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28曲线与方程

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第8讲 曲线与方程

1．曲线与方程

2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．

(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．

(4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

3．曲线的交点

辨 析 感 悟

1．曲线与方程的概念

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)

(3)(教材习题改编)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线． (×)

(4)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线． (×)

(5)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)

(6)两条动直线y＝x＋b，y＝2x－b(b∈R)交点的轨迹方程是3x－2y＝0. (√)

考点一 直接法求轨迹方程

【例1】 如图所示，A(m，3m)和B(n，－3n)两点分别在射线OS，OT上移动，且OA→·OB→＝－12，O为坐标原点，动点P满足OP→＝OA→＋OB→.

(1)求mn的值；

(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

【训练1】 (2013·陕西卷选编)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．

考点二 定义法(待定系数法)求轨迹方程

【例2】 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，

求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

【训练2】 如图所示，已知C为圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心，点A(2，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．

考点三 代入法(相关点法)求轨迹方程

【例3】 (2012·辽宁卷)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1

相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．

(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．

(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．

【训练3】 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线l被C所截线段的长度．

教你审题10——设而不求、整体代换

【典例】 (2013·山东卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，❶连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．❷设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1＋1kk2为定值，❸并求出这个定值．

[审题]

一审条件❶：可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程

二审条件❷：联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则Δ＝0

三审结论❸：变为1k1k1＋1k2，把k与1k1＋1k2均用x0，y0表示后可消去．

【自主体验】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为

( )． A.x245＋y236＝1 B.x236＋y227＝1 C.x227＋y218＝1 D.x218＋y29＝1

基础巩固题组

1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是( )．

A．一条直线和一条双曲线 B．两条直线 C．两个点 D．4条直线

2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足PM→·PN→＝0，则P点的轨迹是( )．

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

3．(2014·珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA→＝AP→，则点P的轨迹方程为( )．

A．y＝－2x B．y＝2xC．y＝2x－8 D．y＝2x＋4

4．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点( )．

A．(2,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0，－1)

5．(2014·广州调研)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，

把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )．

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

6．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程是________________．

7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．

8．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程______________．

9．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且MP0→＝32PP0→.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)若直线l：y＝x＋1与(1)中的轨迹C交于A，B两点，求弦长|AB|的值．

10．已知点A(2,0)，B(－2,0)，P是平面内一动点，直线PA，PB斜率之积为－34.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点12，0作直线l，与轨迹C交于E，F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．

能力提升题组

1．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )．

A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1 C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1

2．有一动圆P恒过定点F(1,0)，且与y轴相交于点A，B，若△ABP为等边三角形，则圆心P的轨迹方程是( )．

A.x＋3212－y24＝1 B.x＋3212＋y24＝1 C.x－3212＋y24＝1 D.x－3212－y24＝1

3．P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是________．

4．(2013·四川卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P43，13.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|2＝1|AM|2＋1|AN|2，求点Q的轨迹方程．

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3.2 双曲线方程及几何性质

3.2 双曲线方程及几何性质

1 / 8

3.2 双曲线

【知识点】

1、双曲线的概念

平面内与两个定点

12,FF的距离的差的绝对值等于非零常数（小于

12||FF）的点的轨迹

叫做双曲线。

集合

12{|||||||2}PMMFMFa=−=，

12||2FFc=，其中0,0ac，且,ac为常数，

当22ac时，点M的轨迹是双曲线。

2、双曲线的标准方程

（1）标准方程2222

22221(0,0),1(0,0)xyyx

abab

abab−=−=。

（2）一般方程：221(0)AxByAB+=。

3、双曲线的简单几何性质

标准方程

图形

顶点坐标

范围

焦点坐标

实轴、虚轴、焦距

离心率

渐近线方程

对称中心

对称轴

,,abc

之间的关系

4、三个问题

①为什么不能把定义中的“绝对值”去掉？

②怎样理解双曲线的渐近线的含义？怎么求渐近线方程？

③当双曲线离心率变化时，双曲线的形状如何变化？

2 / 8

【典型例题】

例1、已知双曲线的两个焦点分别为

12(5,0),(5,0)FF−，双曲线上一点P与

12,FF的距离差

的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

例2、已知,AB两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒，且声速为340/ms，

求炮弹爆炸点的轨迹方程。

例3、求双曲线22916144yx−=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例4、动点(,)Mxy与定点(4,0)F的距离和它到定直线9

:

4lx=的距离的比是常数4

3，求

动点M的轨迹。

例5、过双曲线22

1

36xy

−=的右焦点

2F，倾斜角为30的直线交双曲线于,AB两点，求弦

长||AB。

3 / 8

【课堂练习】

题型1双曲线定义的理解

1、已知双曲线22

1

3664xy

−=的左右焦点分别是

12,FF，P是双曲线上一点。若

1||15PF=，

则

2||PF= 。

2、对于常数,ab，"0"ab是“方程221axby+=对应的曲线是双曲线”的（ ）

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Pro/E 各种曲线方程集合

1.碟形弹簧

圓柱坐标

方程：r = 5

theta = t*3600

z =(sin(3.5*theta-90))+24*t

图1

2.葉形线.

笛卡儿坐標标

方程：a=10

x=3*a*t/(1+(t^3))

y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))

图2

3.螺旋线(Helical curve)

圆柱坐标（cylindrical）

方程： r=t

theta=10+t*(20*360)

z=t*3

图3

4.蝴蝶曲线

球坐标

方程：rho = 8 * t

theta = 360 * t * 4

phi = -360 * t * 8

图4

5.渐开线

采用笛卡尔坐标系

方程：r=1

ang=360*t

s=2*pi*r*t

x0=s*cos(ang)

y0=s*sin(ang)

x=x0+s*sin(ang)

y=y0-s*cos(ang)

z=0

.

. 图5

6.螺旋线.

笛卡儿坐标

方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))

y = 4 * sin ( t *(5*360))

z = 10*t

图6

7.对数曲线

笛卡尔坐标系

方程：z=0

x = 10*t

y = log(10*t+0.0001)

图7

8.球面螺旋线

采用球坐标系

方程：rho=4

theta=t*180

phi=t*360*20

图8

9.双弧外摆线

卡迪尔坐标

方程： l=2.5

b=2.5

x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)

Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)

图9

10.星行线

卡迪尔坐标

方程：a=5

x=a*(cos(t*360))^3

y=a*(sin(t*360))^3

[数学]常用方程曲线

[数学]常用方程曲线

常用方程曲线 1.螺旋线 r=半径参数*t theta=t*(圈数参数*360) z=高度参数*t 2.球面螺旋线 tho=半径参数 theta=t*180 phi=t*360*圈数参数 3.星形线 a=直径参数 x=a*(cos(t*360))^3 y=a*(sin(t*360))^3 4.渐开线 r=基圆直径/2 theta=t*90(转过的角度参数) x=r*cos(theta)+r*sin(theta)*theta*(pi/180) y=r*sin(theta)-r*cos(theta)*theta*(pi/180) z=0

1. 笛卡尔坐标下的渐开线参数方程 卡笛尔坐标系下的渐开线参数方程如下（设压力角 afa 由0到60度，基圆半径为 10）： afa=60*t x=10*cos(afa)+pi*10*afa/180 * sin(afa) y=10*sin(afa)-pi*10*afa/180 * cos(afa) z=0 2.圆柱坐标下的渐开线参数方程 圆柱坐标系下的渐开线参数方程如下（设基圆半径为10，压力角 afa 从0到60度）： afa = 60*t r = (10^2 + (pi*10*afa/180)^2)^0.5 theta = afa-atan((pi*10*afa/180)/10) z = 0 在 Pro/ENGINEER 里使用 Feature > Creat > Datum > Curve > From Equation 命令，选择一个坐标系，然后选择坐标类型（笛卡尔坐标/圆柱坐标/球坐标），在窗口里输入以上方程即可生成一段精确的渐开线。

Pro/ENGINEER关于零件建模中的坐标系

坐标系是可以添加到零件和组件中的参照特征，它可执行下列操作：

 计算质量属性。

 组装元件。

 为“有限元分析 (FEA)”放置约束。

 为刀具轨迹提供制造操作参照。

第20讲 曲线系及其应用(解析几何)(解析版)

第20讲 曲线系及其应用(解析几何)(解析版)

第20讲 曲线系及其应用

知识与方法

1.曲线系与曲线系方程的概念

曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示.

曲线系方程: 对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,

𝑥,𝑦𝑥,𝑦

这样的方程叫曲线系方程.

2.过两曲线交点的曲线系

若两曲线和有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为

𝐶

1:𝑓

1(𝑥,𝑦)=0𝐶

2:𝑓

2(𝑥,𝑦)=0

（不包括或者.

𝑓

1(𝑥,𝑦)+𝜆𝑓

2(𝑥,𝑦)=0𝑓

2(𝑥,𝑦)=0

）𝜆𝑓

1(𝑥,𝑦)+𝜇𝑓

2(𝑥,𝑦)=0

3.一次曲线系（直线系)

具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程.

下面是几种常见的直线系方程:

(1)过已知点的直线系方程 或(为参数）;

𝑃(

𝑥

0,𝑦

0)

𝑦−𝑦

0=𝑘(

𝑥−𝑥

0)

𝑥=𝑥

0

(2)斜率为的直线系方程：是参数）;

𝑘𝑦=𝑘𝑥+𝑏

（𝑏

(3)与已知直线平行的直线系方程: 为参数）;

𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝜆=0

（𝜆

(4)与已知直线垂直的直线系方程: 为参数）;

𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0𝐵𝑥−𝐴𝑦+𝜆=0(𝜆

(5)过直线与的交点的直线系方程:

𝑙

1:𝐴

1𝑥+𝐵

1𝑦+𝐶

1=0𝑙

2:𝐴

2𝑥+𝐵

2𝑦+𝐶

2=0

为参数）（不包括直线 ）

𝐴

1𝑥+𝐵

1𝑦+𝐶

1+𝜆(

𝐴

2𝑥+𝐵

2𝑦+𝐶

2)

=0(𝜆󰀘𝑙

2

4.二次曲线系

圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式.

二次曲 线系的一般形式为:

𝐴𝑥2

+𝐵𝑦2

+𝐶𝑥𝑦+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0

两条直线所组成的二次曲线方程为:(

𝐴

1𝑥+𝐵

1𝑦+𝐶

1)(

𝐴

2𝑥+𝐵

2𝑦+𝐶

2)

=0

熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系: