2016-2017学年山西省芮城中学高二下学期期末考试理数试卷

2016-2017学年山西省太原市高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题 (共12题；共24分)1．（2分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（2分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的3．（2分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f（x）4．（2分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为z̅，那么z• z̅等于（）A．5B．﹣7C．12D．255．（2分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4B．x2+x﹣1C．x2+2x D．x2﹣26．（2分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0D．x，y不都为07．（2分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．13B．12C．23D．18．（2分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y= log12x是对数函数，…小前提所以y= log12x是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误9．（2分）∫1−1√1−x2dx等于（）A．π4B．π2C．πD．2π10．（2分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0B．24，26C．12，26D．6，811．（2分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx 12．（2分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k 的最小值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第象限．14．（2分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=．15．（2分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是．16．（2分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）（5分）求z1•z2；（2）（5分）若1z = 1z1+ 1z2，求z．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）（5分）求函数y=f（x）的单调区间；（2）（5分）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．19．（10分）已知函数f（x）=x3+ 1x+1，x∈[0，1]．（1）（5分）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）（5分）证明：f（x）＞34．20．（10分）已知数列{b n}满足b n=| a n+2a n−1|，其中a1=2，a n+1= 2a n+1．（1）（5分）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）（5分）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．21．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1= 12，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）（5分）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）（5分）设b n=na n1+30a n，n∈N*，求b n的最大值．22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）（5分）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）（5分）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．23．（10分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1a）e ax（a＞0）．（1）（5分）求函数y=f（x）的最小值；（2）（5分）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立，求实数a的值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：复数2﹣i 的共轭复数为2+i ．故选：A ．【分析】利用共轭复数的定义即可得出．2．【答案】C【解析】【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确， 故选：C【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，f （x ）=2e x ，则f′（x ）=2（e x ）′=2e x ，即有f′（x ）=f （x ）， 故选：B ．【分析】根据题意，由函数f （x ），对其求导可得f′（x ），分析f （x ）与f′（x ）的关系，计算可得答案．4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，z=3+4i ， 则z• z̅ = |z|2=(√32+42)2=25 ． 故选：D ．【分析】由已知可得z ，结合 z ⋅z̅=|z|2 求解．5．【答案】C【解析】【解答】解：∵函数f （x ）=x 2+bx+c ，∴f′（x ）=2x+b ，∵函数f （x ）=x 2+bx+c 在x=﹣1处取得极值﹣1， ∴{f(−1)=1−b +c =−1f ′(−1)=−2+b =0 ， 解得b=2，c=0， ∴f （x ）=x 2+2x ． 故选：C ．【分析】求出f′（x）=2x+b，由函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，利用导数性质列出方程组，能求出f（x）．6．【答案】D【解析】【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选D．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．7．【答案】B【解析】【解答】解：∵y=﹣ln（2x+1）+2，∴y'=﹣2 2x+1∴y'|x=0=﹣2∴曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=2x解得x= 12，y=1∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为12×1×1= 12，故选B．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=2x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．8．【答案】B【解析】【解答】解：因为大前提是：对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，不正确，导致结论错误，所以错误的原因是大前提错误，故选：B．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确9．【答案】B【解析】【解答】解：∫1−1√1−x2dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x 轴上方部分（半圆）的面积∴∫1−1√1−x2dx= 12×π×12=π2故选B．【分析】利用积分的几何意义，再利用面积公式可得结论．10．【答案】C【解析】【解答】解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，则q2=（﹣3+2i）（﹣3﹣2i）=13，即q=26，﹣p2=﹣3+2i﹣3﹣2i=﹣6，即p=12故选：C【分析】由实系数一元二次方程虚根成对定理可得方程另一根为﹣2i﹣3，再由韦达定理得答案．11．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）∴f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；故选：A【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得f n+4（x）=f n（x），即可得f2017（x）=f504×4+1（x）=f1（x），即可得答案．12．【答案】B【解析】【解答】解：f′（x）=e x（x﹣1）k+k（e x﹣1）（x﹣1）k﹣1=（x﹣1）k﹣1[e x（x﹣1）+k（e x﹣1）]，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，故k﹣1＞0，k＞1，而k∈N*，故k的最小值是2，故选：B．【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点，得到k﹣1＞0，结合k∈N*，求出k的最小值即可．13．【答案】二【解析】【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，3），位于第二象限．故答案为：二．【分析】利用复数代数形式的加减运算化简，求出z的坐标得答案．14．【答案】2【解析】【解答】解：根据题意，f（x）=x+ln（x+1），，则其导数f′（x）=1+ 1x+1则f′（0）=1+1=2；故答案为：2．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）的解析式，将x=0代入即可得答案．15．【答案】4R2=a2+b2+c2【解析】【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，故答案为：4R2=a2+b2+c2．【分析】从平面图形类比空间图形，从二维类比到三维模型不变．16．【答案】（﹣5，﹣2）【解析】【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ①或②或③或④．解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤﹣5．综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．【分析】求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，2）上恒大于等于0或恒小于等于0求出k的取值范围，再取补集得答案．17．【答案】（1）解：∵z1=1﹣i，z2=2+2i．∴z1•z2=（1﹣i）（2+2i）=4（2）解：由1z = 1z1+ 1z2，得z=z1⋅z2z1+z2=4(1−i)+(2+2i)=43+i=65−25i【解析】【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案；（2）把已知等式通分变形求得z，代入z1、z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．18．【答案】（1）解：∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，由f′（x）＞0，得x＜﹣23或x＞2，由f′（x）＜0，得﹣23＜x＜2，∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣23），[2，+∞）；单调减区间是[﹣23，2]．（2）解：由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x1=−23，x2=2，列表，得：∴f（x）在[﹣1，4]上的最大值为f（x）max=f（4）=16，最小值为f（x）min=f（2）=﹣8．【解析】【分析】（1）求出f′（x）=3x2﹣4x﹣4，利用导数性质能求出函数y=f（x）的单调增区间和单调减区间．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x1=−23，x2=2，列表讨论能求出f（x）在[﹣1，4]上的最大值和最小值．19．【答案】（1）证明：∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．要证明：f（x）≥1﹣x+x2，只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），只要证明：x4≥0，显然成立，∴f（x）≥1﹣x+x2（2）证明：∵1﹣x+x2=（x﹣12）2+ 34≥ 34，当且仅当x= 12时取等号，∵f（12）= 1924＞34，f（x）≥1﹣x+x2，∴f（x）＞34【解析】【分析】（1）利用分析法的证明步骤，即可得出结论．（2）利用配方法，结合（1），即可得出结论．20．【答案】（1）解：∵a1=2，a n+1= 2a n+1，∴a2=23，a3=65，又b n=| a n+2a n−1|，得b1=4，b2=8，b3=16，猜想：b n=2n+1（2）解：由（1）可得，数列{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，则有Sn =4×(1−2n)1−2=2n+1−4．证明：当n=1时，S1=21+2−4=4成立；假设当n=k时，有S k=2k+2−4，则当n=k+1时，S k+1=S k+b k+1=2k+2−4+2k+2=2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．综上，S n=2n+2−4成立【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式求得b1，b2，b3，并猜想b n的表达式；（2）由等比数列的前n项和公式求得数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．21．【答案】（1）解：∵S1=a1= 12，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），∴2S2=S2S1+1= 12S2+1，∴S2= 23；∴2S3=S3S2+1= 23S3+1，∴S3= 34；由S1= 12，S2= 23，S3= 34，可猜想S n= nn+1；证明：①当n=1时，S1= 12，等式成立；②假设n=k时，S k= kk+1，则n=k+1时，∵2S k+1=S k+1•S k+1= kk+1•S k+1+1，∴（2﹣kk+1）S k+1=1，∴S k+1= k+1k+2= k+1(k+1)+1，即n=k+1时，等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，均有S n=n n+1（2）解：由（1）可知，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=nn+1﹣n−1n= 1n(n+1)，当n=1时，a1= 11×2= 12满足上式，∴a n=1n(n+1)，∴b n=na n1+30a n=nn2+n+30=1n+30n+1，n∈N*，设f（n）=x+ 30x，则有f（x）在（0，√30）上为减函数，在（√30，+∞）为增函数，∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，∴当n=5或n=6时，b n有最大值112【解析】【分析】（1）由S1=a1= 12，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），通过计算可求得S1，S2，S3；可猜想S n=nn+1，再利用数学归纳法证明即可．（2）求出b n=1n+30n+1，n∈N*，构造函数f（n）=x+ 30x，则利用函数的单调性即可求出．22．【答案】（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xe ax+ax2e ax=xe ax（ax+2），当x∈（0，+∞）时，a＞0，则e ax＞0，则xe ax（ax+2）＞0，则f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数（2）令f′（x）=0，记得x=﹣v或x=0，则当x=﹣2a 时，函数有极大值f（﹣2a）= 4a2e2，当x=0时，函数有极小值f（0）=0，当x＜0时，f（x）＞0，x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即4a2e2=1，解得：a= 2e，（负根舍去）实数a的值2e【解析】【分析】（1）求导，由x∈（0，+∞）则f′（x）＞0，则函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）求导，f′（x）=0，根据函数的单调性即可求得f（x）极大值，由f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即4a2e2=1，即可求得实数a的值．23．【答案】（1）解：函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．令f′（x）=0，得x=1，x=﹣2a＜0，当x∈（﹣∞，﹣2a），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣v，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2a，1）递减．注意到x＜﹣2a ，x2﹣x﹣1a＞0，f（1）=﹣eaa＜0．∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=﹣e aa（2）解：存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a =0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣3a＜（﹣3a0）有唯一交点，结合（1）可得函数f（x）在（﹣∞，﹣2a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2a，1）递减．注意到x＜﹣2a ，x2﹣x﹣1a＞0，f（1）=﹣eaa＜0．∴当且仅当﹣1a e a=−3a时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立，即a=ln3时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立【解析】【分析】（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．利用导数可得函数f（x）在（﹣∞，﹣2a ），（1，+∞）上递增，在∈（﹣2a，1）递减．注意到x＜﹣2a ，x2﹣x﹣1a＞0，f（1）=﹣eaa＜0．即函数y=f（x）的最小值为f（1）（2）存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a =0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣3a＜（﹣3a0）有唯一交点，结合图象且仅当﹣1a e a=−3a时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+ 3a=0成立，即可求得实数a的值．11/ 11。

2016-2017学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i2．（3分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的3．（3分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2 B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f （x）4．（3分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z•等于（）A．5 B．﹣7 C．12 D．255．（3分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4 B．x2+x﹣1 C．x2+2x D．x2﹣26．（3分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0 B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0 D．x，y不都为07．（3分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．（3分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y=是对数函数，…小前提所以y=是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误9．（3分）dx等于（）A．B．C．πD．2π10．（3分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，811．（3分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx12．（3分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小4分，共16分）13．（4分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第象限．14．（4分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=．15．（4分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R 满足的关系式是．16．（4分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共3小题，共48分）17．（8分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）求z1•z2；（2）若=+，求z．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．19．（10分）已知函数f（x）=x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：f（x）＞．四、选修题20．（10分）已知数列{b n}满足b n=||，其中a1=2，a n+1=．（1）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．选修题21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）设b n=，n∈N*，求b n的最大值．选修题22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．选修题23．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，求实数a的值．2016-2017学年山西省太原市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）复数2﹣i的共轭复数是（）A．2+i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：复数2﹣i的共轭复数为2+i．故选：A．2．（3分）下列说法正确的是（）A．类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．合情推理得到的结论不一定正确D．归纳推理得到的结论一定是正确的【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：C．3．（3分）已知函数f（x）=2e x，则（）A．f′（x）=f（x）+2 B．f′（x）=f（x）C．f′（x）=3f（x）D．f′（x）=2f （x）【解答】解：根据题意，f（x）=2e x，则f′（x）=2（e x）′=2e x，即有f′（x）=f（x），故选：B．4．（3分）已知复数z在复平面内对应的点为（3，4），复数z的共轭复数为，那么z•等于（）A．5 B．﹣7 C．12 D．25【解答】解：由题意，z=3+4i，则z•=．故选：D．5．（3分）已知函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，那么f（x）=（）A．x2﹣2x﹣4 B．x2+x﹣1 C．x2+2x D．x2﹣2【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+c，∴f′（x）=2x+b，∵函数f（x）=x2+bx+c在x=﹣1处取得极值﹣1，∴，解得b=2，c=0，∴f（x）=x2+2x．故选：C．6．（3分）利用反证法证明：“若x2+y2=0，则x=y=0”时，假设为（）A．x，y都不为0 B．x≠y且x，y都不为0C．x≠y且x，y不都为0 D．x，y不都为0【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为“x，y不都为0”，故选：D．7．（3分）曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵y=﹣ln（2x+1）+2，∴y'=﹣∴y'|x=0=﹣2∴曲线y=﹣ln（2x+1）+2在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y ﹣2=0令y=0解得x=1，令y=2x解得x=，y=1∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×1=，故选：B．8．（3分）给出如下“三段论”的推理过程：因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，…大前提而y=是对数函数，…小前提所以y=是增函数，…结论则下列说法正确的是（）A．推理形式错误B．大前提错误C．小前提错误D．大前提和小前提都错误【解答】解：因为大前提是：对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，不正确，导致结论错误，所以错误的原因是大前提错误，故选：B．9．（3分）dx等于（）A．B．C．πD．2π【解答】解：dx的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径的单位圆在x轴上方部分（半圆）的面积∴dx==故选：B．10．（3分）已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（）A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，8【解答】解：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，则=（﹣3+2i）（﹣3﹣2i）=13，即q=26，﹣=﹣3+2i﹣3﹣2i=﹣6，即p=12故选：C．11．（3分）已知函数f0（x）=sinx+cosx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…f n+1（x）=f′n（x），n∈N，那么f2017=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx【解答】解：根据题意，∵f0（x）=sinx+cosx，∴f1（x）=f0′（x）=cosx﹣sinx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosx，f3（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=sinx+cosx，（x）以此类推，可得出f n（x）=f n+4∴f2017（x）=f504（x）=f1（x）=cosx﹣sinx；×4+1故选：A．12．（3分）设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：f′（x）=e x（x﹣1）k+k（e x﹣1）（x﹣1）k﹣1=（x﹣1）k﹣1[e x（x﹣1）+k（e x﹣1）]，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，故k﹣1＞0，k＞1，而k∈N*，故k的最小值是2，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小4分，共16分）13．（4分）复数z=（1+i）+（﹣2+2i）在复平面内对应的点位于第二象限．【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，∴z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，3），位于第二象限．故答案为：二．14．（4分）已知f（x）=x+ln（x+1），那么f′（0）=2．【解答】解：根据题意，f（x）=x+ln（x+1），则其导数f′（x）=1+，则f′（0）=1+1=2；故答案为：2．15．（4分）我们知道：在长方形ABCD中，如果设AB=a，BC=b，那么长方形ABCD 的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R 满足的关系式是4R2=a2+b2+c2．【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，故答案为：4R2=a2+b2+c2．16．（4分）若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上不单调，则实数k的取值范围为（﹣5，﹣2）．【解答】解：f′（x）=3x2+2（k﹣1）x+k+5，若函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调，则4（k﹣1）2﹣12（k+5）≤0 ①或②或③或④．解①得﹣2≤k≤7；解②得k≥1；解③得k∈∅；解④得k≤﹣5．综上，满足函数f（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1在区间（0，2）上单调的k 的范围为k≤﹣5或k≥﹣2．于是满足条件的实数k的范围为（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．三、解答题（本大题共3小题，共48分）17．（8分）已知z1=1﹣i，z2=2+2i．（1）求z1•z2；（2）若=+，求z．【解答】解：（1）∵z1=1﹣i，z2=2+2i．∴z1•z2=（1﹣i）（2+2i）=4；（2）由=+，得．18．（10分）已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣4，由f′（x）＞0，得x＜﹣或x＞2，由f′（x）＜0，得﹣＜x＜2，∴函数y=f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣），[2，+∞）；单调减区间是[﹣，2]．（2）由f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得，x2=2，列表，得：∴f （x）在[﹣1，4]上的最大值为f（x）max =f（4）=16，最小值为f（x）min=f（2）=﹣8．19．（10分）已知函数f（x）=x3+，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x 2；（2）证明：f（x）＞．【解答】证明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．要证明：f（x）≥1﹣x+x2，只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），只要证明：x4≥0，显然成立，∴f（x）≥1﹣x+x2；（2）∵1﹣x+x2=（x﹣）2+≥，当且仅当x=时取等号，∵f（）=＞，f（x）≥1﹣x+x2，∴f（x）＞．四、选修题20．（10分）已知数列{b n}满足b n=||，其中a1=2，a n+1=．（1）求b1，b2，b3，并猜想b n的表达式（不必写出证明过程）；（2）由（1）写出数列{b n}的前n项和S n，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）∵a1=2，a n+1=，∴，，又b n=||，得b1=4，b2=8，b3=16，猜想：；（2）由（1）可得，数列{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，则有．证明：当n=1时，成立；假设当n=k时，有，则当n=k+1时，=2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．综上，成立．选修题21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，2S n﹣S n S n﹣1=1（n≥2）．（1）猜想S n的表达式，并用数学归纳法证明；（2）设b n=，n∈N*，求b n的最大值．【解答】解：（1）∵S1=a1=，2S n=S n S n﹣1+1（n≥2），∴2S2=S2S1+1=S2+1，∴S2=；∴2S3=S3S2+1=S3+1，∴S3=；由S1=，S2=，S3=，可猜想S n=；证明：①当n=1时，S1=，等式成立；②假设n=k时，S k=，则n=k+1时，∵2S k+1=S k+1•S k+1=•S k+1+1，∴（2﹣）S k+1=1，∴S k+1==，即n=k+1时，等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，均有S n =（2）由（1）可知，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=，当n=1时，a1==满足上式，∴a n =，∴b n ===，n∈N*，设f（n）=x +，则有f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）为增函数，∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，∴当n=5或n=6时，b n 有最大值选修题22．（10分）设函数f（x）=x2e ax，a＞0．（1）证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有两个不同的实数根，求实数a的值．【解答】解：（1）证明：f（x）的定义域R，求导，f′（x）=2xe ax+ax2e ax=xe ax（ax+2），当x∈（0，+∞）时，a＞0，则e ax＞0，则xe ax（ax+2）＞0，则f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；（2）令f′（x）=0，记得x=﹣或x=0，）（则当x=﹣时，函数有极大值f（﹣）=，当x=0时，函数有极小值f（0）=0，当x＜0时，f（x）＞0，x→﹣∞时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有两个不同的实数根，即=1，解得：a=，（负根舍去）实数a的值．选修题23．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a＞0）．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，求实数a的值．【解答】解：（1）函数y=f（x）的定义域为R，f′（x）=[ax2+（2﹣a）x﹣2]e ax．令f′（x）=0，得x=1，x=﹣＜0，当x∈（﹣∞，﹣），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上递增，在∈（﹣，1）递减．注意到x＜﹣，x2﹣x﹣＞0，f（1）=﹣＜0．∴函数y=f（x）的最小值为f（1）=﹣．（2）存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立⇔函数y=f（x）图象与y=﹣＜（﹣0）有唯一交点，结合（1）可得函数f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上递增，在∈（﹣，1）递减．注意到x＜﹣，x2﹣x﹣＞0，f（1）=﹣＜0．∴当且仅当﹣时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立，即a=ln3时，存在唯一实数x0，使得f（x0）+=0成立．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2016-2017学年山西省运城市夏县中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6}，B＝{1，3，5，7}，则A ∩（∁U B）等于（）A．{2，4，6}B．{1，3，5}C．{2，4，5}D．{2，5}2．（3分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（3分）函数y＝|x﹣4|+|x﹣6|的最小值为（）A．2B．C．4D．64．（3分）设集合A＝{x|＝，n∈Z}，B＝{x|x＝n+，n∈Z}，则下列图形能表示A与B关系的是（）A．B．C．D．5．（3分）曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2＝4B．x2+（y﹣2）2＝4C．（x﹣2）2+y2＝4D．（x+2）2+y2＝46．（3分）若lgx﹣lgy＝a，则＝（）A．3a B．C．a D．7．（3分）若定义运算a⊕b＝，则函数f（x）＝log2x⊕的值域是（）A．[0，+∞）B．（0，1]C．[1，+∞）D．R8．（3分）若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离9．（3分）不等式3≤|5﹣2x|＜9的解集为（）A．[﹣2，1）∪[4，7）B．（﹣2，1]∪（4，7]C．（﹣2，﹣1]∪[4，7）D．（﹣2，1]∪[4，7）10．（3分）在极坐标系中与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为（）A．B．C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把正确答案填在题中横线上）11．（4分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≤m}，且A∩B＝A，则m的取值范围是．12．（4分）已知x，y＞0，且x2+y2＝1，则x+y的最大值等于．13．（4分）已知函数f（）＝x，则f（x）的表达式是．14．（4分）极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为．15．（4分）已知f（x）＝，求f[f（0）]的值．16．（4分）直线与圆相切，则θ＝．三、解答题（本大题共4个大题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；（2）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a，x∈R．（1）当a＝3时，求不等式f（x）＞7的解集；（2）对任意x∈R恒有f（x）≥3，求实数a的取值范围．19．（12分）平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2＝1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．20．（12分）（1）已知f（x）是偶函数，x≥0时，f（x）＝﹣2x2+4x，求x＜0时f（x）的解析式．（2）已知函数f（x）＝x2+3x﹣5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式．2016-2017学年山西省运城市夏县中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，3，5，7}，∴∁U B＝{2，4，6}，∵A＝{2，4，6}，∴A∩（∁U B）＝{2，4，6}．故选：A．2．【解答】解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得y ＝﹣x+．故直线的斜率等于﹣．故选：D．3．【解答】解：数形结合法：y＝|x﹣4|+|x﹣6|＝，画出它的图象，如图，由图知，y≥2，故选：A．4．【解答】解：∵集合A＝{x|＝，n∈Z}，B＝{x|x＝n+＝，n∈Z}，∴B⊊A，∴图形能表示A与B关系的是A．故选：A．5．【解答】解：曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，即x2+y2＝4y，化简为x2+（y﹣2）2＝4，故选：B．6．【解答】解：＝3（lgx﹣lg2）﹣3（lgy﹣lg2）＝3（lgx﹣lgy）＝3a故选：A．7．【解答】解：令，即log2x＜﹣log2x∴2log2x＜0∴0＜x＜1令，即log2x≥﹣log2x∴2log2x≥0∴x≥1又∵∴当0＜x＜1时，函数单调递减，∴此时f（x）∈（0，+∞）当x≥1时，函数f（x）＝log2x单调递增，∴此时f（x）∈[0，+∞）∴函数f（x）的值域为[0，+∞）故选：A．8．【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x+1）2+（y﹣3）2＝4，∴圆心坐标为（﹣1，3），半径r＝2，把直线的参数方程化为普通方程得：y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0，∴圆心到直线的距离d＝＝＜r＝2，又圆心（﹣1，3）不在直线3x﹣y+2＝0上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．故选：B．9．【解答】解：∵3≤|5﹣2x|＜9，∴3≤2x﹣5＜9 ①，或﹣9＜2x﹣5≤﹣3 ②．解①得4≤x＜7，解②得﹣2＜x≤1．故不等式的解集为（﹣2，1]∪[4，7），故选：D．10．【解答】解：圆ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，化为x2+y2＝4y，配方为x2+（y﹣2）2＝4．A.化为+（y﹣1）2＝4，表示的是圆的方程，不满足题意，舍去；B.化为＝4，表示的是圆的方程，不满足题意，舍去；C．ρcosθ＝2化为x＝2，与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，满足题意．D．ρsinθ＝2化为y＝2，与圆x2+（y﹣2）2＝4相交，不满足题意，舍去．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把正确答案填在题中横线上）11．【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≤m}，且A∩B＝A，∴A⊂B，∴m≥4．即m的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．12．【解答】解：x＞，y＞0，且1＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy≥（x+y）2﹣2（）2＝（x+y）2，当且仅当x＝y＝时取等号∴（x+y）2≤2，∴0＜x+y≤，∴x+y的最大值等于，故答案为：．13．【解答】解：设，解得x＝，所以解析式为；故答案为：f（x）＝（x≠﹣1）．14．【解答】解：由ρ＝cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x＝0，其圆心是A（，0），由ρ＝sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y＝0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB＝，故答案为：．15．【解答】解：∵0∈（﹣∞，1），∴f（0）＝，又∵＞1，∴f（）＝（）3+（）﹣3＝2+＝，即f[f（0）]＝．16．【解答】解：直线化为y＝x tanθ．圆化为（x﹣4）2+y2＝4，圆心C（4，0），半径r＝2．∵直线与圆相切可得：＝2，化为，∴，∵θ∈[0，π），∴或．故答案为：或．三、解答题（本大题共4个大题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）若B⊆A，B＝∅时，m+1＞2m﹣1，∴m＜2，满足B⊆A；B≠∅时，则，解得2≤m≤3；综上所述，当m≤3时有B⊆A；即实数m的取值范围为（﹣∞，3]；（2）由题意知，A∩B＝∅；∴B＝∅时，m+1＞2m﹣1，∴m＜2；B≠∅时，则，解得：m＞4；∴实数m的取值范围为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．18．【解答】解：（1）当a＝3时，不等式f（x）＞7即为|2x﹣1|+|2x﹣3|＞4，当x≥时，即有2x﹣1+2x﹣3＞4，解得x＞2，则有x＞2；当x≤时，即有1﹣2x+3﹣2x＞4，解得x＜0，则有x＜0；当＜x＜时，即有2x﹣1+3﹣2x＞4，即2＞4，无解．综上可得，x＜0或x＞2．则解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．（2）由于函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥|2x﹣1﹣（2x﹣a）|+a＝|a﹣1|+a，则f（x）的最小值为|a﹣1|+a，由f（x）≥3恒成立，可得|a﹣1|+a≥3，即有或，即为a≥2或x∈∅，则有实数a的取值范围为[2，+∞）．19．【解答】解：（1）曲线C：（x﹣1）2+y2＝1．展开为：x2+y2＝2x，可得ρ2＝2ρcosθ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线l的参数方程为：，（t为参数）．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入x2+y2＝2x，可得：t2+（）t+m2﹣2m＝0，∴t1t2＝m2﹣2m．∵|P A|•|PB|＝1，∴|m2﹣2m|＝1，解得m＝1或1±．20．【解答】（1）解：当x＜0时，﹣x＞0，又由于f（x）是偶函数，则f（x）＝f（﹣x），所以，当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣2x2﹣4x．（2）解：，所以对称轴为固定，而区间[t，t+1]是变动的，因此有①当t+1≤﹣，即t≤﹣时，h（t）＝f（t+1）＝（t+1）2+3（t+1）﹣5＝t2+5t﹣1；②当t＞﹣时，h（t）＝f（t）＝t2+3t﹣5；③当t≤﹣＜t+1，即﹣＜t≤﹣时，．综上可知h（t）＝．。

2016-2017学年山西省忻州市原平市范亭中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁R Q）＝（）A．[2，3]B．（﹣2，3]C．[1，2）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i＝2+3i，则|z|＝（）A．B．3C．10D．183．（5分）将函数y＝sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（）A．B．y＝﹣cos2xC．y＝cos2x D．4．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x25．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足发f（x+4）＝﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）C．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）D．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）6．（5分）（2﹣）6的展开式中含x2项的系数是（）A．240B．﹣240C．192D．﹣1927．（5分）“k＜9“是“方程+＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（正视图与侧视图的形状一样，都是边长为2的正方形，竖线为中线）A．π+4B．2π+4C．π+2D．2π+29．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和且S n＝2a n﹣2，则S5﹣S4的值为（）A．8B．10C．16D．3210．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x2+y2的最小值是（）A．B．C．1D．411．（5分）已知双曲线﹣＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，则|AF1|+BF1|的最小值为|（）A．14B．16C．18D．2012．（5分）已知函数f（x）＝m•9x﹣3x，若存在非零实数x0，使得f（﹣x0）＝f（x0）成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m≥2C．0＜m＜2D．0＜m＜二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设函数f（x）＝，则f（f（4））＝；若f（a）＝﹣1，则a＝．14．（5分）离心率的椭圆，它的焦点与双曲线的焦点重合，则此椭圆的方程是．15．（5分）已知向量在基底{，，}下的坐标为（4，3，﹣2），其中＝+，＝+，＝+则向量在基底{，，}下的坐标是．16．（5分）某厂在生产甲产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表：根据最小二乘法求得回归方程为＝0.65x+a，当产量为80吨时，预计需要生成能耗为吨．三、解答题（本题共6道小题，最后一题10分，其余每道12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，A＝，c＝a．（1）求sin C的值．（2）若a＝7，求△ABC的面积S．18．（12分）有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，0.8，0.9．（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（Ⅲ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD ⊥CD，且P A＝2，E为PD中点．（Ⅰ）求证：P A⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的平面角的余弦．20．（12分）已知抛物线x2＝2py（p＞0），过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B两点处的切线相交于点Q．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求点Q的纵坐标；（Ⅲ）证明：．21．（12分）设f（x）＝﹣x3+x2+2ax．（1）当a＝1时，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（选修4-4）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|P A|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年山西省忻州市原平市范亭中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．【解答】解：Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤﹣2}，即有∁R Q＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，则P∪（∁R Q）＝（﹣2，3]．故选：B．2．【解答】解：（z﹣i）i＝2+3i，∴﹣i•（z﹣i）i＝﹣i（2+3i），∴z﹣i＝3﹣2i，∴z＝3﹣i．则|z|＝＝．故选：A．3．【解答】解：将函数y＝sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为y＝sin[2（x+）+]＝sin（2x++）＝sin（2x+）．故选：A．4．【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“故选：D．5．【解答】解：根据题意，定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）＝﹣f（x），则有f（x+8）＝f（x），故函数的周期为8．f（﹣25）＝f[（﹣1）+（﹣3）×8]＝f（﹣1），f（80）＝f（0+8×10）＝f（0），f（11）＝f（3）＝f[（﹣1）+4]＝﹣f（﹣1）＝f（1），根据奇函数f（x）在区间[0，2]上是增函数，可得f（x）在[﹣2，0]上也是增函数，则函数f （x）在区间[﹣2，2]上为增函数，则有f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣25）＜f（80）＜f（11）；故选：B．6．【解答】解：设（2﹣）6的展开式的通项为T r+1，则T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r＝•（﹣1）r•26﹣r x3﹣r，令3﹣r＝2得r＝1，∴T2＝﹣25x2＝﹣192x2，∴其展开式中含x2项的系数为﹣192．故选：D．7．【解答】解：若方程+＝1表示双曲线，则（k﹣9）（25﹣k）＜0，（k﹣9）（k﹣25）＞0即解得k＞25或k＜9，则“k＜9“是“方程+＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．8．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为直三棱柱，直三棱柱底面ABC为等腰三角形，其中BC＝2，BC边上的高为1，右边为半圆柱，底面半径为1，组合体的高为2．∴该几何体的体积是V＝．故选：C．9．【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n＝2时，a1+a2＝2a2﹣2，求得a2＝4，当n≥2时，S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，两式相减可得，a n＝2a n﹣2a n﹣1，即为a n＝2a n﹣1，则数列{a n}为首项为4，公比为2的等比数列，则a n＝2n，对n＝1也成立．则S5﹣S4＝a5＝25＝32．故选：D．10．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由图可知，z＝x2+y2的最小值为原点O（0，0）到直线2x+y﹣2＝0的距离的平方，等于＝．故选：B．11．【解答】解：根据双曲线﹣＝1可得：a＝3，b＝，由双曲线的定义可得：|AF1|﹣|AF2|＝2a＝6…①，|BF1|﹣|BF2|＝2a＝6…②，所以①+②可得：|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）＝12，因为过F2的直线l交双曲线的右支于A、B两点，所以|AF2|+|BF2|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．所以[|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）]min＝|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝12．|AF1|+|BF1|＝|AB|+12≥+12＝+12＝16．故选：B．12．【解答】解：由题意可得m•9x﹣3x＝m•9﹣x﹣3﹣x有解，即m（9x﹣9﹣x）＝（3x﹣3﹣x）有解．可得＝3x+3﹣x≥2 ①，求得0＜m≤．再由x0为非零实数，可得①中等号不成立，故0＜m＜，故选：D．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：函数f（x）＝，则f（4）＝﹣2×42+1＝﹣31．f（f（4））＝f（﹣31）＝log2（1+31）＝5．当a≥1时，f（a）＝﹣1，可得﹣2a2+1＝﹣1，解得a＝1；当a＜1时，f（a）＝﹣1，可得log2（1﹣a）＝﹣1，解得a＝；故答案为：5；1或．14．【解答】解：双曲线的焦点为：（±2，0），可得椭圆c＝2，椭圆的离心率，可得a＝4，则b＝2，则此椭圆的方程是：．故答案为：．15．【解答】解：∵向量在基底{，，}下的坐标为（4，3，﹣2），∴＝4+3﹣2，又∵＝+，＝+，＝+，∴＝4（+）+3（+）﹣2（+）＝2+7+＝（2，7，1），故答案为：（2，7，1）．16．【解答】解：由题意，＝45，＝36.25，代入＝0.65x+a，可得a＝7，∴当产量为80吨时，预计需要生成能耗为0.65×80+7＝59，故答案为：59．三、解答题（本题共6道小题，最后一题10分，其余每道12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）∵A＝，c＝a．∴由正弦定理可得：sin C＝sin A＝＝．（2）∵a＝7，A＝，sin C＝．∴由正弦定理可得：c＝＝＝3，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：49＝b2+9﹣2×，可得：b2﹣3b﹣40＝0，解得：b＝8或﹣5（舍去），∴S△ABC＝bc sin A＝＝6．18．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，本题符合独立重复试验，试验发生3次，每一次试验甲对乙取胜的概率是0.6，∴甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为P1＝C32×0.62×0.4＝0.432．（Ⅱ）记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为A，B，C，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.8，P（C）＝0.9．则四名运动员每两人之间进行一场比赛，甲恰好胜两场包括三种结果，这三种结果是互斥的，而在每一种情况中发生的事件是相互独立的，∴＝P（A）⋅P（B）⋅[1﹣P（C）]+P（A）⋅[1﹣P（B）]⋅P（C）+[1﹣P（A）]⋅P（B）⋅P（C）＝0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9＝0.444（Ⅲ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．P（ξ＝0）＝0.4×0.2×0.1＝0.008；P（ξ＝1）＝0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9＝0.116；由（Ⅱ）得P（ξ＝2）＝0.444；P（ξ＝3）＝0.6×0.8×0.9＝0.432．∴随机变量ξ的分布列为Eξ＝0×0.008+1×0.116+2×0.444+3×0.432＝2.3．19．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥P A．…（2分）同理CD⊥P A，…（4分）BC∩CD＝C∴P A⊥平面ABCD．…（6分）（Ⅱ）解：设M为AD中点，连结EM，又E为PD中点，可得EM∥P A，从而EM⊥底面ABCD．过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN．由三垂线定理有EN⊥AC，∴∠ENM为二面角E﹣AC﹣D的平面角．…（8分）在Rt中△EMN，可求得EM＝1，MN＝，∴tan∠ENM＝＝．cos∠EMN＝…（10分）∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．…（12分）20．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴设直线l的方程为．由可得x2﹣2pkx﹣p2＝0．（2分）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣p2．（3分）＝（4分）∴．（5分）（Ⅱ）解：由x2＝2py，可得，∴．∴抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为．∴在点A处的切线方程为，即．（7分）同理在点处B的切线方程为．解方程组可得即点Q的纵坐标为．（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，，∴，（11分）又，∴＝＝（1+k2）p2．∴．（13分）21．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣x2+x+2 令f′（x）＝0，x＝2或x＝﹣1f′（x）＞0解得﹣1＜x＜2 f′（x）＞0解得x＞2或x＜﹣1所以f（x）在（2，4），）上单调递减，在（1，2）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）﹣所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）＝．．又f（4）﹣f（1）＝﹣+6＜0，即f（4）＜f（1），所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8﹣＝﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）﹣（2）由f′（x）＝﹣x2+x+2a＝﹣（x﹣）2++2a，当x∈（，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（）＝+2a，令+2a＞0，得a＞﹣，所以，当a＞﹣时，f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）﹣（选修4-4）22．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得＝0，化为．∴．（t 1t2＝4＞0）．根据参数的意义可得|P A|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≥2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0]．。