第四节无穷级数【本节知识框架】【历年考点一览表】说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。
一、常数项级数1．常数项级数的概念（见表1-4-1）表1-4-1 常数项级数的概念2．常数项级数的性质（1）如果级数收敛于和S，c为常数，则收敛，其和为cS。
（2）如果级数，都收敛，其和分别为A、B，则收敛，其和为A±B。
（3）一个级数收敛，另一个级数发散，则它们对应项的和或差所得的级数发散。
（4）两个发散级数对应项的和或差所得的级数敛散性不定。
（5）如果级数收敛，在级数的前面增加或删去有限项，不改变级数的敛散性。
在收敛时和要改变。
（6）如果级数收敛，则对其任意加括号后所得的级数仍收敛且其和不变。
若加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。
3．几何级数与p级数及其收敛性（1）几何级数形如叫做几何级数（又称等比级数），其中a≠0，q叫做级数的公比，当|q|＜1时级数收敛；当|q|＞1时，级数发散。
（2）p级数形如1＋（1/2p）＋（1/3p）＋（1/4p）＋…＋（1/n p）＋…称为p级数，其中常数p ＞0。
当p＞1时收敛，当p≤1时发散。
4．常数项级数敛散性判别法（1）正项级数敛散性判别法正项级数是指各项为正数的级数各项符号相同的级数都可以归入正项级数（负项级数各项乘以－1可化为正项级数来判定）。
正项级数的部分和S n构成一个单调增加（或不减少）的数列{S n}。
由极限存在准则可知，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列{S n}有上界。
①利用级数收敛的必要条件判别设，其中a n≥0（n＝1，2，…）。
若，则发散。
②正项级数收敛的基本定理正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界。
③常用的正项级数敛散法（见表1-4-2）表1-4-2 常用的正项级数敛散法（2）任意项级数敛散性的判定①交错级数敛散性的判定（莱布尼茨定理）设交错级数即a1－a2＋a3－a4＋a5…组成的级数，满足条件：；a n≥a n＋1（n＝1，2，…）。
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第四节孔口管嘴管道流动【本节知识框架】【历年考点分布】说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。
一、孔口出流1．孔口出流的分类容器壁上开一孔口有液体流出称孔口出流，孔口出流的分类见表6-4-1。
表6-4-1 孔口出流的分类2．孔口自由出流如图6-4-1所示，取基准面0—0过孔口中心，并取上游自由液面为断面1—1，孔口外收缩断面（距壁e/2处）c—c为下游断面，得能量方程为：H＋0＋α1v02/2g＝0＋0＋α2v c2/2g＋h w。
令H0＝H＋α1v02/2g。
式中，v0为上游水面流速，H0为自由出流小孔口水头。
当v0很小时H0＝H，孔口水头损失式中，ξc为小孔口阻力系数由试验确定。
代入上式后得：故收缩断面平均流速为：式中，为小孔口流速系数，可用试验确定，据前人研究得：φ＝0.97，ζc＝0.06，αc＝1.0。
设收缩断面面积与孔口断面面积比值为：ε＝A c/A，为收缩系数，小孔口的收缩系数ε＝0.64（当收缩为充分、完善圆形时），故小孔口的出流流量为：令μ＝εφ，称小孔口流量系数，则有：对充分收缩的圆形小孔口得：μ＝0.97×0.64≈0.62。
收缩是否充分和完善与孔口至容器壁的距离有关，当孔口距壁的距离大于相应的孔口边长的3倍时，为充分完善收缩，否则为不充分完善收缩。
图6-4-13．孔口淹没出流如图6-4-2所示，取上游自由液面为断面1—1，下游过水断面2—2，能量方程为：H1＋0＋α1v02/2g＝H2＋α2v c2/2g＋h w。
图6-4-2水头损失包括水流经孔口的局部损失及经收缩面后放大的损失两项，即：令H0＝H1－H2＋α1v02/（2g）－α2v c2/（2g），代入上式可得：因A2远大于A C故ξ2＝1，所以流速为：孔口流量为：上式与小孔口自由出流形式完全相同，但应注意孔口的水头H0的意义有所不同，此处的H0是孔口上下游断面总水头之差，当上下游断面流速水头可不计时，即为上下游液面高差Z。
第七节相似原理和量纲分析【本节知识框架】【历年考点分布】说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。
一、力学相似原理1．力学相似种类表6-7-1 力学相似种类2．几何相似表6-7-2 几何相似3．运动相似表6-7-3 运动相似4．动力相似表6-7-4 动力相似5．三种相似的关系凡流动相似的流体，必是边界相似、运动相似和动力相似的流动。
这三种相似是相联系的，几何相似是运动相似和动力相似的前提，动力相似是决定两个水流运动相似的主导，运动相似是几何相似和动力相似的表现。
【典型例题】几何相似、运动相似和动力相似的关系是（）。
[2018年真题]A．运动相似和动力相似是几何相似的前提B．运动相似是几何相似和动力相似的表象C．只有运动相似，才能几何相似D．只有动力相似，才能几何相似【答案】B【解析】几何相似是指模型流动与原型流动中的固体边界形状相似，对应的线性尺度比例相同；运动相似是指模型流动与原型流动在所有对应点上、对应时刻的速度场相似，也就是同名速度方向一致，大小成同一比例；动力相似是指模型流动与原型流动在对应时刻的所有对应点处，作用在流体微团上的各种同名力方向一致，大小成一定比例。
几何相似是流体动力相似的前提，动力相似是决定运动相似的主导因素，而运动相似则是几何相似和动力相似的表象。
6．牛顿一般相似原理设作用在流体上的外力合力F，使流体产生的加速度为a，流体的质量为m，则由牛顿第二定律惯性力F＝ma可知，力的比尺λf也可表示为：λF＝F p/F m＝M p a p/M m a m＝ρp L p2v p2/（ρm L m2v m2），或F p/ρp L p2v p2＝F m/（ρm L m2v m2）。
式中，F/ρL2v2为一无量纲数，以Ne 表示为：Ne＝F/ρL2v2，Ne称为牛顿数。
式Ne＝F/ρL2v2可表示为：（Ne）p＝（Ne）m。
两流动动力相似，归结为牛顿数相等。
以比尺表示为：λF/λρλL2λv2＝1。
