高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B版（理）

【本讲教育信息】

一、教学内容：

选修2—1 空间向量及其运算

二、教学目标：

1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析：

1．空间向量的概念：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

baABOAOB

baOBOABA

)(RaOP

运算律：

（1）加法交换律：abba

（2）加法结合律：)()(cbacba

（3）数乘分配律：baba)(

3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使a＝λb.

4．共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，那么向量p与向量ba,共面的充要条件是

存在有序实数组),(yx，使得byaxp。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c,b,a不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使czbyaxp

6．夹角

定义：ba,是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作bOBaOA,，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作ba,

规定：ba,0

特别地，如果0,ba，那么a与b同向；如果ba,，那么a与b反向；如果90b,a，那么a与b垂直，记作ba。

7．数量积

（1）设ba,是空间两个非零向量，我们把数量baba,cos||||叫作向量ba,的数量积，记作ba，即ba＝baba,cos||||

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高中数学 第二章空间向量与立体几何复习与小结（一）

一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

二、重难点分析：本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．

1、空间向量及其运算：

重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。 难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。难点：向量坐标的确定、公式的应用。

2、空间向量的应用

重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。（2）直线与平面的夹角：重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法。难点：斜线与平面所成的角的求解，公式12coscoscos的灵活运用。

1．空间向量基本定理

设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则

(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：

v＝xe1＋ye2＋ze3.

(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.

2．空间向量的坐标运算公式

(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．

(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．

(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝x2＋y2＋z2.

(4)向量的夹角：cos θ＝v1·v2|v1|·|v2|

＝ x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22.

3．空间向量在立体几何中的应用

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则

线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R

线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0

面面平行 α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R

线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0

线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R

面面垂直 α⊥β⇔u⊥v ⇔u·v＝0

线线夹角 l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，cos θ＝|a·b||a||b|

线面夹角 l，α的夹角为θ0≤θ≤π2，sin θ＝|a·u||a||u|

面面夹角 α，β的夹角为θ0≤θ≤π2，cos θ＝|u·ν||u||ν|

其中，线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合．

空间向量与空间位置关系

[例1] 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：

(1)MN∥平面PAD；

(2)平面PMC⊥平面PDC.

[证明] 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

必修二 知识点归纳：

第一章 空间几何体

1. 棱柱

直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。（正棱柱:

底面为正多边形的直棱柱。）

斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。（平行六面体：底面为平行四边形的斜棱柱。）

棱锥 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。

斜棱锥：以上条件之一不满足的棱锥。

棱台 正棱台：由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。

斜棱台：由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。

四面体：三棱锥

正四面体：六条棱均相等的三棱锥。

空间四边形ABCD：三棱锥，其中有四条边：AB、BC、CD、DA；两条对角线：AC、BD。

2. 三视图（会识别，会画图）

3. 斜二测画法画直观图：见《名师面对面》P10：3题；P12：6、7题

4. S圆柱侧=2πrl S圆柱表=2πrl+2πr2

S圆锥侧=πrl S圆锥表=πrl+πr2

S圆台侧=π(r+r′)l S圆台表=π(r+r′)l +πr2+πr′2 其中r为底面半径，l为母线长

5. V柱体=Sh V锥体=13Sh V台体=13(S+√𝑆𝑆′+S’)h 其中S，S’为底面积，h为高

6. S球表=4πR2 V球=43πR3

7. 球内接正方体棱长a与球半径R关系：2R=√3a

注意：将《名师面对面》P12-21重做一遍。

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

１．平面的概念，画法，与点的属于关系，与直线的包含关系。

２．三个公理：

（１）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内。

（２）不共线三点确定一个平面。

推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面。

②两条平行直线确定一个平面。

③两条相交直线确定一个平面。

（３）如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。