严格伪压缩映像不动点和均衡问题的公共元的迭代算法

Lipschitz拟伪压缩映像族的具误差的收缩投影算法何春丽;高兴慧【摘要】在Hilbert空间框架下,提出了一种关于Lipschitz拟伪压缩映像族的公共不动点的具误差的收缩投影算法,并运用该算法证明了其公共不动点的强收敛定理.%The purpose is to study the shrinking projection methods with errors for a family of Lipschitz quasi-pseudo-contractions.Then,we proved a strong convergence theorem for common fixed points by using the proposed projection algorithms in the framework of Hilbert spaces.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(037)002【总页数】7页(P35-41)【关键词】具误差的收缩投影算法;Lipschitz拟伪压缩映像族;公共不动点;强收敛定理【作者】何春丽;高兴慧【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O177.91在无限维Hilbert空间中,运用修正的正规Mann迭代算法,可使其对于伪压缩映像、严格伪压缩映像与非扩张映像的强收敛定理成立,参见文献[1-14].其中,文献[1]在上述空间中给出了几种修正的混杂投影算法,解决了严格拟伪压缩映像族与Lipschitz 拟伪压缩映像族的公共不动点的强收敛问题,此结论改进和推广了文献[2,3,6]的相关结果.文献[4]在Hilbert空间框架下,提出了2种映像族的收缩投影算法,即Lipschitz拟伪压缩映像族与严格拟伪压缩映像族,并给出了其公共不动点的强收敛定理的详细证明,受文献[4-5]的启示,在Hilbert空间中,提出了一种新的关于Lipschitz拟伪压缩映像族的公共不动点的具误差的收缩投影算法,其结果改进和推广了文献[4]的相关结论.设H为一实的Hilbert空间,其中‖·‖和〈·,·〉分别表示范数和内积,设C为H中的闭凸非空子集,N为非负整数集,R为实数集.设T:C→H是C到H上的映像,并且用F(T)表示T的不动点集,即F(T)={x∈C:Tx=x}.和分别表示强收敛和弱收敛.运用范数的基本性质得到下面结论,对于∀x,y,z∈H,有下列式子恒成立:定义2.1 若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,∀x,y∈C,则称映像T:C→H是非扩张映像.定义2.2 若〈Tx-Ty,x-y〉≤‖x-y‖2,∀x、y∈C,则称映像T:C→H是伪压缩映像. 定义2.3 若〈Tx-p,x-p〉≤‖x-p‖2,∀x∈C,∀p∈F(T),则称映像T:C→H是拟伪压缩映像.定义2.4 若存在一个常数κ∈[0,1),使得成立,则称映像T:C→H为严格伪压缩映像,也称T为κ-严格伪压缩映像.非扩张映像是一种特殊的严格伪压缩映像,若T为非扩张映像,当且仅当T为0-严格伪压缩映像.定义2.5 若存在一个常数L,使得‖Tx-Ty‖≤L‖x-y‖,∀x、y∈C,则称映像T:C→H为Lipschitz映像,也称T为L-Lipschitz压缩映像.严格伪压缩映像为Lipschitz伪压缩映像,反之不真[1].定义2.6 若F(T)≠∅且对于∀x∈C,y∈F(T),(3)式成立,则映像T:C→H被称为严格拟伪压缩映像,当κ=1时,称T是拟伪压缩映像;当κ=0时,称T是拟非扩张映像.称不动点集非空的伪压缩映像为拟伪压缩映像,其逆不真[4].定义2.7 设为C到H的映像族,并且∅,满足条件(Z)⟺若是中的有界序列,有‖Tnxn-xn‖→0(n→),使得ww(xn)⊂(详见文献[3],这里ww(xn)表示的弱极限集).例1[2] 设‖x‖≤1}.如果x=(a,b)∈X,令x⊥=(b,-a)∈X,定义则称T是Lipschitz伪压缩映像,但不是严格伪压缩映像.例2[2] 设X=R1,定义则T是拟伪压缩映像,但不是伪压缩映像.例3[3] 设H是Hilbert空间,C是的闭凸非空子集,是强非扩张映像族,使得∅.令Tn=S1S2…Sn,∀n∈N,则满足条件(Z).引理2.1[1] 设H为Hilbert空间,C为的闭凸非空子集,为C到H的Lipschitz拟伪压缩映像,其Lipschitz常数L≥1,则F(T)为的闭凸非空子集.引理2.2[4] 设H为Hilbert空间,C为H的闭凸非空子集,PC:H→C为H到C的度量投影,则下列不等式成立:引理2.3[4] 设H为Hilbert空间,有下列等式成立:(1)‖x±y‖2=‖x‖2±2〈x,y〉+‖y‖2,∀x、y∈H;(2)‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2,∀t∈[0,1],∀x、y∈H.引理2.4[4] 设H为Hilbert空间,C为H的闭凸非空子集,T:C→H为C到H的κ-严格拟伪压缩映像,则F(T)为C的闭凸非空子集.定理1 设H为Hilbert空间,C是H的闭凸非空子集,是C到H的Ln-Lipschitz拟伪压缩映像族,使得∅.假设,且满足下列条件：其中).设C1=C,n∈N,其中⊂⊂H,满足(n→),(n→),定义序列如下:若满足条件(Z),则强收敛于PFx.证明分6步完成证明.第1步证明对∀x∈H,PFx有意义.由引理2.1可知,对于∀n∈N,F(Tn)是C的闭凸非空子集,由该定理的条件可得F(Tn)是C的闭凸非空子集,则对于∀x∈H,PFx都有意义.第2步证明对∀n∈N,Cn是C的非空闭凸子集.显然易见，对于∀n∈N,Cn是C的闭凸子集.下面证明F⊂Cn,∀n∈N.事实上,F⊂C=C1.假设对某一个n∈N,有F⊂Cn,由式(1)以及Tn的Ln-Lipschitz连续性可知,对∀p∈F,有‖xn-Tnxn‖2 =〈xn-Tnxn,xn-Tnxn〉‖‖‖Tnxn-Tnyn‖‖‖Ln‖xn-yn‖)又因为Tn是拟伪压缩映像,所以≤‖p-yn‖‖‖-‖p-yn‖2≤‖p-yn‖‖Tnp-Tnyn‖-‖p-yn‖2≤‖p-yn‖2-‖p-yn‖2=0将(6)式代入(5)式可得由上式可得αn[1-(1+ Ln)αn]‖xn-Tnxn‖2于是{αnβn[1-(1+Ln)αn]+αnβn}‖xn-Tnxn‖2+αnβn〈xn-Tnxn,xn-Tnxn〉+αnβn‖xn-Tnxn‖2其中‖‖‖‖(‖p-xn‖+‖‖)(‖Tnp-Tnxn‖+‖‖)‖p-xn‖‖‖+‖p-xn‖‖Tnp-Tnxn‖+‖p-xn‖‖‖+‖Tnp-Tnxn‖‖‖‖p-xn‖‖‖+‖p-xn‖2+‖p-xn‖‖‖+‖p-xn‖‖‖=0将(8)式代入(7)式可得则p∈Cn+1,于是有F⊂Cn+1,因此,对于∀n∈N,F⊂Cn,{xn}都有意义.第3步证明‖xn-x‖存在.因为对于∀n∈N,xn=PCnx,Cn+1⊂Cn且xn+1∈Cn+1,所以另一方面,由第2步可得F⊂Cn,从而结合(9)式和(10)式可得‖xn-x‖存在.第4步证明‖xn+1-xn‖→0(n→).由引理2.2可得第5步证明‖xn-Tnx‖→0(n→).因为,所以αnβn[1-(1+L)αn]‖xn-Tnxn‖2 ≤αnβn[1-(1+Ln)αn]‖xn-Tnxn‖2≤‖‖‖‖≤(‖xn-xn+1‖+‖‖)(‖xn-zn‖+‖‖)=‖xn-xn+1‖‖xn-zn‖+‖xn-xn+1‖‖‖+‖‖‖xn-zn‖+‖‖‖‖由的假设与的有界性和(n→)可得‖xn-Tnx‖→0(n→).第6步证明xn→PFx(n→).由第3步的结论可以得到‖xn-x‖存在,则为C的有界序列,又因为满足条件(Z),所以可得的弱极限点属于F.设是的子序列,则v∈F,因为PFx∈F⊂Cn+1,所以对∀n∈N,有由第3步知收敛,利用‖·‖2的弱下半连续性和(11)式可得根据v∈F可得v=PFx,所以,且于是‖xn-PFx‖2 =‖xn-x+x-PFx‖2=‖xn-x‖2-‖x-PFx‖2+2〈xn-PFx,x-PFx〉→0证毕.注3.1 定理1在文献[3]的基础上添加了具误差序列,并证明了Lipschitz拟伪压缩映像族的具误差的公共不动点的强收敛,当≡0时,定理1算法同文献[3]中的定理1.【相关文献】[1] ZHOU HAIYUN.Strong convergence theorems for a family of Lipschitz quasi-pseudo-contractions in Hilbert spaces[J].Nonlinear Analysis,2009,71(1-2):120-125.[2] ZHOU HAIYUN.Convergence theorems of fixed points for Lipschitz pseudo-contraction in Hilbert spaces[J].J Math Anal Appl,2008,343(1):546-556.[3] MARINO G,XU H K.Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contraction in Hilbert spaces[J].J Math Anal Appl,2007,329(1):336-346.[4] 高兴慧,杨春萍.关于Lipschitz拟伪压缩映像族的强收敛定理[J].浙江大学学报,2016,43(1):71-74.[5] 高兴慧,马乐荣.不动点问题和零点问题的公共元的具误差的迭代算法[J].西南师范大学学报:自然科学版,2014,39(10):9-12.[6] ZHOU HAIYUN.Convergence theorems of fixed points for κ-strict pseudo-contractions in Hilbert spaces[J].Nonlinear Analysis,2008,69(2):456-462.[7] 王元恒,石惠敏.2个有限族广义依中心意义的渐近非扩张非自映像公共不动点定理[J].浙江大学学报:理学版,2014,41(3):282-287.[8] 高兴慧,马乐荣.Lipschitz拟伪压缩映像族的收缩投影算法[J].数学的实践与认识,2014,44(20):253-257.[9] 杨春萍,高兴慧.严格拟伪压缩映像族的复合迭代算法[J].数学的实践与认识,2015,45(16):316-320.[10]ZHOU HAIYUN,GAO XINGHUI.Iteration approximation of common fixed point for twoquasi-φ-nonexpansive mappings in Banach spaces[J].Math Commun,2012,17(1):49-62. [11]高兴慧,周海云,高改良.平衡问题和不动点问题的公共元的混杂算法[J].数学物理学报:A辑,2011,31(3):337-350.[12]GAO XINGHUI,ZHOU HAIYUN.Strong convergence theorems of common elements for equilibrium problems and fixed point problem in Banach spaces[J].Acta Mathematics Applicatae Sinica:English Series,2012,28(2):337-350.[13]GAO XINGHUI,ZHOU HAIYUN.Shrinking projection methods for a family of quasi-φ-strict asymptotically pseudo-contraction in Banach space[J].Journal of Mathematical Research and Exposition,2011,31(5):905-914.[14]AOYAMA K,KOHSAKA F,TAKAHASHI W.Shrinking projection methods for firmly nonexpansive mappings[J].Nonlinear Analysis,2009,71(12):e1626-e1632.。

Lipschitz严格伪压缩映象的具误差的迭代逼近
金茂明
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2004(021)006
【摘要】设K是任意实Banach空间E的非空闭凸子集,T:K→K是Lipschitz严格伪压缩映象.本文给出一个新的具误差的Ishikawa迭代程序强收敛到T的唯一不动点,并给出一个涉及Lipschitz强增生映象T的非线性方程Tx=f的解的迭代逼近.本文结果通过去掉空间E的一致光滑或p-一致光滑的严格要求、K的有界性、lim n→∞αn=lim n→∞βn=0和∑αsn＜∞(s＞1)的限制而得到.
【总页数】4页(P1025-1028)
【作者】金茂明
【作者单位】涪陵师范学院数学系,重庆涪陵,408003
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代逼近 [J], 王黎明;崔艳兰
2.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
3.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的迭代逼近 [J], 曾六川; 杨亚立
4.Lipschitz局部严格伪压缩映象的迭代逼近 [J], 邓磊;丁协平
5.Banach空间中严格伪压缩映象的带混合误差的Ishikawa迭代逼近 [J], 曾六川因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Hilbert空间中拟压缩映射的不动点迭代
骆舒心;江卫华
【期刊名称】《河北轻化工学院学报》
【年(卷),期】1997(018)004
【摘要】在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中讨论Ｈｉｃｋｓ和Ｋｕｂｉｃｅｋ提出了的一个问题，对于Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ拟压缩映射证明了不动点的迭代收敛性。

【总页数】2页(P18-19)
【作者】骆舒心;江卫华
【作者单位】河北科技大学（中校区）基础课部;河北科技大学（中校区）基础课部
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.Hilbert空间中有限多个拟非扩张映像的公共不动点集上的一类变分不等式的迭代算法 [J], 何江彦;刘立红;冯光辉
2.Hilbert空间中拟非扩张映像族公共不动点的迭代算法 [J], 何斌;陈东青;周宇
3.完备凸度量空间中拟压缩映射对的公共不动点迭代法 [J], 刘才贵
4.Hilbert空间中k-严格拟伪压缩映像有限族公共不动点的迭代算法 [J], 何斌;陈东青
5.Hilbert空间中闭的拟非扩张映像不动点的另一迭代算法 [J], 张东凯;周海云因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

λ严格伪压缩映象的强收敛问题
自从Browder等人在1967年引入严格伪压缩映象以来，构造不同的迭代方法逼近严格伪压缩映象的不动点变得越来越广泛。

这以后，人们在Hilbert空间和Banach空间等空间中讨论了用不同的迭代序列如修改的Mann迭代，修改的Ishikawa迭代，隐式迭代和投影迭代等逼近严格伪压缩映象的不动点，取得了
相当丰富的成果。

本文继续对伪压缩映象中的λ严格伪压缩映象进行研究，在对参数有一定限制条件下，讨论在Hilbert空间和Banach空间中的所构造的序列的强收敛问题。

第一章介绍课题研究的目的和意义、国内外的研究现状以及本文主要的研究内容。

第二章主要研究了在Banach空间中，在参数满足一定限制条件下，Mann迭代逼近于有限个λ半压缩映象族的公共不动点问题。

第三章，在Hilbert空间中构造了一个CQ迭代序列，并且在减弱了一些限制条件的情况下，证明了所定义的序列x n强收敛于P_F（T） x0。

第四章，首先在Banach空间中定义了含误差的隐式迭代序列，并证明了此迭代序列逼近于一族严格伪压缩映象的公共不动点问题。

本文的创新之处主要体现在第二章、第三章、第四章。

Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近
刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2006(30)1
【摘要】在一般Banach空间中,利用多值映像一致连续的性质,研究了多值Φ强伪压缩映像不动点的具误差的Ishikawa及Mann迭代逼近问题,得出了Ishikawa,Mann迭代序列强收敛的一个充分条件.由于单值映像是多值映像的特殊情况,故该结果改进和推广了近期相关结果.
【总页数】4页(P10-12)
【关键词】多值Ф-强伪压缩映像;具谩差的Ishikawa迭代序列;具谩差的Mann迭代序列
【作者】刘丽莉;师涌江;刘桂霞
【作者单位】河北建筑工程学院数学物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;惠存阳;赵凤群
2.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩映象不动点的带随机混合型误差的迭代逼近 [J], 张树义
3.多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯
4.多值Ф-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 李德瑾;赵凤群
5.多值Φ-强伪压缩映像不动点的集合序列的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;赵凤群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近冉凯【摘要】在一致光滑的实Banach空间中,研究多值φ-强伪压缩映像不动点的Ishikawa迭代逼近问题.给出了具误差的Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强伪压缩映像不动点的强收敛定理,并得到了具误差的Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强增生映像方程解的强收敛定理,改进了近期一些文献的相关结论.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(014)002【总页数】4页(P42-45)【关键词】φ-强伪压缩映像;φ-强增生映像;不动点;迭代序列【作者】冉凯【作者单位】西安文理学院数学系,陕西西安710065【正文语种】中文【中图分类】O1777.911 预备知识本文始终设 E是一实Banach空间,其范数为‖·‖,E＊是 E的对偶空间,F(T)表示映像T的所有不动点之集.〈·,·〉是 E与 E＊之间的广义对偶对,J:E→2E＊是由下式定义的正规对偶映像:J(x)={f∈E＊∶〈x,f〉=‖x‖·‖f‖,‖x‖=‖f‖},∀x∈E.若 E是一致光滑的,则 J是单值的,且在的任一有界子集上一致连续,用 j表示单值对偶映像.设D是 E的非空子集,T∶D→2D是一多值映像,称 T是多值φ-强增生的,如果存在严格增函数φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,使∀x,y∈D及∀ξ∈Tx,∀η∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≥φ(‖X-y‖),称 T是多值φ-强伪压缩的;如果 I-T是多值φ-强增生的,其中 I是恒等映象.等价于存在严格增函数φ∶[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,使∀x,y∈D及∀ξ∈Tx,∀η∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-φ(‖x-y‖).近几年,许多学者对φ-强伪压缩映像不动点和φ-强增生算子方程解的 Ishikawa迭代逼近问题进行了广泛研究,如文献[1]-[8].受张石生教授文[1]启发,本文在一致光滑的实 Banach空间中研究具随机误差的 Ishikawa迭代序列逼近多值φ-强伪压缩映像不动点和多值Φ -强增生映像方程解的问题,不要求算子的一致连续性,不要求E的非空凸子集D有界,论证方法也有所改进.下列引理在本文主要结果的证明中起到关键作用.引理 1[2] 设 E是一实 Banach空间,则有‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉,∀x,y∈E,j(x+q)∈J(x+q).其中J∶E→2E＊是正规对偶映像.引理 2 设 E是一实Banach空间,T∶D→2D是一多值φ-强增生映像,∀f∈D,定义映像S∶D→2D为 Sx=f-Tx+x,∀x∈D,则S∶D→2D是多值强φ-伪压缩的,即∀x,y∈D及∀ξ∈Sx,∀η∈Sy,存在 j(x-y)∈J(x-y),满足〈ξ-η,j(x-y)〉≤‖x-y‖2-φ(‖x-y‖).证明∀ξ∈Sx,η∈Sy,∃ξ1∈Tx,η1∈Ty,使得ξ=f-ξ1+x,η=f-η1+x,因为 T是多值φ-强增生的,故对ξ1∈Tx,η1∈Ty,存在 j(x-y)∈J(x-y),使得〈ξ1-η1,j(xy)〉≥η(‖x-y‖).因而即S∶D→2D是多值φ-强伪压缩的.同理,若T∶D→2D是一多值φ-强伪压缩的,则如上定义的S∶D→2D是多值φ-强增生映像.2 主要结果定理 1 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强伪压缩映像,且值域 R(T)有界.{αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D 中的两个有界序列,满足条件:(1)定义如下的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}:证明设q∈F(T),则 F(T)={q}.若p∈F(T),有p∈Tp,故∃j(x-y)∈J(x-y),满足‖p-q‖2=〈p-q,j(p-q)〉≤‖p-q‖2-φ(‖p-q‖),即φ(‖p-q‖)≤0.由Φ的性质得 p=q,故 F(T)={q}.设 {xn},{yn}由 (IS)定义的迭代序列,则∃ξn∈Txn,ηn∈T yn,使得利用(1)式及引理 1,已知‖un‖=o(αn),设‖un‖=αnεn(∀n≥0),则εn→0(n→∞),不访设0≤εn≤1.T的值域 R(T)有界,令M1=sup{‖ξ-q‖∶ξ∈R(T)}+‖x0-q‖+1.下证:当 n=0时,(3)式显然成立.假设对某自然数 n,(3)式成立.对自然数 n+1,则又故在 D中有界.令因E是一致光滑的,则‖j(xn+1-q)-j(yn-q)‖→0(n→∞).令 en=〈ηn-q,j(xn+1-q)-j(yn-q)〉,有en→0(n→∞),则 (2)变成将(5)代入(4)得其中可以断言即∀n≥0,‖yn-q‖≥δ≥0,有φ(‖yn-q‖)≥φ(δ)>0.由于故存在N0∈N+,当 n>N0时,λn<φ(δ).由 (6)式,对一切 n>N0,有‖xn+1-q‖2≤‖xn-q‖2-αnφ(δ),所以φ矛盾.则存在的子列使‖由于得‖xn-q‖→0(i→∞).即∀ε>0,∃i0∈N+,∀i≥i0,使得‖xni-q‖<ε.因=0,故存在及下证:对所有的k∈N+,∀i≥i0,使ni≥N1,有当 k=1时,若‖xni+1-q‖≥ε,则∀ni≥N1,因此利用 (6)式及φ的定义,ε2矛盾.假设‖xni+k-q‖<ε,下证‖xni+k+1-q‖<ε.若‖xni+k+1-q‖≥ε,ε2矛盾.由 (8)式及ε的任意性,lim n→∞‖xn-q‖=0.定理 2 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强增生映像, {αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D中的两个有界序列,满足条件定义映像S∶D→2D为,Sx=f-Tx+ x,x∈D.设 R(S)有界.若 F(S)非空.则对任给的x0∈D,由定义的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于方程f∈Tx的唯一解.证明设q∈F(S).即q∈S(q)-f-Tq+q.故f∈Tq,即 q是方程f∈Tx的解.因 T是多值φ-强增生映像,由引理 2,如上定义的 S是多值φ-强伪压缩映像.S的值域有界,由定理 1,{xn}强收敛于 S在D中的唯一不动点 q,得{xn}强收敛方程f∈Tx的唯一解. 定理 3 设 E是一致光滑的实Banach空间,D是 E的非空凸子集,T∶D→2D是φ-强增生映像, {αn},{βn}是[0,1]中的两个实数列,{un}与{vn}是 D中的两个有界序列,满足条件定义映像S∶D→2D为,Sx=f-Tx,x∈D,设 R(S)有界.若 F(S)非空,则对任给的x0∈D,由定义的具误差的 Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于方程f∈Tx+x的唯一解.证明令T′=I+T,方程f∈Tx+x变成f∈T′x,由定理 2.即可得证.注定理 1在以下两个方面对文[1]的主要结论做了推广:1不要求是 E的有界子集,2不要求映像 T是一致连续的.[参考文献][1] ZAHNG S S.Ishikawa iterative approximations of fixed points and solutions formulti-valuedφ-strongly accretive and multi-valuedφ-strongly pseudo-contractive mappings[J].数学研究与评论,2002,22(3):447-453. [2] CHANG S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysis[J].NonlinearAnal.T MA,1997,30(7):4197 -4208.[3] ZHOU H Y.Some convergence theorems for Ishikawa iterationsequences of certain nonlinear operators in uniformly s mooth Banach spaces[J].Acta Appl.Math.,1989,32:183-196.[4] CHANG S S.On Chidumes open question and approximate salution of multived strongly accretive mapping equations in Banachspaces[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,216:94-111.[5] DEND L,D INGX P.Iterative approximationsofLipschitz strictlypseudocontractivemappings in uniformly smoothBanach spaces[J].NonlinearAnal.T MA,1995,24:981-987.[6] NADLER SB.Jr.Multivalued contraction mapping[J].PacificJ.Math.,1969,30:475-488.。

云南师范大学学报（自然科学版）　２０１６年１１月３６卷６期（Ｖｏ１．３６　Ｎｏ．６）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙｕｎｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

ＤＯＩ：１０．７６９９／ｊ．ｙｎｎｕ．ｎｓ－２０１６—０７６　

关于拟严格渐近伪压缩映射的杂交投影算法　高兴慧，　魏姣姣，　乔田田，　呼超，　贺文渊，　冯慧慧　（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安７１６０００）　

摘要：在自反的具有　Ｋ性质的严格凸的光滑Ｂａｎａｃｈ空间中，构造了一种新的关于拟严格渐　近伪压缩映射之不动点的杂交投影算法，在去掉集合Ｃ有界性的条件下，证明了不动点的强收敛定理　成立．　关键词：　杂交投影算法；拟严格渐近伪压缩映射；Ｋ—Ｋ性质　中图分类号：Ｏ１７７．９１　文献标志码：Ａ　文章编号：　

关于非线性映射之不动点的杂交投影迭代算法，许多学者进行了研究　．最近，作者在假设集合Ｃ　有界的条件下设计了一种拟严格渐近伪压缩映射的收缩投影算法，并证明了该算法的强收敛性　．本文　在文献［６］的基础上，去掉了集合Ｃ有界性的条件后，构造了一种新的杂交算法，用于逼近拟严格渐近　伪压缩映射的不动点，所得结论改进并推广了文献［１—３，６－１的相关结论．　

１　预备知识　设Ｘ为实的Ｂａｎａｃｈ空间，Ｘ　是Ｘ的对偶空间，Ｃ是Ｘ的闭凸非空子集．一和　分别表示强、弱　收敛，Ｆ（Ｔ）表示映像Ｔ的不动点集，　表示正整数集，设　为Ｘ到２∥的正规对偶映射，定义如下　Ｊ（　）一｛Ｊ∈Ｘ　：＜ｚ，歹＞一ｌＩ　ｚ　Ｉｌ。一ｌｌ歹ｌｌ。），Ｖ　∈Ｘ　这里＜・，・）代表Ｘ与ｘ　间的广义对偶对．如果Ｘ为自反光滑的，则，：ｘ—Ｘ　为次连续映射且单值．　文献［３－１中介绍了Ｂａｎａｃｈ空间中广义投影映射Ⅱｃ，Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函　（ｚ，　）一ｌｌ　ｚ　ＩＩ　一２＜ｘ，Ｊｙ＞＋ｌｌ　Ｙ　ＩＩ　，Ｖ　Ｘ，　∈Ｘ　广义投影映射ＩＩｃ：ｘ—ｃ将任意ｚ∈Ｘ映到泛函　（ｚ，　）的极小点，即ＩＩｃｘ—　，这里　为极小值问题　ｆ（ｘ，ｚ）：ｍｉ　（　，　）的唯一解．由　的定义易得　（；Ｉ　Ｙ　Ｉ｝～ｌＩ　ｌＩ）。≤ｅ（ｙ，　）≤（ＩＩ　Ｙ＿Ｉ＋＿Ｉ　ｚ＿Ｉ）　，Ｖ　，Ｙ∈Ｘ　（１）　（ｚ，　）一　（ｚ，　）＋　（　，．ｙ）＋２＜ｘ—　，Ｊｚ—Ｊｙ＞，Ｖ　ｚ，Ｙ，名∈Ｘ　（２）　若Ｘ为自反严格凸光滑Ｂａｎａｃｈ空间，则对任意ｚ，Ｙ∈Ｘ，　（　，　）一０当且仅当Ｘ—　．　定义１［。］　设Ｃ为ｘ的闭凸子集，丁为ｃ到自身的映射，若Ｆ（丁）≠　，且存在常数　∈Ｅｏ，１），使得对　于任意ｚ∈Ｃ，Ｐ∈Ｆ（Ｔ），有９（Ｐ，　）≤９（Ｐ，ｚ）＋　（ｚ，Ｔｘ），则称Ｔ是拟　一严格伪压缩映射．　定义２ｃ　］　设Ｃ为Ｘ的闭凸子集，Ｔ为Ｃ到自身的映射，若Ｆ（Ｔ）≠　，且存在常数　∈Ｅｏ，１）和实数序　

一般非扩张映像不动点的迭代算法及应用该文首先在具有一致G（a|^）teaux可微范数的Banach空间E中，对E的非空闭凸子集C上的一族非扩张自映像{T_n}，使用迭代方法证明了迭代序列{x_n}强收敛到非扩张映像族{T_n}的公共不动点Qx，其中Q是从E到F（T）的太阳非扩张压缩．该结果推广与改进了文献Koji Aoyamaa和Yasunori Kimurab等人的结果．然后在Hilbert空间H中，把拟非扩张自映像和单调混杂算法相结合，构造了新的迭代序列{x_n}，运用这种单调混杂算法的技巧，证明了迭代序列{x_n}强收敛到点P_F（T）x₀，其中P_F（T）是从C到F（T）的度量投影．更进一步，我们在单调混杂算法的框架下，在一致光滑的Banach 空间中又引入了相对非扩张映像，我们得出了迭代序列{x_n}的强收敛结果．该结果推广与改进了S．Matsushita和W．Takahashi，Nakajo，Takahashi，Kim，Martinez-Yanes等人的相应结论．最后，通过用粘滞逼近方法来找到一类平衡问题解集和Hilbert空间中非扩张映像的不动点集的公共元．首先我们证明了一类平衡问题解集和Hilbert空间中非扩张映像的不动点集的公共元的存在性，然后引入了一种广义的粘滞逼近方法来逼近这两个解集的公共元，最后再利用得到的结果考虑了一种优化问题，得出了问题解的最佳逼近元．这些结果推广与改进了Combettes和Hirstoaga，Moudafi，Tada和Takahashi以及一些其他人的相应结果．。

Hilbert空间中严格伪非延伸和非扩张映射及平衡问题的弱收敛定理刘信东【摘要】在Hilbert空间框架下,引入了一个新的迭代序列,证明了该迭代序列弱收敛于严格伪非延伸和非扩张及平衡问题的一个公共元.推广和改进了Osilike、Iemoto和其他人的一些结果.【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2013(013)006【总页数】3页(P16-18)【关键词】非扩张映射;伪非延伸映射;平衡问题;公共不动点【作者】刘信东【作者单位】宜宾学院数学学院,四川宜宾644007【正文语种】中文【中图分类】O177.91本文处处假设H是一实的Hilbert空间，C是H的一非空闭凸子集.一个映射T:C→C称为非扩张的，如果对任意的x，y∈C有称T是一k-严格非延伸的，如果存在一个实数k⊂［0，1)，使得对任意的x，y∈C下式成立:最近，作为对非延伸映射的推广，Osilike和Isiogugu［1］介绍了k-严格非延伸映射，并得到了它的弱和强收敛定理.本文的目的是考虑以下迭代序列:其中Tkx=kx+(1－k)Tx，T是一个k-严格非延伸映射，S为非扩张映射，αn+βn+γn=1.证明了在适当的条件下，该迭代算法生成的序列{xn}和{un}弱收敛到非延伸映射T和非扩张映射S以及平衡问题的一个公共不动点.它改进和推广了Osilike［1］、Iemoto［2］和其他人的一些结果.1 预备知识及引理引理1［3］设H是一实的 Hilbert空间.则对任意的 x，y，z∈H 及任意的α，β，γ∈［0，1］满足α +β+γ =1，有以下等式成立:对于解平衡问题，假设双边函数φ:C×C→R满足下列条件:(A1)φ(x，x)=0，∀x∈C;(A2)φ 是单调的，即φ(x，y)+ φ(y，x)≤0，∀x，y∈C;(A3)φ是上拟弱连续的，即:(A4)对∀x∈C，φ(x，·)是凸下半连续的.引理2［4］假设φ:C ×C→R 满足(A1)－(A4)，对r＞0和x∈H，定义一个映射则下列结论成立:(i)Tr是单值的;(ii)Tr是强非扩张的，即对任意∀x，y∈H，有‖Trx－Try‖2≤〈Trx－Try，x－y〉;(iii)F(Tr)=Ep(φ);(iv)Ep(φ)是闭凸集.引理3［1］设T:C→C是一个k-严格非延伸映射，则I－T在0点半闭.2 主要结果引理4 设C一实的Hilbert空间H中一非空有界的闭凸子集，T:C→C是一个k-严格非延伸映射，定义Tkx=kx+(1 －k)Tx，∀x∈C.则 Tk满足下列条件:证明:(i)是显然的.(ii)如下式:定理5 设C一实的Hilbert空间H中一非空有界的闭凸子集，T:C→C是一个k-严格非延伸映射，S:C→C是一非扩张映射，φ:C×C→R是一双边函数满足(A1)－(A4).假设公共不动点集F=F(T)∩F(S)∩Ep(φ)≠φ.设{xn}和{un}是由迭代(1)生成的序列.如果{αn}、{βn}、{γn}和{rn}满足下列条件:则序列{xn}和{un}弱收敛到F的一个元.证明:分四个步骤证明.步骤1，证明对任意存在.事实上，从引理2中Tr的定义可知un=Trnxn，于是由引理1，有于是因此存在.步骤2，称及成立.从(2)式可知由定理5条件(i)可知两端取极限有同理可得另一方面，由于u=Trnxn，有因此利用(2)，有于是故又步骤3，验证{xn}的弱聚点集ωω(xn)⊂F.由{xn}是有界性及H的自反性可知，ωω(xn)非空.任取w∈ωω(xn)，则存在{xn}的一个子列{xni}弱收敛于w.利用(3)，有{uni}也弱收敛于w.由于 un=Trnxn，从(A2)有因此既然并且{uni}也弱收敛于w，从(A4)有对t∈(0，1］，设 yt=ty+(1 －tw)，则于是φ(yt，y).从(A3)，有0≤φ(y，w)，∀y∈C.因此有w∈Ep(φ).另一方面，由T，S的半闭性可知w∈F(T)∩F(S).由w的任意性可知ωω(xn)⊂F.步骤4，证明{xn}和{un}弱收敛到F的一个元.事实上只需验证ωω(xn)是单点集.取 w1，w2∈ωω(xn)，则存在{xn}的子列{xni}弱收敛于w1，{xnj}弱收敛于w2.由于与存在.假设w1≠w2，则有这便推出矛盾.于是w1=w2，即ωω(xn)是单点集.定理5的结论证毕.参考文献:［1］Osilike M O，Isiogugu F O.Weak and strong convergence theorems for nonspreading － type mappings in Hilbert spaces［J］.Nonlinear Analysis，2011，74:1814 －1822.［2］Iemoto S，Takahashi W.Approximating common fixed points of nonexpansive mappings and nonspreading mappings in a Hilbert space ［J］.Nonlinear Analysis，2009，71:2082 －2089.［3］Osilike M O，Igbokwe D I.Weak and strong convergence theoremsfor fixed points of pseudocontractions and solutions of monotone type operator equations［J］.Comput Math Appl，2000，40:559 － 567. ［4］Combettes P L，Hirstoaga S A.Equilibrium programming in Hilbert spaces［J］.J Nonlinear Convex Anal，2005，6:117 －136.。