述信息，回答下列问题：（1）该厂第一季度哪一个月的产量最高？__________月.（2）该厂一月份产量占第一季度总产量的__________％.（3）该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％. 请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程）【思路点拨】由条形统计图可知，三月份的产量最高，由扇形统计图可知，一月份的产量占总量的百分比为：1－38％－32％＝30％.【答案】（1）三；（2）30.（3）（1900÷38％）×98％＝4900.答：该厂第一季度大约生产了4900件合格的产品.【总结升华】扇形面积表示部分占总体的百分比.条形图能显示各组的具体数据，与扇形图相互补充，通过三月份的产量和比例，容易算出总数.【试一试】图中是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户居民家庭教育支出占全年总支出的百分比做出的判断中正确的是（）.A.甲户比乙户大；B.乙户比甲户大；C.甲、乙两户一样大；D.无法确定哪一户大.【答案】B；提示：从图甲中可以直接读出甲户居民家庭全年的各项支出：衣着1200元，食品2000元，教育1200元，其他1600元，故全年总支出为：1200＋2000＋1200＋1600＝6000（元），由此求出甲户教育支出占全年总支出的百分比为；由图乙得知乙户居民的教育支出占全年总支出的百分比为25％，所以选B.例4、将一个容量为30的样本分成4组，绘出频数分布直方图，如图所示，已知各小长方形的高之比A∶B∶C∶D＝2∶4∶3∶1，则第二小组的频数为______________.【答案】12；【解析】解：各小组频数之比等于直方图中各小组小长方形的高之比，设各小组频数分别为，则，，第2小组的频数为.【总结升华】频数分布直方图中小长方形的高之比等于各小组频数之比.【试一试】某校为选拔学生参加华罗庚数学竞赛，抽调了一部分学生进行了一次数学竞赛，竞赛成绩（得分取整数）进行整理后分成5组，并绘制成频数分布直方图，如图所示. 请结合图中提供的信息，解答下列问题：（1）共抽取了多少人参加竞赛？（2）60.5～70.5这一分数段的频数是多少？占总人数的百分比是多少？（3）如果把这五组成绩制成扇形统计图，问70.5～80.5这一分数段对应的扇形圆心角的度数是多少？【答案】解：（1）因为3＋12＋18＋9＋6＝48（人），所以共抽取了48人参加竞赛；（2）60.5～70.5这一分数段的频数是12，占总人数的百分比是；（3）因为70.5～80.5这一分数段的频数是18，它在这五组数中所占的百分比是： ，所以，它所对应的扇形圆心角的度数是360°×37.5％＝135°.类型三、统计思想例5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少户．【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体．【答案与解析】解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是62 6.54717.5281 6.810x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． ∴ 这组样本数据的平均数为6.8．∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多．∴ 这组数据的众数是6.5．∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有6.5 6.5 6.52+=． ∴ 这组数据的中位数是6.5．(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t 的有7户，有7503510⨯=． ∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有35户．【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．例6、为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：(单位：分)甲成绩（分）76 84 90 86 81 87 86 82 85 83 乙成绩（分） 82 84 85 89 79 80 91 89 74 79回答下列问题：(1)甲同学成绩的众数是________分，乙同学成绩的中位数是________分；(2)若甲同学成绩的平均数为x 甲，乙同学成绩的平均数为x 乙，则x 甲与x 乙大小关系是________．(3)经计算知：2s =甲13.2，2s 乙＝26.36，2s 甲________2s 乙，这表明________；(用简明的文字语言表述)(4)若测验分数在85分(含85分)以上为优秀，则甲同学的优秀率是________，乙同学的优秀率是________．【答案与解析】解：(1)86；83．(2)x x >甲乙(3)＜，甲同学成绩比乙同学成绩稳定．(4)甲同学的优秀率为50％，乙同学的优秀率为40％．【总结升华】利用方差的意义可以比较同一类事物的稳定、整齐等内容，在生产、生活中比较常见．综合运用所学知识，提高分析问题、解决问题的能力．1. 为了了解某校七年级1300名学生的视力情况，从各班分别随机抽取了10名学生进行了 解，这次对每班抽取的10名学生进行了解的作用是（ ）.A.样本B.用样本估计总体C.抽样D.以上都不对2.小明家上个月支出共计800元，各项支出如图所示，其中用于教育上的支出是（ ）．A.80元B.160元C.200元D.232元3. 我国五座名山的海拔高度如下表：山名 泰山 华山 黄山庐山 峨眉山海拔（千米） 1.524 1.997 1.873 1.500 3.099 若想根据表中的数据做统计图，以便更清楚地对几座山的高度进行比较应选用（）.A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图D.都可以4. 池塘中放养了鲤鱼8000条，鲢鱼若干. 在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼320条，鲢鱼400 条. 估计池塘中原来放养了鲢鱼（）条.A.10000B.8000C.9000D.87005.如图，统计了四年级（1）班的一次数学测验的成绩，并画出了频数分布直方图，则落在60～70小组内的频数是_____________，90～100小组的组中值为_____________.6.如图所示是一组数据的折线统计图，这组数据的最大值与最小值的差是________，平均数是________．7.学校篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，其方差为0.8，则三年后邀五名队员年龄的方差为________．8.在一次测验中，A组有10人，数学平均成绩是84分，B组有20人，数学平均成绩是78分，如果把A、B两组合并，那么合并后的数学平均成绩是________分．9. 某中学八年级(1)班共40名同学开展了“献爱心”的活动．活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计，并绘制成如图所示的统计图．(1)求这40名同学捐款的平均数；(2)该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元?10.某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．甲同学计算出前两组的频率和是0.12．同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96％，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频率比为4:17:15．结合统计图回答下列问题．(1)这次共抽调了多少人?(2)若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少?(3)如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人?【答案与解析】1.【答案】B；2.【答案】C；【解析】800×25％＝200（元）3.【答案】A；【解析】条形统计图容易很清楚地看到各组数据的区别.4.【答案】A；【解析】（条）.5.【答案】4；95；6.【答案】31；46.5；【解析】最大值与最小值的差是59－28＝31；平均数1(322854505956)46.5 6x=⨯+++++=．7.【答案】0.8；【解析】三年后五位队员的年龄都大了3岁，而平均年龄也大了3岁，由方差的计算公式可知方差并没有变化，仍为0.8．8．【答案】80；【解析】84107820801020⨯+⨯=+.9.【解析】解：(1)140×(20×9＋30×12＋50×16＋100×3)＝41(元)；所以这40名同学捐款的平均数为41元． (2)41×1200＝49200(元)．所以这个中学的捐款总数大约是49200元． 10.【解析】解：(1)第一小组的频率为1-0.96＝0.04，第二小组的频率为0.12-0.04＝0.08，∴121500.08=(人)， ∴ 这次共抽调了150人．(2)第一小组人数为150×0.04＝6(人)， 第二小组人数为150×0.08＝12(人)，由于第二、三、四小组的频率比为4:17:15， 故第三、四小组人数分别为51人和45人． 这次测试的优秀率为1506125145100%24%150----⨯=．(3)成绩为120次的学生至少有7人．1.甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次，射击成绩统计如下：命中环数（单位：环） 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 2 2 0 1 乙命中相应环数的次数131从射击成绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则( )A ．甲比乙高B ．甲、乙一样C ．乙比甲高D ．不能确定2. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球化赛，他们的身高(单位：cm)如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙队170175173174183设两队队员身高的平均数依次为x 甲，x 乙身高的方差依次为2s 甲，2s 乙，则下列关系中完全正确的是( )．A ．x x =甲乙，22s s >乙甲B ．x x =甲乙，22s s <乙甲C ．x x >甲乙，22s s >乙甲D ．x x <甲乙，22s s <乙甲3. 随着经济的发展，人们的生活水平不断提高．如图所示分别是某景点2010～2012年游客总人数和旅游收入年增长率统计图．已知该景点2011年旅游收入4500万元．下列说法：①三年中该景点2012年旅游收入最高；②与2010年相比，该景点2012年的旅游收入增加了[4500×(1＋29％)－4500×(1－33％)]万元；③若按2012年游客人数的年增长率计算，2013年该景点游客总人数将达到280×2802551255-⎛⎫+⎪⎝⎭万人次．其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D 34. 某次考试中，某班级的数学成绩统计图如图所示，下列说法错误的是（ ）．A ．得分在70～80分之间的人数最多B ．该班的总人数为40C ．得分在90～100分之间的人数最少D ．及格(≥60分)人数是265. 在一次捐款活动中，某班50名同学人人拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的．如图所示的统计图反映了不同捐款数的人数比例，那么该班同学平均每人捐款________元．6.如图所示，是甲、乙两地5月下旬的日平均气温统计图，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为：2s 甲________2s 乙．7．在一节综合实践课上，五名同学手工作品的数量（单位：件）分别是：3，8，5，3，4，则这组数据的中位数是________件．8.某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表：成绩/分 3 4 5 6 7 8 9 10人数 1 1 2 2 8 9 15 12则这些学生成绩的众数为________．9.某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：员工管理人员普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数（名） 1 3 2 3 24 1每人月工资（元）21000 8400 2025 2200 1800 1600 950 请你根据上述内容，解答下列问题：(1)该公司“高级技工”有________名；(2)所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为________元，众数为________元；(3)小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答图小张的问题，并指出用(2)中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；(4)去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y(结果保留整数)，并判断y能否反映该公司员工的月工资实际水平．10.为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如图所示(单位：mm)．平均数 方差 完全符合要求个数A 20 0.0252 B202B s5根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为________的成绩好些．(2)计算出2B s 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些．(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适?说明你的理由．【答案与解析】 1.【答案】B ； 【解析】27281085x ⨯+⨯+==甲，7183985x ⨯+⨯+==乙．故从平均数评价甲、乙两人的射击水平可知，甲、乙一样．2.【答案】B ； 【解析】因为1(177176175172175)1755x =++++=甲， 1(170175173174183)1755x =++++=乙，所以x x =甲乙，2222221[(177175)(176175)(175175)(172175)(175175) 2.85s =-+-+-+-+-=甲2222221[(170175)(175175)(173175)(174175)(183175)]18.85s =-+-+-++-+-=乙，所以22s s <乙甲．3.【答案】Ｃ；【解析】从旅游收入年增长率统计图中得到2011年收入比2010年收入增长33%，2012年收入比2011年收入增长29%，故2012年旅游收入最高，①正确．2012年收入为4500(1＋29%)万元，2010年收入为[4500÷(1＋33%)]万元，则②错误．2012年旅游人数增长率为280255255-，则2013年该景点人数为2802552801255-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭万人次，则③正确．故其中正确的个数是2．4.【答案】D ；【解析】观察统计图可得得分在70～80分的人数最多，是14；该班总人数为4＋12＋14＋8＋2＝40；得分在90～100分的人数最少，是2；及格(≥60分)的人数是12＋14＋8＋2＝36，不是26，故D 项错误．5.【答案】31.2；【解析】2044%1020%5016%10012%58%31.2⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=. 6.【答案】＞ 【解析】方差是用来衡量一组数据的波动大小的量，方差较大的波动也较大，本题中两组数据的个数相同，明显甲组数据的波动大于乙组数据，又无需写出计算过程，因此可通过分析得出答案．7．【答案】4； 8．【答案】9；【解析】9分的人数最多. 9.【解析】解：(1)高级技工人数为：50－(1＋3＋2＋3＋24＋1)＝16(名)． (2)中位数为：1600180017002+=，众数为1600．(3)这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平． 用1700元或1600元来介绍更合理些． (4)2500502100084003173146y ⨯--⨯=≈(元)．y 能反映该公司员工的月工资实际水平． 10.【解析】 解：(1)B(2)222221[5(2020)3(19.920)(20.120)(20.220)]0.00810B s =⨯⨯-+⨯-+-+-=， 又220.026A B s s =>，在平均数相同的情况下，因22A B s s >，即B 的波动性小些，所以B 的成绩好些．(3)从图中折线走势可知，尽管A 前面的成绩起伏较大，但后来的成绩逐渐稳定，误差在逐渐减小，在竞赛加工零件数远远超过10个的情况下，预测A 的潜力较大，可选派A 去参赛．。