1.3.1 单调性与最大(小)值1．函数的单调性如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．谈重点 对函数单调性的理解 (1)函数在区间D 上的单调性是针对定义域内某个区间D 而言的．①这个区间可以是整个定义域：如y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．②这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y ＝x 2－2x ＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．(2)x 1，x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1＜x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．(3)有的函数无单调性．如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言．【例1－1】若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)且满足f(1)＜f(2)＜f(3)，则函数f(x)在(0，＋∞)上为( )A．增函数B．减函数C．先增后减D．不能确定解析：由于函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．因此本题选D．答案：D【例1－2】函数1yx=的单调递减区间是( )A．[0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞)D．(－∞，0)U(0，＋∞)谈重点写函数的单调区间易忽略的问题(1)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能简单地认为函数f(x)在A U B上是增(或减)函数，即单调区间不能并写；(2)当函数有两个或两个以上单调性相同的区间时，这些区间要用“，”或“和”连接．【例1－3】已知函数y＝f(x)的图象如图所示．试写出函数y＝f(x)的单调区间．解：观察图象可知，函数y＝f(x)的图象在区间[－2,1]和[4,6]上均是上升的，在区间(1,4)上是下降的，所以函数y＝f(x)的单调递增区间是[－2,1]，[4,6]，单调递减区间是(1,4)．谈重点由图象确定函数的单调区间易忽略的问题(1)单调区间必须是定义域的子集；(2)单调区间应用“，”或“和”连接，不能用“U”连接；1，4，因为单(3)本题的单调增区间也可写为(－2,1)，(4,6)，单调减区间也可写为[]独的一个点不影响函数的单调性，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．2．函数的最值(1)最大值和最小值定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值．几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图象上最高(低)点的纵坐标．(2)最值函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数y＝f(x)的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标．释疑点对函数的最值的理解(1)最大值(或最小值)必须是一个函数值，是值域中的一个元素．如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0．(2)使函数f(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个．如函数f(x)＝x2，x∈[－1,1]的最大值是1，此时有f(1)＝f(－1)＝1，即取得最大值的自变量有两个．(3)不等式f(x)≥M或f(x)≤M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值；(4)不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值．【例2－1】函数y＝x－1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是( )A．6,3 B．5,2C．9,3 D．7,4解析：函数y＝x－1在区间[3,6]上是增函数，则当3≤x≤6时，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤y≤5，所以最大值和最小值分别是5,2．答案：B【例2－2】函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为__________、__________．解析：由函数最值的定义，结合函数的图象可知，f (x )的最大值为12f ⎛⎫⎪⎝⎭，最小值为32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 答案：12f ⎛⎫⎪⎝⎭ 32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭【例2－3】下图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．解：观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(－1.5，－2)，所以当x ＝3时，函数y ＝f (x )取得最大值y max ＝3；当x ＝－1.5时，取得最小值y min ＝－2．3．单调性的证明与判断(1)单调性的证明①函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2；第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)；第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论．其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式．②利用单调性定义的等价形式证明：设x1，x2∈[m，n]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2＞0⇔f(x)在区间[m，n]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2＜0⇔f(x)在区间[m，n]上是减函数．(2)单调性的判断判断函数的单调性常用的方法有：①定义法：即“设元——作差——变形——判号——定论”；②图象法：先作出函数图象，利用图象的直观性判断函数的单调性；③利用已知函数的单调性及运算来判断函数的单调性，具体方法如下：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上：1°f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性；2°f(x)与af(x)，当a＞0时单调性相同；当a＜0时，单调性相反；3°当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；4°当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于0时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．5°当f(x)恒不为零时，f(x)与1f(x)具有相反的单调性．6°当f(x)≥0时，f(x)与f(x)具有相同的单调性．注意：(1)判断单调性不等同于证明单调性．(2)f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)·g(x)不一定是增(减)函数．如f(x)＝x，g(x)＝2x，则f(x)·g(x)＝2x2在R上不是增(减)函数．同理，f (x )g (x )也不一定是增(减)函数． 【例3－1】判断并证明函数f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上的单调性． 解：作函数f (x )＝1x-＋1，x ∈(0，＋∞)的图象．由图象可知函数f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上为增函数． 证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，(设元)则f (x 1)－f (x 2)＝121111x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(作差) ＝12121211x x x x x x --+=．(变形)()()()()121212121212(0)0.0.()0.x x x x x x x x f x f x f x f x ⎫∈∞>⎪<<⎬⎪<<⎭由，，＋，得又由，得－判于是－，即号 因此，f (x )＝1x-＋1在(0，＋∞)上是增函数．(定论) 谈重点 定义法证明函数单调性的四点注意 (1)“任意取x 1，x 2”的“任意”二字绝对不能去掉，更不可随意用两个特殊值代替；(2)x 1，x 2有大小之分，通常规定x 1＜x 2；(3)x 1，x 2同属于一个单调区间；(4)最重要的步骤是将f (x 1)－f (x 2)变形为能够与0比较大小的形式，常把它转化为几个因式的积或商的形式或者平方和的形式，采用的方法多为分解因式、配方、有理化等，要求化出来的形式能够直接与0比较，不能看不出正负就下结论．【例3－2】利用函数单调性的定义，证明函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数．原因 是利用了函数f (x )＝x 的单调性，而这一点是需要证明的．正确 证明任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12x x -＝1212121212()()x x x x x x x x x x -+-=++．∵0≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，12x x +＞0．∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．减的函数是( )A ．21y x =B ．1y x= C ．y ＝x 2 D ．y ＝x 3解析：对于A ，令y ＝f (x )＝21x，任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝212122221212()()11x x x x x x x x -+-＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数21y x=在区间(0，＋∞)上单调递减．同理可得函数21y x =在区间(－∞，0)上单调递增．对于B ，易知函数1y x=在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减．对于C ，易知函数y ＝x 2在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．对于D ，令y ＝f (x )＝x 3，任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 13－x 23＝(x 1－x 2)(x 12＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)·221221324x x x ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数y ＝x 3在R 上单调递增． 答案：A4．函数的单调区间的求法 (1)基本初等函数的单调区间以上单调函数的单调区间可作为结论记住，可提高解题速度．(2)用图象法求函数的单调区间利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．(3)利用单调性定义求函数的单调区间用单调性定义求函数单调区间，具体做法是：①明确函数的定义域；②在定义域内任取两个自变量x1，x2；③作差f(x1)－f(x2)并将差变形；④根据上一步差的变形结果，确定自变量x1和x2在定义域内一个子集E上差的符号，则该区间E是函数f(x)的一个单调区间；⑤写出函数的单调区间．【例4－1】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3|x|；(2)f(x)＝|x2＋2x－3|；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3．解：(1)f(x)＝3|x|＝3,0, 3,0. x xx x≥⎧⎨-<⎩图象如图所示．函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x 轴上方就得到函数f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．由图象易得：函数f (x )的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数f (x )的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝2223,0,23,<0.x x x x x x ⎧-++≥⎪⎨--+⎪⎩图象如图所示．由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0]，(0,1]，(1，＋∞)，其中单调减区间为(－1,0]和(1，＋∞)，单调增区间为(－∞，－1]和(0,1]．【例4－2】求函数y ＝x ＋1x，x ＞0的单调区间． 分析：函数的定义域是(0，＋∞)，在定义域中任取两值x 1，x 2，利用函数单调性的定义来确定单调区间．解：设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(x 1－x 2)＋1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(x 1－x 2)＋2112x x x x -＝(x 1－x 2)12121x x x x -，由于0＜x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，当x1，x2∈(0,1]时，有x1x2－1＜0，此时f(x1)＞f(x2)，当x1，x2∈(1，＋∞)时，有x1x2－1＞0，此时f(x1)＜f(x2)．故函数y＝x＋1x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1]．析规律函数f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性函数f(x)＝x＋ax(a＞0)是一类非常重要的函数，在以后的学习中会经常遇到，其图象如图．由图象可知其单调增区间为(－∞，]，(0)，(0．记住它的图象，对我们以后的学习会有很大的帮助．5．复合函数单调性的判断(1)复合函数y＝f(g(x))g(x)与外层函数f(x)的单调性相同时y＝f(g(x))是增函数，单调性相反时y＝f(g(x))是减函数．(2)判断复合函数单调性的步骤以复合函数y＝f(g(x))为例．可按下列步骤操作：①将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(t)，t＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若为一增一减，则y＝f(g(x))为减函数．_____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________【例5－1】函数f (x )＝226969x x x x -++++的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：原函数可化为f (x )＝|x －3|＋|x ＋3|＝236332 3.x x x x x -≤-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩，，，，，其图象如图所示，由图可得(－∞，－3]为函数f (x )的递减区间，[3，＋∞)为函数f (x )的递增区间．答案：[3，＋∞) (－∞，－3]【例5－2】已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，g (x )＝f (2－x )，试求g (x )的单调区间．解：令t ＝2－x ，则f (t )＝8＋2t －t 2； 由t ＝2－x 可知t 是关于x 的减函数．由f (t )＝8＋2t －t 2可知，当t ≤1时，f (t )是增函数； 当t ≥1时，f (t )是减函数．(1)令t ＝2－x ≤1，即x ≥1，此时内函数为减函数，外函数f (t )是增函数，故当x ≥1时，g (x )为减函数．(2)令t ＝2－x ≥1，即x ≤1，此时内函数为减函数，外函数f (t )为减函数，故当x ≤1时，g (x )为增函数．综上可得，g (x )的单调增区间为(－∞，1]，g (x )的单调减区间为[1，＋∞)． 析规律 复合函数单调性的判断方法 (1)利用“同增异减”判断；(2)复合函数的单调区间必须在定义域内并且要确定内层函数g (x )的值域，否则就无法确定f (g (x ))的单调性[特别是当f (g (x ))的单调区间是由几个区间组成时]．6．函数最值的求法 (1)观察法对一些简单函数可直接观察求其最值．例如，求y ＝x ＋1在区间[0,9]上的最值． 解：由题目条件可知0≤x ≤3，从而y ＝x ＋1∈[1,4]．即当x ＝0时，y min ＝1，当x ＝9时，y max ＝4． (2)用单调性求最值①利用定义法判断出函数y ＝f (x )的单调性；②再利用其单调性求最值．函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是f (b )，最小值是f (a )，如图a 所示；函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是f (a )，最小值是f (b )，如图b 所示；③归纳结论．有时也用以下结论来确定函数的最值：如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间[b ，c )上是减函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最大值f (b )；如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是减函数，在区间[b ，c )上是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最小值f (b )．(3)利用图象求最值利用图象求函数y ＝f (x )最值的步骤： ①画出函数y ＝f (x )的图象；②观察图象，找出图象的最高点和最低点；③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 要注意：画函数的图象时，要尽量准确，如果条件允许可以借助于计算机．有时由于所画图象不够准确，不能确定最高点或最低点的纵坐标，这时，可以利用函数的解析式将所有关键点的纵坐标计算出来，这些点的纵坐标中的最大值就是函数的最大值，这些点的纵坐标中的最小值就是函数的最小值．【例6－1】求函数1y x x =-解：由x ≥0，且x －1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)．而函数y和y =在[1，＋∞)上都是增函数，则y =+当x ＝1时，它取得最小值．故y =1，即它的值域为[1，＋∞)．点技巧 巧用“增函数＋增函数＝增函数”判断单调性 若两个函数在公共区间上均为增函数，则它们的和函数也为增函数，当两个函数在公共区间上均为减函数，则它们的和函数也为减函数．本题就是利用这个性质，判断函数y =【例6－2】已知函数21xy x =+，x ∈[－3，－2]，求此函数的最大值和最小值． 分析：先判断函数的单调性，再利用函数的单调性求得最值． 解：(方法一)设－3≤x 1＜x 2≤－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++12211212122(1)2(1)2()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x +-+-==++++．由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0． 所以f (x 1)＜f (x 2)．所以函数21xy x =+在区间[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3．(方法二)22(1)222111x x y x x x +-===-+++，而函数2y x =-在(－∞，0)上单调递增，所以函数21y x =-+在(－∞，－1)上单调递增，所以函数y ＝2－21x +，即21xy x =+在(－∞，－1)上单调递增．所以函数21xy x =+在区间[－3，－2]上单调递增．所以当x ＝－2时，函数取得最大值4，当x ＝－3时，函数取得最小值3．点技巧 分离常数法 对于形如y ＝ax ＋bcx ＋d(ac ≠0)的函数，我们常用分离常数法解决其单调性或最值问题，具体方法如下：通过y ＝ax ＋b cx ＋d ＝a c (cx ＋d )－ad c ＋b cx ＋d ＝ac ＋b －ad c cx ＋d将问题转化为函数y ＝b －ad c cx ＋d 的单调性问题，进而转化为函数y ＝b －ad c cx 的单调性问题，而y ＝b －ad ccx的单调性可利用反比例函数的单调性轻松得到．【例6－3】求函数f (x )＝11,1,2,13x x x x ⎧≤<⎪⎨⎪≤≤⎩的最大值与最小值．解：画出函数的图象，如图所示．由图可知，函数的最大值是f (3)＝3，最小值是f (1)＝1． 7．二次函数在闭区间上的最值问题求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间[m ，n ]上的最值问题一般分以下几种情况：(1)若对称轴2b x a =-在区间[m ，n ]内，则最小值为2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最大值为f (m )，f (n )中较大者(或区间端点m ，n 中与2bx a=-距离较远的一个对应的函数值为最大值)(2)若对称轴x ＝－b2a＜m ，f (x )在区间[m ，n ]上是增函数，则最大值为f (n )，最小值为f (m )；(3)若对称轴x ＝－b2a＞n ，f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，则最大值为f (m )，最小值为f (n )．例如，已知函数y ＝x 2＋x －1，求： (1)x ∈[－1,2]的值域； (2)x ∈[1,3]的值域． 分析：本题考查二次函数在某个给定区间上的值域问题．解题的关键是先配方再利用函数的单调性处理．解：∵y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54，∴这个函数图象开口向上，对称轴为x ＝－12．(1)∵－12∈[－1,2]，∴当x ＝－12时，y 有最小值－54．又当x ＝－1时，y ＝－1；x ＝2时，y ＝5， ∴y 的最大值为5．∴所求的函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，5． (2)∵－12∉[1,3]，且－12＜1，∴函数在区间[1,3]上单调递增．∴当x ＝1时，y 取最小值1；当x ＝3时，y 取最大值11． ∴所求的函数值域为[1,11]．【例7－1】求函数f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值与最小值．分析：画图象分类讨论．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a．(1)当a＜0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(2)当0≤a＜1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1；(4)当a＞2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1．【例7－2】求函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上的值域．解：函数y＝x2＋x－1的对称轴为12x=-，开口方向向上．①∵当a＋1＜12-，即a＜32-时，区间[a，a＋1]在对称轴的左侧，∴函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上单调递减．∴当x＝a＋1时，y min＝a2＋3a＋1；当x＝a时，y max＝a2＋a－1．②∵当a＞12-时，区间[a，a＋1]在对称轴的右侧，∴函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上单调递增．∴当x＝a时，y min＝a2＋a－1；当x＝a＋1时，y max＝a2＋3a＋1．③当a≤12-≤a＋1，即32-≤a≤12-时，当x＝12-时，y min＝54-；当a≤12-＜a＋12，即－1＜a≤12-时，当x＝a＋1时，y max＝a2＋3a＋1；当a＋12≤12-≤a＋1，即32-≤a≤－1时，当x＝a时，y max＝a2＋a－1．综上可知，当a＜32-时，函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上的值域为[a2＋3a＋1，a2＋a－1]；当32-≤a≤－1时，函数y＝x2＋x－1在区间[a，a＋1]上的值域为25,14a a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦； 当－1＜a ≤12-时，函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域为25,314a a ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦； 当a ＞12-时，函数y ＝x 2＋x －1在区间[a ，a ＋1]上的值域为[a 2＋a －1，a 2＋3a ＋1]．8．利用函数的单调性求参数的取值范围根据函数的单调性求参数的取值范围有以下几种方法： (1)利用具体函数本身所具有的特性． 例如，二次函数的对称轴把二次函数分成两个单调区间，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的值或范围．(2)利用图象．先画出函数的图象，借助于函数的图象分析出参数的值，再用单调性的定义来证明，这样做起来方便快捷，不易出现错误．(3)单调性的定义法．设单调区间内x 1＜x 2，由f (x 2)－f (x 1)＞0(或＜0)恒成立，求参数的范围．其步骤是：第一步：在所给区间内任取两值x 1，x 2，且x 1＜x 2；第二步：作差f (x 1)－f (x 2)，并将差变形为因式的积或商的形式； 第三步：根据函数的单调性，确定差的符号；第四步：讨论当差的符号确定时，参数满足的条件．【例8－1】已知函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[1，＋∞)上是减函数，求m 的取值范围．分析：画出函数图象，根据对称轴与区间端点的关系求解． 解：根据题意画出函数的草图，由于二次函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，则其对称轴2mx =在点(1,0)的左侧或过该点，所以有2m≤1，解得m ≤2． 所以实数m 的取值范围是(－∞，2]． 【例8－2】已知函数f (x )＝2x a+在区间(2，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 分析：由于函数f (x )的图象不能画出，则只能利用单调性的定义来解决．在区间(2，＋∞)内任取两值x 1，x 2，作差f (x 1)－f (x 2)，将差变形，转化为讨论当差的符号确定时实数a 满足的条件．解：设2＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1222x a x a-++ ＝212112122()2()2()()()()()x a x a x x x a x a x a x a +-+-=++++，由于2＜x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0．又函数f (x )在区间(2，＋∞)上是减函数， 则21122()()()x x x a x a -++＞0，所以(x 1＋a )(x 2＋a )＞0．所以120,0x a x a +>⎧⎨+>⎩或120,0,x a x a +<⎧⎨+<⎩即12,x a x a >-⎧⎨>-⎩或12,.x a x a <-⎧⎨<-⎩由于2＜x 1＜x 2，则仅有12,,x a x a >-⎧⎨>-⎩所以－a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．9．求不等式恒成立问题中参数的取值范围 不等式中的恒成立问题，通常转化为参数与函数最值的大小关系问题．常见情况有：f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ．例如：设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：根据题意，a ≤x 2－2ax ＋2在[－1，＋∞)内恒成立，即a ≤f (x )min 恒成立．下面研究f (x )＝x 2－2ax ＋2＝(x －a )2＋2－a 2在[－1，＋∞)上的最小值． ①当a ＜－1时，f (x )min ＝f (－1)＝1＋2a ＋2＝3＋2a ；②当a ≥－1时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2．故f (x )min ＝232,1,2,1,a a a a +<-⎧⎨-≥-⎩ 由a ≤f (x )min ，得－3≤a ≤1．【例9】已知函数f (x )＝22x x ax++，x ∈[1，＋∞)．若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求a 的取值范围．解法一：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝22x x a x++＞0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，由y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， 可知当x ＝1时，y min ＝3＋a ．于是当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立，故a ＞－3．解法二：在区间[1，＋∞)上f (x )＝22x x a x++＞0恒成立等价于x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，即a ＞－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a ＞－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a ＞－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1． ∵当x ＝1时，u 取得最大值－3， ∴a ＞－3．10．利用单调性解不等式(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．(2)解决抽象不等式(即没有具体解析式的不等式)的方法：由单调性的下述性质可脱去符号“f ”，从而解关于具体变量的不等式，即将函数值的大小关系问题转化为自变量的大小关系问题，同时应注意自变量的取值必须在同一单调区间内．若y ＝f (x )在给定区间上是增函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＜x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＞x 2．若y ＝f (x )在给定区间上是减函数，则当f (x 1)＜f (x 2)时，x 1＞x 2；当f (x 1)＞f (x 2)时，x 1＜x 2．例如：若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＞f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34＞0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34．答案：B注：解题过程中要体现出a 2－a ＋1＞0，34＞0，即要求自变量在同一个单调区间内．【例10－1】已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的减函数，解不等式f (a ＋1)＜f(－4a＋1)．解：∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴有a＋1＞0，－4a＋1＞0．又函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，且f(a＋1)＜f(－4a＋1)，∴a＋1＞－4a＋1．解不等式组10, 410,141, aaa a+>⎧⎪-+>⎨⎪+>-+⎩得0＜a＜14．故所求不等式的解集是14a a⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【例10－2】已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且xfy⎛⎫⎪⎝⎭＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－13fx⎛⎫⎪-⎝⎭≤2．分析：用特殊值将不等式右边的常数2转化为f(a)的形式，将左边的两个函数记号转化为一个，再由单调性转化为自变量的大小．解：在xfy⎛⎫⎪⎝⎭＝f(x)－f(y)中取x＝4，y＝2，可得f(2)＝f(4)－f(2)．于是f(4)＝2f(2)＝2．因此不等式f(x)－13fx⎛⎫⎪-⎝⎭≤2可转化为不等式f(x(x－3))≤f(4)．∵函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴0,30, (3)4, xxx x>⎧⎪->⎨⎪-≤⎩解得3＜x≤4．∴不等式f(x)－13fx⎛⎫⎪-⎝⎭≤2的解集为{}34x x<≤．11．单调性与最值在实际生活中的应用函数的单调性在实际生活中的应用大多是最值问题，如用料最省、费用最低、利润最大等问题．其解题步骤是：(1)审清题意，读懂题；(2)恰当设未知数，所设未知数的个数尽量少；(3)根据已知条件列出函数关系式；(4)转化为求数的最值，求出最值；(5)还原结论．此类应用题中，所列出的函数通常是一次函数和二次函数，因此，一次函数和二次函数的图象与性质是常考常新的热点内容之一，它是基本初等函数的基础，贯穿于整个高中数学的始终．特别是涉及二次函数的应用题非常多，归纳起来，主要是关于二次函数最值的实际应用，所以二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是整个高中数学的重点和热点．求最值的关键是列出二次函数解析式后，利用配方法把二次函数的解析式化为y＝a(x－m)2＋n的形式，这样便于讨论二次函数的最值．在确定最值的过程中，常常是根据定义域，画出二次函数的图象，借助于图象找到最高点和最低点，则最高点和最低点的纵坐标就是函数的最大值和最小值．画二次函数的图象时，主要体现二次函数的主要特征：对称轴、顶点、开口方向、与x 轴的交点情况，并且尽量准确，否则，利用图象求出的最值往往是错误的．【例11－1】某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．则摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?解：设摊主每天从报社买进x(180≤x≤400，x∈N)份晚报，每月获利为y元，则有y ＝0.20(18x＋12×180)－0.35×12(x－180)＝－0.6x＋1 188,180≤x≤400，x∈N．因为函数y＝－0.6x＋1 188在180≤x≤400，x∈N上是减函数，所以x＝180时函数取得最大值，最大值为y＝－0.6×180＋1 188＝1 080．故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元．【例11－2】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝21400,(0400),280000,(400),x x xx⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量x的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)分析：(1)根据“利润＝总收益－总成本”列出函数关系式；(2)转化为求分段函数(主要是二次函数)的最大值问题．解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝2130020000,(0400), 260000100,(400).x x xx x⎧-+-≤≤⎪⎨⎪->⎩(2)∵当0≤x≤400时，f(x)＝12-(x－300)2＋25 000，∴当x＝300时，f(x)max＝25 000；当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，∴f(x)＜f(400)＝60 000－100×400＝20 000＜25 000．∴当x＝300时，f(x)max＝25 000．故每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．21。
