平面向量的正交分解及坐标表示
一、教材分析
本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。
二、学情分析
对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这些知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动，想在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的，只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用，逐步深刻理解并运用它们。
三、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：①能写出给定向量的坐标；②给出坐标能画出表示向量的有向线段；
（2）掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；②i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)；
（3）理解向量与坐标之间是一一对应关系。
2．过程与方法
学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
3．情感态度与价值观
在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。
四、教学重点
平面向量的坐标表示。
五、教学难点
对平面向量坐标表示生成过程的理解。
突破方法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA→＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________________.
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
2．已知a－12b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
3．1.4 空间向量的坐标表示
[对应学生用书P56]
空间向量的坐标表示
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.
问题1：用i，j，k表示AC，1AD.
提示：AC＝i＋j，1AD＝j＋k.
问题2：若1AC＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？
提示：∵1AC＝i＋j＋k，
∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．
在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).
空间向量的坐标运算
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 0003 N.
问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？
提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．
问题2：巨石受到的合力有多大？
提示：|F|＝5 000 N.
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.
2．空间向量平行的坐标表示为
a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．
3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
1．确定空间向量的坐标的方法：
1 全国卷历年高考平面向量真题归类分析
（2015年-2019年共14套）
一、代数运算（3题）
1.(2015全国2卷13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
解：因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:
2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则
.
解解
，所以.
3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
解：因为所以选B.
4.（2019全国1卷7）已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为
A. π6
B. π3 C. 2π3 D. 5π6
解：因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||12||2abbabb，所以a与b的夹角为3，故选B．
【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cosxxyyababxyxy，注意向量夹角范围为[0,]．求模长则利用公式22aaaa转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,kk，1212ab602a1b2ab22222(2)22cos602ababaabb2212222224441221223ab解题思路及步骤 注意事项
确定基底 一般选择已知模长及夹角大小的两个不共线向量作为基底
用基底表示 所有相关向量统一用同一个基底表示
向量运算解题 常用公式22aaaa求模，模长记得开平方 2 二、几何运算（3题）
