34函数及其图像初步(一)

例2 用“五点法”作下列函数的图象： (1)y＝1－2sin x，x∈[0,2π]；
列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－2sin x 1 －1 1 3 1
描点连线，画图如图.
“五点(画图)法”
平移作余弦函数的
3
图象
知识梳理
平移正弦曲线法和“五点(画图)法”作余弦函数图象 1．平移正弦曲线法
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点，并用光滑的曲线连接，如图．
法二：可先用“五点(画图)法”画 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象(如图中的 虚线图)，再将其向下平移 1 个单位长度，可得函数 y＝sin x－1，x∈[0， 2π]的图象．
x
一个α对应唯一的x、y值，因此他们是函数！！！
y sin x
y cosx y tan x
问题2 结合所学，研究函数的一般步骤是什么？
函数的定义域
要直观、全面了解正、 余弦函数的基本特性， 我们应从这些方面入手
作函数图象 函数的性质
值域 最值 单调性 对称性 奇偶性
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式
●
●
x
11
63 2 3 6
●
●
6
5 -1
3
●
●
●
我们知道描点法，秒的点越多，图像的精确到越高， 因此，我们利用信息技术，可使x0在区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够 多的点T(x0, sin x0)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函 数y =sin x，x∈[0,2π]的图象.

幂函数1 定义一般地，形如y =x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．2 常见幂函数图像3 性质① 所有的幂函数在(0 ,+∞ )都有定义，并且图象都过点(1 ,1)；② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 ,+∞ )上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸；③ α<0时，幂函数的图象在(0 ,+∞ )上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【典题1】已知幂函数f(x)过点(2 ,√22)则 ( ) A ．f(x)=x −12，且在(0 ,+∞)上单调递减 B ．f(x)=x −12，且在(0 ,+∞)单调递增C ．f(x)=x 12且在(0 ,+∞)上单调递减D ．f(x)=x 12，且在(0 ,+∞)上单调递增 【解析】∵幂函数f(x)=x a 过点(2 ,√22)， ∴f(2)=2a =√22，解得a =−12， ∴f(x)=x −12，在(0 ,+∞)上单调递减．故选：A．【点拨】利用待定系数法求解函数解析式.【典题2】下列命题中：①幂函数的图象都经过点(1 ,1)和点(0 ,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=x n的图象是一条直线；④当n>0时，幂函数y=x n是增函数；⑤当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．其中正确的是()A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤【解析】①幂函数的图象都经过点(1 ,1)，但不一定经过点(0 ,0)，比如y=1x，故错误；②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；③当n=0时，幂函数y=x n的图象是一条直线去除(0 ,1)点，故错误；④当n>0时，如y=x2，幂函数y=x n在(0 ,+∞)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；⑤当n<0时，幂函数y=x n在(0 ,+∞)上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小，故正确．故选：D．【典题3】如图所示是函数y=x mn(m、n∈N∗且互质)的图象，则()A．m、n是奇数且mn <1B．m是偶数，n是奇数，且mn>1C．m是偶数，n是奇数，且mn <1 D．m、n是偶数，且mn>1【解析】∵函数y=x mn的图象的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故mn<1，故选：C.巩固练习1(★)已知幂函数f(x)的图象经过点(2 ,√22)，则f(4)的值为．【答案】12【解析】∵幂函数f(x)=x a过点(2，√22 )，∴f(2)=2a=√22，解得a=−12，∴f(x)=x−12，∴f(4)=12.2(★)已知α∈{−2 ,−1 ,−12 ,12,1 ,2 ,3}，若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0 ,+∞)上递减，则α=．【答案】−1【解析】∵α∈{−2，−1，−12，12，1，2，3}，幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0，+∞)上递减，∴a是奇数，且a<0，∴a=−1．3(★)图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n取±2 ,±12四个值，则相应于曲线C1，C2 ,C3 ,C4的n依次为()A．−2 ,−12 ,12,2B．2 ,12,−2 ,−12C．−12,−2 ,2 ,12D．2 ,12,−12,−2【答案】D【解析】根据指数函数的单调性，x>1时，x2>x 12>x−12>x−2，∴相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为2，12，−12，−2．故选：D ．4(★★) 已知幂函数y =x p q ，(p ,q ∈Z)的图象如图所示，则( )A ．p ,q 均为奇数，且p q >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q <0【答案】 D【解析】因为函数为偶函数，所以p 为偶数，且由图象形状判定p q <0．又因p 、q 互质，所以q 为奇数．所以选D ．5(★★) 已知幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)的图象关于原点对称，且在(0 ,+∞)上是减函数，则m =( )A ．0B ．0或2C ．0D ．2【答案】B【解析】幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)在(0，+∞)上是减函数， 则m 2﹣2m ﹣3<0，解得﹣1<m <3；又m ∈Z ，∴m =0，1，2；当m =0时，f(x)=x ﹣3，图象关于原点对称；当m =1时，f(x)=x ﹣4，其图象不关于原点对称；当m =2时，f(x)=x ﹣3，其图象关于原点对称；综上，m 的值是0或2．故选：B ．。

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质( 1)学习目标：1 •在初中描点法作图的基础上，理解借助“数形结合”思想，用正弦线画正弦函数图像、用余弦线画余弦函数图像，并初步掌握正弦曲线、余弦曲线；2 •学会用“五点作图法”画一个周期的正弦函数、余弦函数的简图；3•学会利用平移正弦曲线作余弦曲线、平移余弦曲线作正弦曲线；并扩展为利用图像变换作图的方法，发现函数图像之间的关系；4•学会善于查找、观察数学知识之间的内在联系。

学习重点：正弦函数、余弦函数图像的作法；学习难点：正弦函数、余弦函数图像间的关系，图像变换.学习过程：一、复习并预备知识、设置情境：1 •弧度制：通过弧度制将角度转换成实数，正角对应正实数，零角对应零，负角对应负实数, 从而使三角函数满足函数的定义中“两个数集之间的对应”的要求。

2 •正弦函数和余弦函数：y sin x, x R y cosx, x R都是以弧度制下的角(实数)为自变量、以比值(实数)为函数值的函数。

3 •三角函数线之正弦线和余弦线：4 •诱导公式：sin( 2k ) sin (k Z) sin( ) cos25. 图像的平移变换：对横坐标x :左加右减；对纵坐标y :下加上减。

6. 图像的对称：(x, y)与(x, y)关于y轴对称；(x, y)与(x,y)关于x轴对称；(x, y)与(x, y)关于原点对称；(y,x)与(x, y)关于直线y x对称。

二、新课：1.自主探究：问题①:在平面直角坐标系中如何作点(,sin )?3 3问题②:在平面直角坐标系中如何作y si nx,x[0,2 ] ?问题③:在平面直角坐标系中如何作y si nx,x R ?问题④：在平面直角坐标系中如何作y cosx, x R ?问题⑤：观察y sinx,x [0,2 ]的图像，找出关键点，和周围同学对比一下; 问题⑥：观察y cosx,x [0,2 ]的图像，找出关键点，和周围同学对比一下;问题⑦：你知道什么是“五点作图法” 了吗？在下方空白处用五点作图法作出y sin x,x [0,2 ]和y sin x,x [0,2 ]的图像。

3.4 函数的应用（一）[A 基础达标]1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元/件)之间的关系满足一次函数：m ＝162－3x .若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )A ．40元/件B ．42元/件C ．54元/件D ．60元/件解析：选B.设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432，所以当x ＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．2．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.32cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：选D.设一段长为x cm ，则另一段长为(12－x )cm ，两个正三角形的面积之和为S cm 2.分析知0＜x ＜12.则S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 32＝318(x －6)2＋23，当x ＝6时，S min ＝2 3.3．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m 元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m 元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为( )A ．13 立方米B ．14 立方米C ．18 立方米D ．26 立方米解析：选A.由已知得，该户每月缴费y 元与实际用水量x 立方米满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，得x >10，所以2mx －10m ＝16m . 解得x ＝13.故选A.4．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )A ．215份B ．350份C ．400份D ．520份解析：选C.设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份报纸时，每月所获利润为y 元，具体情况如下表．y ＝[(60x ＋＝8x ＋5 500(250≤x ≤400，x ∈N )．因为y ＝8x ＋5 500在[250，400]上是增函数， 所以当x ＝400时，y 取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元．故选C. 5.某工厂8年来的产品年产量y 与时间t (单位：年)的函数关系如图所示，则下面四个结论，正确的是________(填序号)．①前3年的年产量增长速度越来越快； ②前3年的年产量增长速度越来越慢； ③3年后，这种产品停止生产； ④3年后，这种产品年产量保持不变．解析：由图象可知，前3年中，年产量的增长速度越来越快．后5年的年产量是不变的，所以①④正确．答案：①④6．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表．m 这样确定，即m 与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m 的值为________．解析：设y ＝(m －19.55)2＋(m －20.05)2＋(m －20.45)2＋(m －19.95)2＝4m 2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m ＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m ＝19.55＋20.05＋20.45＋19.954＝20时，y 取最小值．答案：207.如图，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A .若点P 经过的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则y 关于x 的函数关系式是________．解析：①当0≤x ≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x .②当1<x ≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2， 所以y ＝AP ＝1＋（x －1）2＝x 2－2x ＋2.③当2<x ≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x ， 根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2， 所以y ＝AP ＝1＋（3－x ）2＝x 2－6x ＋10.④当3<x ≤4时，有y ＝AP ＝4－x .所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤48．某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝kx －0.4(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4＝15x －2，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75)．(2)根据题意，得(1＋15x －2)(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) ，整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.9．已知A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t.(1)求x 的取值范围；(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？ 解：(1)x 的取值范围为[10，90]．(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]， 即y ＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90)．(3)y ＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003(10≤x ≤90)，则当x ＝1003时，y 最小．即当垃圾处理厂建在距离A 城市1003km 处时，才能使每天的垃圾处理费用最少．[B 能力提升]10．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为______万元．解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2018年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案：1 30011．某市居民生活用水收费标准如下：已知某用户1 6 t ，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y 元．(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t ，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水． 解：(1)由题设可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤2，2m ＋3（x －2），2<x ≤4，2m ＋6＋n （x －4），x >4.当x ＝8时，y ＝33；当x ＝6时，y ＝21，代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＋4n ＝33，2m ＋6＋2n ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1.5，n ＝6. 所以y 关于x 的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ，0≤x ≤2，3x －3，2＜x ≤4，6x －15，x ＞4.(2)当x ＝3.5时，y ＝3×3.5－3＝7.5. 故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元． (3)令6x －15≤24，解得x ≤6.5. 故该用户最多可以用6.5 t 水.12．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？ 解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0<t ≤2002t －300，200<t ≤300.由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100，0<t ≤300. (2)设上市时间为t 时的纯收益为h (t )， 则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0<t ≤200－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0<t ≤200时，整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100，当t ＝50时，h (t )取得最大值100； 当200<t ≤300时，整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 当t ＝300时，h (t )取得最大值87.5.综上，当t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大．[C 拓展探究]13．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m (mg)的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (mg ·L－1)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋2，0<x ≤4x ＋142x －2，x >4.当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1且不高于10 mg ·L－1时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为4 mg ，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8，0<x ≤42x ＋28x －1，x ＞4.当0<x ≤4时，x 24＋8≥4显然成立；当x >4时，由2x ＋28x －1≥4，得2x ＋28≥4(x －1)，得4<x ≤16 .综上，0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由题意，知0<x ≤7，y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m ，0<x ≤4mx ＋14m 2x －2，x >4，当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0，4]上单调递增，则2m <y ≤3m ； 当x >4时，y ＝mx ＋14m 2x －2＝m 2＋15m 2x －2，其在区间(4，7]上单调递减，则7m4≤y <3m .综上，7m4≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要满足7m4≥4且3m ≤10，即167≤m ≤103， 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.。