矩形、菱形、正方形的性质与判定(1)

课题平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判断（）课时数第课时总课时时间：9月7日、会概括正方形的特征并进行证明、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明教课目的、在进行探究、猜想、证明的过程中，进一步领会证明的必需性以及计算与证明在解决问题中的作用、在比较、概括、总结的过程中，进一步领会特别与一般之间的辩证关系教课要点经历察看、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力教课难点有条理地、清楚地论述自己的看法教课过程二次备课情境矩形和菱形都是特别的平行四边形，那么更为特别的平行四边形是创建什么图形？它又有什么特别性质呢？、正方形的定义有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（正方形是在什么前提下定义的？包含哪两层意思？）探究、正方形的性质活动正方形是平行四边形、矩形、菱形这些图形性质的综合，所以正方形有以下性质正方形性质定理：正方形的对边平行，四条边相等，四个角都是直角。

正方形性质定理：正方形的两条对角线相等而且相互垂直均分，每一条对角线均分一组对角。

例求证：正方形的两条对角线把正方形分红四个全等的等腰直角三角形。

例已知：如图，正方形的对角线、订交于例题点；正方形’’’’的极点’与点重合，’’交于点，教课’’交于（（由（）、（A DO(A')D'FB EC B' C'A DO(A')FD'B E CB'C'别交、于点、，总有，，，两个正方形的重叠部分的面积一直等于正方形面积的四分之一等等）、如图，将个边长都为1cm的正方形按如下图摆放，点、、、分别是正方形的中心，则个．这样的正方形重叠部分的面积和为（）．1．n44．n1．()n4（第题）、已知正方形。

随堂练习（）如图，是上一点，过上一点作的垂线，交于点，交于点，求证：＝；（）如图，过正方形内随意一点作两条相互垂直的直线，分别交、于点、，交、于点、，与相等吗？请写出你的结论；（）当点在正方形的边上或外面时，过点作两条相互垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延伸线）截得的两条线段还相等吗？此中一种情况如下图，过正方形外一点作相互垂直的两条直线、，与、的延伸线分别交于点、，与、的延伸线分别交于点、，试就该图对你的结论加以证明。

【知识精讲】
特殊
四边
边
形
菱
形
菱形、矩形、正方形的性质判定
性
质
角
对角线
面积
对称性
判定
边
角
对角线
矩 形
正 方 形
【例题精讲】
【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE :∠BAE = 3 :1, 求∠EAC的度数。
【拓展练习】
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相较于点 O，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，交 BC 于 E，求 ∠BOE的度数
C.AD//BC，∠A =∠C
D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
13,.在矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 E，且 CE=DE，若 AB=2AD，则∠ADE 等于（
A.45°
B.30°
C.60°
D.75°
14.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（
A.16
8.菱形的周长为 16，两邻角度数的比为 1:2，此菱形的面积为（
）
A.4 3
B.8 3
C.10 3
D.12 3
9.已知 E 是矩形 ABCD 的边 BC 的中点，那么 SΔ AED =
S矩形ABCD （
）
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
4
5
6
10.如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD 的面积为
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
6.已知菱形 ABCD，AE⊥BC 于 E，若 S菱形ABCD = 24 ，且 AE=6，则菱形的边长为（

第三节 平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定(一)平行四边形的性质和判定 一.教学重难点:重点：平行四边形的性质证明． 难点：分析、综合思考的方法．二.知识点和考点:1.平行四边形的定义2.平行四边形的性质,面积3.平行四边形的判定4.三角形的中位线及其性质三.知识点讲解考点一: 平行四边形的定义考点二:平行四边形的性质(1)平行四边形的对边相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记做例1：如图：在中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，那么图中的平行四边形一共有 （ ） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个例2:如图，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 。

∴AB=DC，AD=BC例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE。

例2.平行四边形的周长等于56cm，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为(2).平行四边形的对角相等注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D例1.已知中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。

求证：∠ADF=∠CBE。

例2、在中，∠A、∠B的度数之比为5：4，则∠C等于（）A、 B、 C、 D、(3)、平行四边形的对角线互相平分注：在证明题时使用格式是：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD例3.如图，，过其对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，求四边形ABEF的周长。

例4.如图，已知：中，AC、BD相交于O点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。

例5.如图，如果的周长之差为8，而AB:AD=3:2，那么的周长为多少？例6.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长长8cm，求这个四边形各边长.(4)平行四边形的面积如图（1），，也就是边长×高=ah(2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

第20讲矩形、菱形和正方形1．矩形、菱形、正方形的性质2.矩形、菱形、正方形的判定矩形：①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角四边形；菱形：①有一组邻边_相等_的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形；正方形：①一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形。

3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系考点1：矩形性质与判定【例题1】(2019湖北咸宁市)（（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．（1）求证：四边形DEFC是矩形；（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，∴DE∥FC，EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形，∵∠DCF＝90°，∴四边形DEFC是矩形．（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．归纳：与矩形有关的计算：(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等，即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直角；(2)因为矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，常用到勾股定理，特殊角三角函数的计算；(3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系应用全等三角形的判定和性质或等腰三角形的性质进行求解． 考点2：菱形的性质与判定【例题2】在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O.(1)如图1，若点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，OE ，OF ，求证：四边形AEOF 是菱形；图1 图2(2)如图2，若E ，F 分别在射线DB 和射线BD 上，且BE ＝DF. ①求证：四边形AECF 是菱形；②若∠AEC ＝60°，AE ＝6，AB ＝BE ，求AB 的长．【点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于①可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于②可利用菱形的性质，转化到Rt △ABO 中进行求解． 【解答】解：(1)证明：∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴AE ＝12AB ，AF ＝12AD.又∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AC ⊥BD. ∵E ，F 是AB ，AD 的中点，∴AE ＝AF ＝OF ＝OE. ∴四边形AEOF 是菱形．(2)①证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，BD ⊥AC. ∵BE ＝DF ，∴OB ＋BE ＝OD ＋DF ，即OE ＝OF. ∴四边形AECF 是菱形．②∵四边形AECF 是菱形，∴AE ＝CE ，AO ⊥EF ，∠AEO ＝∠CEO. ∵∠AEC ＝60°，∴∠AEO ＝30°. ∵AE ＝6，∴AO ＝3.∵AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠AEB ＝30°.∴∠ABO ＝∠AEB ＋∠BAE ＝60°. ∴在Rt △AOB 中，AB ＝AO sin ∠ABO ＝3sin60°＝2 3.归纳：1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定平行四边形对角线垂直即可判定为菱形等； 2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长，有一个角为60°的菱形，60°所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．也可以根据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，结合它的对称性得出的一些结论． 考点3： 正方形的性质与判定【例题3】(2018·遵义)如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN. (1)求证：OM ＝ON ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．【解析】：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝∠OBA ＝45°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°. ∵∠EOF ＝∠AOB ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON. ∴△OAM ≌△OBN(ASA)． ∴OM ＝ON.(2)过点O 作OH ⊥AD 于点H. ∵正方形ABCD 的边长为4， ∴OH ＝HA ＝2. ∵E 为OM 的中点， ∴A 为HM 的中点． ∴HM ＝4.∴OM＝22＋42＝2 5.∴MN＝2OM＝210.归纳： 1．证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形．2．在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解．注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起．一、选择题：1. （2019•南京•2分）面积为4的正方形的边长是（）A．4的平方根B．4的算术平方根C．4开平方的结果D．4的立方根【答案】B【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；故选：B．2. （2019•浙江绍兴•4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变【答案】D【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ECFG中，∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°，∴∠DCF＝∠ECB，∴△BCE∽△FCD，∴，∴CF•CE＝CB•CD，∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．故选：D．3. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】D【解答】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选：D．4. （2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6 B． C．2 D．4.5【答案】C【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P 、M 即为使PE+PM 取得最小值， 其PE+PM=PE′+PM=E′M， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴点E′在CD 上，∵AC=6 ，BD=6，∴AB=3，由S 菱形ABCD =12AC•BD=AB•E′M 得12××6=3 •E′M，解得：E′M=2，即PE+PM 的最小值是2 ，故选：C ．5. （2018广西南宁）如图，矩形纸片ABCD ，AB=4，BC=3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP=OF ，则cos∠ADF 的值为（ ）A ．1113 B ．1315 C ．1517D ．1719【答案】C【解答】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP ．在△OEF 和△OBP 中，，∴△OEF≌△OBP（AAS ）， ∴OE=OB，EF=BP ．设EF=x ，则BP=x ，DF=DE ﹣EF=4﹣x ，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC ﹣BP=3﹣x ，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴cos∠ADF=ADDF=1517．故选：C．二、填空题：6. 已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于．【答案】4﹣2．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=2，BD=2，∠EBD=45°，∵将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，∴DC′=DC=2，∠DC′E=∠C=90°，∴BC′=2﹣2，∠BC′E=90°，∴BE=BC′=4﹣2，故答案为：4﹣2．7. （2019•四川省凉山州•5分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 4 ．【答案】4【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．8. （2018广西贵港）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为．【答案】70°．【解答】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，∴∠C'FM=40°，设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，∴180°﹣α=40°+α，∴α=70°，∴∠BEF=70°，故答案为：70°．9. （2019•湖北省咸宁市•3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的是②③（把正确结论的序号都填上）．【答案】②③【解答】解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CP＝CP，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，∴，∴，∴MN＝2QN＝2．故③正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝，∴4≤S≤5，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：10. （2019•浙江宁波•10分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E 为AD 中点， ∴AE＝ED ， ∵BG＝DE ， ∴AE＝BG ，AE∥BG，∴四边形ABGE 是平行四边形， ∴AB＝EG ， ∵EG＝FH ＝2， ∴AB＝2，∴菱形ABCD 的周长＝8．11. 如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 上的点． (1)若AE ＝BF ＝CG ＝DH.求证：四边形EFGH 是矩形；(2)若E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF ＝2，求矩形ABCD 的面积．【点拨】(1)在矩形ABCD 对角线上有条件，同时还在四边形EFGH 对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD 的面积可转化成求AC 与DG 的积或转化成AD 与CD 的积． 【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴OE ＝OF ＝OG ＝OH. ∴四边形EFGH 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD.∵OE ＝12OA ，OF ＝12OB ，OG ＝12OC ，OH ＝12OD ，∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.∴四边形EFGH 是矩形．∵DG ⊥AC ，OG ＝2，∴OD ＝4.∴DG ＝2 3.又∵AC ＝4OF ＝8，∴S △ADC ＝12AC ·DG ＝8 3.∴S 矩形ABCD ＝2S △ADC ＝16 3.12. （2019•山东省滨州市 •13分）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG ． （1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB ＝6，AD ＝10，求四边形CEFG 的面积．【分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到△BCE ≌△BFE ，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF 的长，进而求得EF 和DF 的值，从而可以得到四边形CEFG 的面积． 【解答】（1）证明：由题意可得， △BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE ， ∵FG ∥CE ， ∴∠FGE ＝∠CEB ， ∴∠FGE ＝∠FEG ， ∴FG ＝FE ， ∴FG ＝EC ，∴四边形CEFG 是平行四边形， 又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形；（2）∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ， ∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10， ∴AF ＝8， ∴DF ＝2，设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6﹣x ， ∵FDE ＝90°， ∴22+（6﹣x ）2＝x 2，解得，x ＝，∴CE ＝，∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝×2＝．13. 已知：在边长为8的正方形ABCD 的各边上截取AE ＝BF ＝CG ＝DH.(1)如图1，连接AF ，BG ，CH ，DE ，依次相交于点N ，P ，Q ，M ，求证：四边形MNPQ 是正方形； (2)如图2，若连接EF ，FG ，GH ，HE. ①求证：四边形EFGH 是正方形；②当四边形EFGH 的面积为50 cm 2时，求tan ∠FEB 的值．图1 图2【点拨】(1)先证明四边形MNPQ 是矩形，再证明一组邻边相等；(2)①先证明四边形EFGH 是菱形，再证明它是矩形；②利用勾股定理，求BE ，BF ，再利用正切三角函数定义求值． 【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°. 在△ABF 和△BCG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ，BF ＝CG ，∴△ABF ≌△BCG(SAS)． ∴∠BAF ＝∠GBC.∵∠BAF ＋∠AFB ＝90°，∴∠GBC ＋∠AFB ＝90°. ∴∠BNF ＝90°.∴∠MNP ＝∠BNF ＝90°.∴同理可得∠NPQ ＝∠PQM ＝90°.∴四边形MNPQ 是矩形． 在△ABN 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CBG ，∠ANB ＝∠BPC ，AB ＝BC ，∴△ABN ≌△BCP(AAS)． ∴AN ＝BP.在△AME 和△BNF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠GBC ，∠AME ＝∠BNF ，AE ＝BF ，∴△AME ≌△BNF(AAS)．∴AM ＝BN.∴MN ＝NP.∴四边形MNPQ 是正方形． (2)①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 又∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG. ∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG(SAS)． ∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE. ∴四边形EFGH 是菱形．∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°.∴∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是正方形．②∵四边形EFGH 的面积为50 cm 2，∴EF 2＝50 cm 2. 设BE ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm.在Rt △BEF 中，由勾股定理，得BE 2＋BF 2＝EF 2，即x 2＋(8－x)2＝50. 解得x 1＝1，x 2＝7.当BE ＝1 cm 时，BF ＝7 cm ，tan ∠FEB ＝BFBE ＝7；当BE ＝7 cm 时，BF ＝1 cm ，tan ∠FEB ＝BF BE ＝17.∴tan ∠FEB 的值为17或7.14. （2019•湖南株洲•8分）如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC.BD 的交点，连接CE.DG ． （1）求证：△DOG ≌△COE ；（2）若DG ⊥BD ，正方形ABCD 的边长为2，线段AD 与线段OG 相交于点M ，AM ＝，求正方形OEFG 的边长．【分析】（1）由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC.BD，可得∠DOA＝∠DOC＝90°，∠GOE＝90°，即可证得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB＝45°，由可得DH，MH 长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH ∥DG，易证得△OHM∽△ODG，则有＝，求得GO即为正方形OEFG的边长．【解答】解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC.BD∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为2。