(考研高数)基本初等函数图像与性质

高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。

这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。

一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。

这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。

常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。

二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。

幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。

三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。

四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。

对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。

对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。

五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。

正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。

三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。

六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。

反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。

反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。

七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。

2）反余弦函数 余弦函数
反余弦函数
y cos x
y
1
0

2
x [0, ]
y arccos x x [1,1]
y

y [1,1]
y [0, ]

x
1
1
0
x 1
余弦函数 y cos x 在 [0, ] 上的反函数，称为
反余弦函数，记为 y arccos x x [1,1] y [0, ]
10
例2 判断函数 f ( x) ln ( x 2 1 x) 的奇偶性. 解
f x f x
ln [ x 2 1 x] [ x 2 1 x]

ln1 0
则此函数为奇函数
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（4）三角函数 1）正弦函数的性质
y sin x
x ,
解：
x e ln x , x 0

ln x 1 0 e 1 f ln x ln x ln x e e 1
ye
y
x
1 f x x e
0 e 1
x
e 1
x
0,1
x
1 x 0 f x x e 0 x
22
反余弦函数的性质
y arccos x
x [1,1]
y

y [0, ]
（1）在[ -1, 1 ]是有界函数；
0 arccos x
（2）是非奇非偶函数；
1
0
x 1
（3）在 [1, 1] 上是单调减函数。
23
3）反正切函数 正切函数 y tan x 在 (

基本初等函数初等函数初等函数是指可以用有限次加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数、函数互反和常数的四则运算来表示的函数。

它是高中数学中的一种函数类型，是数学研究和应用中最基本、最常见的一类函数。

最基本的初等函数包括：1.常数函数：y=C，其中C为任意常数。

常数函数在整个定义域上都保持不变。

2. 一次函数：y = mx + b，其中m和b为任意常数，m表示斜率，b 表示截距。

一次函数的图像为一条直线。

3.幂函数：y=x^r，其中r为任意的实数。

幂函数是由自变量的幂指数决定的。

4.指数函数：y=a^x，其中a为一个正常数且不等于1、指数函数的图像呈现指数增长或指数衰减的形式。

5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为一个正数且不等于1、对数函数是指数函数的反函数，可以解决指数方程。

6. 三角函数：包括正弦函数y = sin(x)，余弦函数y = cos(x)，正切函数y = tan(x)等。

三角函数是周期性的函数。

除了以上基本初等函数外，复合函数也属于初等函数的范畴。

例如，将两个初等函数通过运算符号连接在一起形成的函数仍然属于初等函数。

例如加、减、乘、除、复合函数、互反函数等等。

初等函数在数学的研究和应用中起着非常重要的作用。

它们广泛应用于科学、工程、经济、物理、化学、生物学等领域中的数学模型建立和问题求解。

通过使用初等函数，我们可以更好地描述和分析变量之间的关系，从而更好地理解和预测实际问题。

初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、初等函数的图像、定义域、值域、对称性、奇偶性、单调性、极值等特征都可以通过数学工具和方法进行研究和分析。

总之，初等函数是数学中最基本和常见的一类函数。

它们通过有限次的四则运算、函数互反和常数的运算构成，在数学的研究和应用中起着重要的作用。

初等函数的性质和特点也是数学学科中的重要内容之一、通过学习初等函数，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。

幂函数 幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，这时可表示为 性质1：奇偶性（分母为奇数才有奇偶性，分子为奇数就是奇函数，分子为偶数就是偶函数） 定义域，值域（K为奇数，定义域不能为0，值域也不为0） （1）当m，n都为奇数，k为偶数时，定义域、值域均为R，为奇函数； （2）当m，n都为奇数，k为奇数时，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），为奇函数； （3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，定义域、值域均为[0，+∞），为非奇非偶函数； （4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，定义域、值域均为（0，+∞），为非奇非偶函数； （5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，定义域为R、值域为[0，+∞），为偶函数； （6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0）∪（0，+∞），值域为（0，+∞），为偶函数。 性质2： （1）正值性质 当α>0时， a、图像都经过点（1,1）（0,0）； b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数； c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0减小，趋近于0； （2）负值性质 当α<0时， a、图像都通过点（1,1）； b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。 c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。 （3）零值性质 当α=0时， a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。 性质3单调性： 由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到： （1）所有的图像都通过（1，1）这点.（α≠0） α>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。 （2）单调区间： 当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性： ①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增； ②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增； ③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）； ④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。 当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性： ①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增； ②当α>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增； ③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减； ④当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）； （3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）； 当0当α<0时，图像为双曲线。 （4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。 （5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。 （6）显然幂函数无界限。 （7）α=2n（n为整数）,该函数为偶函数 {x|x≠0}。 性质总结：