检验粗差的新方法

第１　１卷　２０１１每　第５ｚ期　

５月　中　国水运　

Ｃｈ　ｉ　ｎａ　Ｗａｔｅｒ　Ｔｒａｎｓｐｏｒｔ　ＶｏＩ．１　１　Ｍａｙ　Ｎｏ．５　

２Ｏ１１　

检验粗差的新方法　胡远新　（浙江省隧道工程公司，浙江杭州３１　０００５）　

摘要：我们在测绘工作中，测量数据中一般都含有测量随机误差和测量粗差。是否明显歪曲测量结果、超出了规　定条件下预期范围的误差　（简称粗差或臭值），通常是由测试者的失误、设备仪器由于受到自然界、仪器、人为等　因素的影响，观测数据中不但存在偶然误差而且还存在着由这些因素引起的粗差。随着采集数据的方法和处理数据　的自动化，粗差有时不可避免，而粗差又不能在平差中消除，这将使平差精度降低甚至出现错误，所以粗差探测在　数据处理中越来越重要。基于粗差检验的原理，利用ＭＡＴＬＡＢ强大的计算能力用于粗差探测中，通过对实例从整　体和局部进行假设检验分析，结果表明是有效的、可行的。　关键词：粗差；ＭＡＴＬＡＢ；假设检验　中图分类号：Ｐ２０７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００６—７９７３（２０１　１）０５—０１　１６－０４　

ＭＡＴＬＡＢ是由美国ｍａｔｈｗｏｒｋｓ公司发布的主要面对科　学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它　将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系　统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗　环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算　的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度　上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如Ｃ、Ｆｏｒｔｒａｎ）的编　辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。　在进行测量工作中通常都会进行多余观测，多余观测使　得观测值之间必然产生差值（不符值、闭合差），由于观测值　中的偶然误差不可避免，差值如果不超限，则按偶然误差的　规律加以处理，称为闭合差的调整，以求得最可靠的数值并　根据差值的人小来评定测量的精度（精确程度）。但是如果差　值大到一定的程度，就认为观测值中有错误（不属于偶然误　差），称为误差超限。由于观测中存在偶然误差，为了检验观　测中是否存在粗差，需要利用统计检验的方法，及时的发现　观测值中的粗差，以便将其剔除或重测。　一、

数据筛选原理　

１．粗差的整体检验　把观测向量１分成两部分ｌ　和１２。其中ｌ　是ｎ　维观测向　量，不包含粗差；１　是ｎ。维的，我们怀疑它有粗差的观测向　量，用　表示粗差向量。这时运用间接平差原理其数学模型　为：　

＝　］　

为了从整体上判断观测向量中是否具有粗差，作原假设　日ｏ：　＝０。当把原假设作为约束条件时，可据此条件消除　未知向量　，即为：　

＋　ｌ：　ｌ　Ｌｆ　Ｊ　ｌ　！Ｊ　Ｌ　：Ｊ　

其中　，　表示有约束条件时的改正数，　，　为未　

加约束条件的改正数。　运用间接平差原理：　

误差方程：，＋　＝　；母体方差估值：　—　一　，　Ｐ　

在原假设成立的条件下，对变量妻应服从自由度为ｒ与　ｏｏ的中心分Ｆ布，即　

～Ｆ（，，。。）　

取置信水平　，可对原假设Ｈ。（观测值中不包含粗差）　进行检验。　２．粗差的局部检验　为了具体判断哪些观测值伴随有粗差，可以假设只有一　个观测值，１伴随有粗差，则　

数学模型为：，＋　＝［　ｅ　］　

『ＡＴＰＡ　ＰｅｉＴｘ］『　，Ｐ门　法方程式为：ｌ　△，ｊ　尸，Ｊ　

ｅｒｐｖ　求解得到：Ａｉ　—ｅｒ

，

ｐｏ—

，，ｖＰｅ　

协因数阵：　：　Ｑ　Ｐｅｉ　＝　．ｐＱｒ　）　

为了检验△，是否为粗差，作原假设　：Ａ　不是粗差，　也即△　应趋于零。　（１）Ｂ检验法（也称ｕ检验法）　这种方法是利用标准正态分布来检验粗差的，它是由荷　兰Ｂａａｒｄｅ教授首先提出的，通常称为Ｂ检验法，利用上述　计算的成果对原假设Ｈ。（第　个观测值，　不伴随有粗差）进　行检验。为此，将变量△　标准化得统计量：　

Ｗ—Ｉ△　ｌ一０～　Ｐ　ＰＶ　

ｏ　Ｏ＂ｏｌｅ　ＰＱｖｖＰｅ　１　

收稿日期：２０１　１－０３—２５　作者简介：胡远新（１９７４一），男，浙江省隧道工程公司工程师。　第５Ｚ期　胡远新：检验粗差的新方法　１１　７　对于一般情况，观测值权阵Ｐ为对角阵，则上式可化简　成　Ｉ　ｖ，　Ｊ，利用概率式．Ｄ　１　｝＝　它可对原假设进　

行统计检验，从而决定观测值是否伴随有粗差。　（２）　检验法　由于Ｂ检验法要求预先知道观测值的方差　，但是很多　

情况下　无法知道，为此Ｐｏｐｅ提出利用剔除观测值前所求　

．，　Ｖ　ＰＶ　得的方差估值　＿来代替　组成统计量：　

：　Ｄ０、，　ｖ　

在原假设观测值，　不包含粗差时，统计量服从自由度为　

ｒ的　分布，可利用概率式尸　；【川　｝＝　对原假设进行　

检验。其中　一　（ｒ）利用　分布的分位值按　：（ｒ）　采计算得剑。　（３）ｔ检验法　

在母体方差　２未知时，Ｈｅｃｋ提出了利用剔除具有粗差　

的观测值，　后平差求得的方差估值：　）。：　来代　替　２、，参见文献　的推导可知：　（　ｒＪｐｆ／）…：　Ｐ　一旦　

此时统计量为：　

在原假设　ｏ：观测值，ｆ不包含粗差时，统计量ｔ服从　自由度为　—ｌ的　分布，故可以用概率式：，｛　）ｉ　。｝：　对原假设进行检验。　二、　佃Ｊ　

图１变形监测水准网　

设有如图１所示的变形监测水准网，图中箭头表示观测方　向，圆圈中数字表示测站数，水准测量一站中误差为　盯．．＝±Ｏ．１３ｒａｍ。通过观测获得观测值向量（单位：ｍｍ）为：　

ｈｏ＝【ｈｉ：ｈ：　。啊　ｈ２　ｈ　】＝　［４５０．０６８　４９．７０７—５００．０８１　４７１．３２６　２０．２７５—３０．００８Ｊ　

试检验观测向量中是否含有粗差。　假设点１的高程Ｈｌ，点２，３，４的高程为ｘ２，　，　４且　设Ｈ　＝０，取ｌ，２测站之水准测量误差为单位权中误差，即　根据各段水准路线的测站数可以得到权阵Ｐ，则用间接平差　的方法列误差方程　，＝臌一ｌ，并求解即可得到。下面在　ＭＡＴＬＡＢ中编程实现求解的过程，并对结果进行假设检验，　从而探测出可能存在的粗差。　ｄｉｓｐ　（’…一－Ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｉｎｇ　ｏｆ　ｇｒｏｓｓ　ｅｒｒｏｒ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ…一一　１　Ｐ＝【３　０　０　０　０　０；０　１　０　０　０　０；０　０　３　０　０　０；０　０　０　６　０　０；０　０　０　０　６　０；０　０　０　０　０　３】；　Ｑ＝ｉｎｖ（Ｐ）；ｄ０＝Ｏ．１３；　Ｂ＝【１　０　０；一１　１　０；０—１　０；０　０　１；一１　０　１；０—１　１】；　ｌ＝ｆ４５０．０６８；４９．７０７；一５００．０８１；４７１．３２６；２０．２７５；　

一３０．００８】；　Ｎｂｂ＝Ｂ’　Ｐ　Ｂ；　Ｗ＝Ｂ。　Ｐ　ｌ：　ＱＸｘ＝ｉｎｖ（Ｎｂｂ）；　Ｘ　Ｑ　Ｗ；　ｄｉｓｐ（　间接平差的误差方程为Ｖ＝Ｂｘ—ｌ：　）　Ｖ１＝Ｂ　Ｘ—ｌ；Ｖ＝Ｖ１’　ｄｉｓｐ（’一．对原假设进行整体检验’）　ｄｉｓｐ（’对原假设进行整体Ｆ检验，统计量服从自由度为　ｒ与无穷大的中心Ｆ分布：　）　ｄｉｓｐ（’Ｆ检验的统计量为母体方差估值与单位权方差之　比Ｆ＝Ｄｈ／Ｄｏ：’）　Ｆ　Ｖ　Ｐ　Ｖ１／（３　ｄｏ＾２）　ｄｉｓｐ（’因为Ｆ＞Ｆｏ　ｏｓ（３，。。）＝２．６，故拒绝原假设，认　为观测值中包含有粗差值。）　ｄｉｓｐ（’计算具有粗差观测值的协因数阵Ｑ　：’）　Ｑ　Ｑ—Ｂ　ｉｎｖ（Ｎｂｂ）　Ｂ’　Ｎ＝ｄｉａｇ（Ｑ　）；　ｄｉｓｐ（’二．计算要检验统计量的公共部分Ｍ＝ａｂｓ（Ｖ。）　／ｓｑｒｔ（Ｑ州）：’）　Ｍ＝（ａｂｓ（Ｖ　）．／ｓｑｒｔ（Ｎ））’％得到以下要检验统计量　的公共部分　ｄｉｓｐ（。从Ｍ的表达式可以看出它反映了观测值的精度，　Ｍ的值越大与之对应的观测值很有可能含有粗差，Ｍｍａｘ＝Ｍ　（４）＝１．６１　１３即观测值ｈ　可能包含粗差，下面用局部统计　检验法对其进行检验’）　ｄｉｓｐ（　三．对观测值ｈ　进行局部检验统计量与假设检　验：　）　ｄｉｓｐ（’１．Ｂ检验法，取置信区间Ｑ为０．０５，统计量服从　１１８　中国水运　第１１卷　Ｕ分布：　）　Ｕ＝（Ｍ（４）／ｏ．４５）’％得到Ｕ分布统计量的值　ｄｉｓｐ（　Ｕ＞Ｕｏ　９７５＝１．９６，故拒绝原假设，认为观测值ｈ　４　中包含有粗差值　）　ｄｉｓｐ（’２．ｔ检验法，在自由度为ｒ＝３，置信区问ａ为０．０５，　统计量服从Ｔ分布：　）　ｄｌ＝ｓｑｒｔ（Ｖ　Ｐ　Ｖ　／３）；％得到剔除粗差前的中误差估值　Ｔ＝Ｍ（４）／ｄ　％得到Ｔ分布统计量的值　ｄｉｓｐ（’由ｔ分布在自由度为ｒ一１＝２，置信区间ａ为０．０５　的分位值，求解ｔ分布的分位值　）　ｔｌ＝４．３０；　Ｔ０＝ｓｑｒｔ（３　ｔｌＡ２／（３—１＋ｔｉＡ２））％求解　分布在自由度　为ｒ＝３，置信区问Ｑ为０．０５的分位值　ｄｉｓｐ（’Ｔ＞Ｔｏ，即Ｔ＞　０　９７５（３）＝１．６４５，故拒绝原假设，　认为观测值ｈ　中包含粗差值　）　ｄｉｓｐ（　３．ｔ检验法，在自由度为ｒ一１＝２，置信区间Ｃｌ为　０．０５，统计量服从ｔ分布：’）　ｄ２＝Ｖ　Ｐ　Ｖ１－Ｖ（４）　２／Ｎ（４）；　ｄ。＝ｓｑｒｔ（ｄ　／（３—１））；％得到剔除粗差后的中误差估值　ｔ＝Ｍ（４）／ｄ　％得到ｔ分布统计量的值　ｄｉｓｐ（’ｔ＞ｔ０　９７５（２）＝４．３０，故拒绝原假设，认为观测　值ｈ　中包含有粗差值’）　ｄｉｓｐ（’…一一Ｔｈｅ　ｅｎｄｉｎｇ　ｏｆ　ｇｒｏｓｓ　ｅｒｒｏｒ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ…一一’）　运行程序以后，可以很好探测出具有粗差的观测值：　—－———－—・－－Ｔｈｅ　ｂｅｇｉｎｉｎｇ　ｏｆ　ｇｒｏｓｓ　ｅｒｒｏｒ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ—－—－—－－－——　间接平差的误差方程为Ｖ＝Ｂｘ一１：　Ｖ＝　Ｏ．４　１８５　０．２６９　１　—０。３８　１６　—０．４００　１　０。１６４４　０．４７ｌ３　１．对原假设进行整体检验　对原假设进行整体Ｆ检验，统计量服从自由度为ｒ与无　穷大的中心Ｆ分布：　Ｆ检验的统计量为母体方差估值与单位权方差之比　Ｆ　Ｄｈ／Ｄ０：　Ｆ＝　５５．６９４５　因为Ｆ＞Ｆ　（３，ｏｏ）：２．６，故拒绝原假设，认为观测　值中包含有粗差值　计算具有粗差观测值的协因数阵Ｑ　：　Ｑｖｖ＝　Ｏ．１８７２　０．０９５９　０．０５０２　—０．０６８５　０．０７７６　—０．０　１８３　０．０９５９　０．７８０８　０．１２３３　０．０１３７　—０．０８２２　０．１３７０　０．０５０２　０．１２３３　０．１　５９８　０．０５４８　０。００４６　—０．１　１８７　０．０６８５　０．０　ｌ３７　０．０５４８　０．０６　１６　—０．０３６５　—０．０５０２　０．０７７６　—０．０８２２　０．００４６　—０．０３６５　Ｏ．Ｏ５２５　一Ｏ．Ｏ３２Ｏ　一０．０１８３　０．１３７０　—０．１　ｌ８７　—０．０５０２　—０．０３２０　０．１６４４　２．计算要检验统计量的公共部分Ｍ＝ａｂｓ（Ｖｉ）／ｓｑｒｔ　（ＱⅥｖ　）：　Ｍ：　０．９６７３　０．３０４５　０．９５４６　１．６１　１３　０．７ｌ７５　１．１６２５　从Ｍ的表达式可以看出它反映了观测值的精度，Ｍ的值　越大与之对应的观测值很有可能含有粗差，Ｍｎｌａｘ＝Ｍ（４）　＝ｌ。６　ｌ１３即观测值ｈ　可能包含粗差，下面用局部统计检验　法对其进行检验．　３．对观测值ｈ　进行局部检验统计量与假设检验：　（１）Ｂ检验法，取置信区间ｎ为０．０５，统计量服从ｕ　分布：　Ｕ＝３．５８０８　Ｕ＞Ｕ。。　＝１．９６，故拒绝原假设，认为观测值ｈ　中包含　有粗差值　（２）　检验法，在自由度为ｒ＝３，置信区间Ｑ为０．０５，　统计量服从　分布：　Ｔ＝１．６６０９　由ｔ分布在自由度为ｒ一１＝２，置信区间（２１为０．０５的分位　值，求解　分布的分位值　Ｔ０＝１．６４５３　Ｔ＞Ｔｏ，即Ｔ’　９　（３）＝１．６４５，故拒绝原假设，认为观　测值ｈ　中包含粗差值　（３）ｔ检验法，在自由度为ｒ一１：２，置信区间Ｑ为０．０５，　统计量服从ｔ分布：　ｔ＝４．７８０１　ｔ＞ｔ。９７ｓ（２）＝４．３０，故拒绝原假设，认为观测值ｈ　中　包含有粗差值