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证明三——特殊平行四边形
知识要点
1．矩形
一、性质
矩形除具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形的四个角都是直角，对角线相等
二、判定
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
三、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
2．菱形
一、性质：菱形除具有平行四边形的所有性质之外，还具有，菱形的四边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角
二、判定
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）菱形的判定定理1：四边都相等的四边形是菱形；
（3）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．正方形
一、 性质：正方形除具有平行四边形所有性质外，还具有，正方形的四个角都是直角，两条对角线相等，并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
二、判定
（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）判定定理1：一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）判定定理2：一个角是直角的菱形是正方形．
（一）菱形、矩形、正方形的有关概念：
图形 形状 定义 判定
菱形
一组邻边相等的平行四边形叫菱形 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形
2.四条边都相等的四边形是菱形
3.对角线互相垂直的平行四边表是菱形。
矩形 一个内角是直角的平行四边形叫矩形 1.一个内角是直角的平行四边形是矩形
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3.四个内角都是直角的四边形是矩形。
正方形
一组邻边相等的矩形叫正方形 1.一组邻边相等的矩形是正方形
2.对角线互相垂直的矩形是正方形
3.有一个角是直角的菱形是正方形
4.对角线相等的菱形是正方形
（二）菱形、矩形、正方形的性质
人教版小学数学四年级下册平行四边形的特性说课稿
一、引入
大家好，今天我们要研究的是平行四边形的特性。在此之前，让我们回忆一下什么是四边形。四边形就是四条边的图形，它有哪些属性呢？
二、四边形的性质
四边形有四条边和四个角，其中相邻两边和它们之间的角都不一样。同时，四边形内角的和为 $360$ 度。
三、平行四边形的定义
在四边形这个概念中，平行四边形也是非常重要的一个概念。下面我们来给出平行四边形定义：具有两组平行边的四边形叫做平行四边形。
四、平行四边形的特性
了解了平行四边形的定义以后，我们来看一下它的特性：
- 特性 1：对边平行。平行四边形的两组对边两两平行。
- 特性 2：对边相等。平行四边形的对边长度相等。
- 特性 3：同侧内角和为 $180^\circ$。平行四边形的同侧两个内角之和为 $180^\circ$。
- 特性 4：对角线互相平分。连接平行四边形相对顶点的两条线段互相平分。
有了以上几个特性，我们就可以轻松地解决关于平行四边形的各种问题啦！
五、小结
在今天的课程中，我们学习了四边形的特性以及平行四边形的定义和特性。希望同学们能够牢记这些内容，运用到实际的数学中去。谢谢大家！
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第7讲 平行四边形
知识点1 一般的平行四边形
1. 平行四边形的性质与判定
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的性质：
如图，已知▱ABCD.
则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;
②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;
③OA=OC,OB=OD. 2
拓展：①平行四边形的邻角互补；
②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2. 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.
EF是平行线AB，CD之间的距离.
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.
3. 三角形的中位线
图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE） 3
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=
BC）
注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）
拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）
【典例】
1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME=∠CNE.
（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．
第 1 页 目 录
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质(1)
第2课时 平行四边形的性质(2)
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
第2课时 平行四边形的判定(2)
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
第2课时 矩形的判定
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
第2课时 菱形的判定
18.2.3 正方形
第十八章 平行四边形
主题 轴对称 课型 新授课 上课时间
教学内容 18.1平行四边形;18.1.1平行四边形的性质;18.1.2平行四边形的判定;18.2特殊的平行四边形;18.2.1矩形;18.2.2菱形;18.2.3正方形.
教材分析 本章内容的重点是平行四边形的定义、性质和判定.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的.它们的探索方法,也都及平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承.三角形中位线定理等的推证,也都是以平行四边形的有关定理为依据的,是平行四边形知识的综合应用.另外,平行四边形的有关定理,也常常是证明两条线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据,所以掌握平行四边形的概念、性质和判定,并能应用这些知识解决问题,是学好本章的关键.
教学目1.知识及技能
(1)理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及它们之间的关系.
(2)探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定第 2 页 标 定理,并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
(3)了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.探索并证明三角形中位线定理.
2.过程及方法
通过经历平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探索和证明过程,丰富学生从事数学活动的经验和体验,进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.
