第87讲 电磁感应中的单杆模型
1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。
【解答】解：（1）a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生感应电流向上，根据右手定则判断得出匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）滑动变阻器从全部接入到一半接入电路，回路里电流变大，定值电阻R0上电压变大，图甲的Ucd小于图乙的Ucd，可以推理得定值电阻在Ⅰ内，滑动变阻器在Ⅱ
根据欧姆定律得：甲图中回路电流I甲=1.2𝑅=1.220𝐴=0.06𝐴，乙图中回路电流I乙=1.0𝑅2=1.010𝐴=0.1A
甲图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.2＝0.06R
乙图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.0＝0.1R
联立解得：R＝5Ω，φ0＝1.5V
（3）金属杆产生的感应电动势E＝BLv，E＝φ0
联立解得v=𝜑0𝐵𝐿=1.50.4×0.75𝑚/𝑠=5m/s（4）根据甲乙两图可知导体棒电阻不计，由闭合电路欧姆定律得I=𝐸𝑅0+𝑅
滑动变阻器上的功率p＝I2R=𝐸2𝑅(𝑅0+𝑅)2=2.2525𝑅+𝑅+10，当R＝5Ω时，滑动变阻器有最大功率Pm＝0.1125W
答：（1）匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）定值电阻R0在Ⅰ中，定值电阻R0＝5Ω
（3）金属杆运动时的速率为5m/s
（4）滑动变阻器阻值为5Ω时变阻器的功率最大，最大功率为0.1125W
-1-微专题十二电磁感应中动力学、动量和能量问题
电磁感应中的动力学问题
1．两种状态及处理方法
状态特征处理方法
平衡态加速度为零根据平衡条件列式分析
非平衡态加速度不为零根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析
2.抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I
、切割速度v
，“四步法”分析电磁
感应中的动力学问题
[典例1]如图所示，水平面(纸面)内间距为l
的平行金属导轨间接一电阻，质量为m
、
长度为l
的金属杆置于导轨上。t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F
的恒定拉力作用下由
静止开始运动。t
0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B
、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区
域，且在磁场中恰好能保持匀速运动。杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接
触良好，两者之间的动摩擦因数为μ
。重力加速度大小为g
。求：
(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；
(2)电阻的阻值。
审题指导：分别画出金属杆进入磁场前、后的受力示意图，有助于快速准确地求解问题。
甲乙
[解析](1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a
，由牛顿第二定律得
F
－μmg
＝ma
①-2-设金属杆到达磁场左边界时的速度为v
，由运动学公式有
v
＝at
0②
当金属杆以速度v
在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律得杆中的电动势为
E
＝Blv
③
联立①②③式可得
E
＝Blt
0F
m－
μg
。④
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I
，根据欧姆定律
I＝E
R⑤
式中R
为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为
f
＝BlI
⑥
因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得
F
－μmg
－f
＝0⑦
联立④⑤⑥⑦式得
R
＝B2l2t
0
m。⑧
[答案](1)Blt
0F
m－
μg
(2)B2
l2t0
m
电磁感应中动力学问题的分析思路(1)确定电源：产生感应电动势的导体相当于电源，其电阻相当于电源的内阻。
(2)画等效电路图：根据闭合电路欧姆定律求感应电流，即I
＝E
R
＋r。
(3)受力分析：根据牛顿第二定律列式，分析导体加速度的变化情况或求加速度，其中安
电磁感应中的能量问题
复习精要
1.产生和维持感应电流的存在的过程就是其它形式的能量转化为感应电流电能的过程。
导体在达到稳定状态之前， 外力移动导体所做的功， 一部分消耗于克服安培力做功， 转化为
产生感应电流的电能或最后在转化为焦耳热，另一部分用于增加导体的动能，即
当导体达到稳定状态(作匀速运动时) ，外力所做的功，完全消耗于克服安培力做功，并转
化为感应电流的电能或最后在转化为焦耳热
WF =Wf
丄〉E电 ---------- 、Q
2•在电磁感应现象中，能量是守恒的。楞次定律与能量守恒定律是相符合的，认真分析电磁 感应过程中的能量转化， 熟练地应用能量转化与守恒定律是求解叫复杂的电磁感应问题常用 的简便方法。
3•安培力做正功和克服安培力做功的区别：电磁感应的过程，同时总伴随着能量的转化和守 恒，当外力克服安培力做功时， 就有其它形式的能转化为电能；当安培力做正功时，就有电
能转化为其它形式的能。
4•在较复杂的电磁感应现象中，经常涉及求解耳热的问题。尤其是变化的安培力，不能直接 由Q=I2
Rt解，用能量守恒的方法就可以不必追究变力、变电流做功的具体细节，只需弄清 能量的转化途径，注意分清有多少种形式的能在相互转化， 用能量的转化与守恒定律就可求
解，而用能量的转化与守恒观点，只需从全过程考虑，不涉及电流的产生过程，计算简便。
这样用守恒定律求解的方法最大特点是省去许多细节，解题简捷、方便。
1 •如图所示，足够长的两光滑导轨水平放置，两条导轨相距为 d，左端MN用阻值不计的
导线相连，金属棒 ab可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为 ro,金属棒ab的电阻不计。
整个装置处于竖直向下的均匀磁场中，磁场的磁感应强度随时间均匀增加， B=kt，其中k为
常数。金属棒 ab在水平外力的作用下，以速度 v沿导轨向右做匀速运动，t=0时，金属棒 ab与MN相距非常近.求：
(1 )当t=to时，水平外力的大小 F .
图2 电磁感应中的能量转化问题
在产生感应电流的过程是，通过外力做功，把其他形式的能转化成电能的过程。产生的感应电流在电路中通过电功将电能转化为其它形式的能量。可见，对于一些电磁感应问题，我们可以从能量转化与守恒的观点或运用功能关系进行分析与求解。在此需要特别指出的是，对于切割产生感应电动势（动生电动势）的问题中，动生电流的安培力做功对应着其它能与感应电能的转化，动生电流的安培力做多少功，就会有多少其它能与感应电能发生转化。
一、 能量的转化与守恒
能量的转化与守恒这类问题难度一般不大，只要搞清能量的转化方向，应用守恒规律，问题也就迎刃而解。
【例题1】如图1所示，圆形线圈质量为m=0.1kg，电阻R=0.8Ω，半径r=0.1m，此线圈放绝缘光滑的水平面上，在y轴右侧有垂直于线圈平面的B=0.5T的匀强磁场，若线圈以初动能E=5J沿x轴方向进入磁场，运动一段时间后，当线圈中产生的电能Ee=3J时，线圈恰好有一半进入磁场，则此时磁场力的功率。
【分析与解答】在本题中，动能通过动生电流的安培力做功向感应电能转化。当线圈一半进入磁场中时，题意已经明确了电路中产生了电能Ee=3J，由能量守恒，还有2J的动能，进而求出速度，应用法拉第电磁感应定律求瞬时感应电动势，再求电流的大小，求安培力，最后求安培力的功率大小。
在最后求安培力的功率大小时，还可以用功能关系：动生电流的安培力做多少功，就会有多少其它能与感应电能发生转化。所以安培力的功率等于电路中电流的电动率，解题过程相对简单。
解答略。
二、功能关系的应用
【例题2】如图2，两金属杆ab和cd长均为l,电阻均为R,质量分别为M和m,M>m.用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路,并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧.两金属杆都处在水平位置,如图所示.整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中,磁感应强度为B.若金属杆ab正好匀速向下运动,求运动的速度.
