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1集合

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§1集合 知识讲解 集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1． 集合的概念 集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征： （1） 确定性 设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与aA仅有一种情况成立。 （2） 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素。 （3） 无序性 2． 集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：RQZN,,,应熟记。 3． 实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4． 子集、真子集及相等集 （1）ABAB或A＝B； （2）ABAB且A≠B； （3）A＝BAB且AB。 5． 一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。 6． 集合的交、并、补运算 AB={Axx|且Bx}；AB={Axx|或Bx}

IxxA|{且Ax}

要掌握有关集合的几个运算律： （1）交换律 AB＝BA，AB＝BA； （2）结合律 A（BC）＝（AB）C， A（BC）＝(AB)C；

（3）分配律 A（BC）＝（AB）（AC） A（BC）＝ (AB) （AC）

（4）0—1律 A＝A，AI＝A，AI＝I，A＝ （5）等幂律 AA＝A，AA＝A （6）吸收律 A(AB)＝A，A（AB）＝A （7）求补律 ACIA＝I，ACIA＝

（8）反演律 BABABABA, 7． 有限集合所含元素个数的几个简单性质 设)(Xn表示集合X所含元素的个数, （1）)()()()(BAnBnAnBAn,当)(BAn时，)()()(BnAnBAn （2）)()()()(CnBnAnCBAn－)()()()(CBAnCBnCAnBAn 例题讲解

元素与集合的关系 1． 设A＝{a|a＝22yx,Zyx,}，求证：（1）12k∈A(Zk)； （2）)( 24ZkAk 分析：如果集合A＝{a|a具有性质p}，那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。 解：（1）∵k,1k∈Z且12k＝22)1(kk,故12k∈A； （2）假设)( 24ZkAk，则存在Zyx,，使24k＝22yx 即)12(2))((kyxyx (*) 由于yx与yx具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，)( 24ZkAk。 2． 以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1P；④若x，y∈P,则x＋y∈P试判断实数0和2与集合P的关系。

解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则)( NkPkx （1） 由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝|y|x (|y|∈N) 故xy,－yx∈P,由④,0＝(－yx)+xy∈P。 （2）2P。若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（12k）∈P（Nk）时，－1＝（－12k）＋k2∈P，与③矛盾。于是，由②知P中必有正奇数。 设),( 12,2NnmPnm，我们取适当正整数q，使12|2|nmq，则负奇数Pnqm)12(2。前后矛盾。

3． 设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S， Sab；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立。证

明：S是由全体正有理数组成的集合。 证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立。再由①，若r∈S，则Sr2；若－r∈S，则Srrr)()(2。总之，Sr2。 取r=1，则1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，„，可知全体正整数都属于S。

设Sqp,，由①Spq，又由前证知Sq21，所以21qpqqp∈S。因此，S含有全体正有理数。 再由①知，0及全体负有理数不属于S。即S是由全体正有理数组成的集合。 两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。 4． 设函数),( )(2Rbabaxxxf，集合}),(|{RxxfxxA， })],([|{RxxffxxB。

（1） 证明：BA； （2） 当}3,1{A时，求B。 （3） 当A只有一个元素时，求证：BA． 解：（1）设任意0x∈A，则0x＝)(0xf.而000)()]([xxfxff 故0x∈B,所以BA.

（2）因}3,1{A，所以 3331)1()1(22baba 解得3,1ba 故 3)(2xxxf，由)]([xffx得03)3()3(222xxxxx 解得 3 ,3 ,1x。B＝{}3,3,3,1。 5．321,,SSS为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列kji,,，若jiSySx,，则kSyx （1） 证明：三个集合中至少有两个相等。 （2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？ 证明：（1）若jiSySx,，则ikSxyxySxy)(, 所以每个集合中均有非负元素。 当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。 否则，设321,,SSS中的最小正元素为a，不妨设1Sa，设b为32,SS中最小的非负元素，不妨设,2Sb则b－a∈3S。 若b＞0,则0≤b－a＜b，与b的取法矛盾。所以b=0。 任取,1Sx因0∈2S,故x－0＝x∈3S。所以1S3S，同理3S1S。 所以1S=3S。 （2）可能。例如1S=2S={奇数}，3S={偶数}显然满足条件，1S和2S与3S都无公共元素。 6．已知集合： }1|),{(},1|),{(},1|),{(22yxyxCayxyxByaxyxA。

（1） 当a取何值时，CBA)(为含有两个元素的集合？ （2） 当a取何值时，CBA)(为含有三个元素的集合？ 解：CBA)(=)()(CBCA。CA与CB分别为方程组

（Ⅰ）1122yxyax （Ⅱ）1122yxayx

的解集。由（Ⅰ）解得（yx,）=（0，1）=（212aa，2211aa）；由（Ⅱ）解得 （yx,）=（1，0），（2211aa，212aa） （1） 使CBA)(恰有两个元素的情况只有两种可能：

①111012222aaaa ②011112222aaaa 由①解得a=0；由②解得a=1。 故a=0或1时，CBA)(恰有两个元素。

（2） 使CBA)(恰有三个元素的情况是：212aa=2211aa 解得21a，故当21a时，CBA)(恰有三个元素。 7．设Nn且n≥15，BA,都是{1，2，3，„，n}真子集，BA，且BA={1，2，3，„，n}。证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。 证明：由题设，{1，2，3，„，n}的任何元素必属于且只属于它的真子集BA,之一。 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，„，n}的真子集BA,，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。

不妨设1∈A，则3A，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B。同样6B，所以6∈A，这时10A，，即10∈B。因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A

时，因1∈A，1+15=24，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=25，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。 课后练习 1．下列八个关系式:①{0}=，②=0，③ {}， ④{}，⑤{0}，⑥0，⑦{0}， ⑧{} 其中正确的个数（C） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 2．设A、B是全集U的两个子集，且AB，则下列式子成立的是（C） （A）CUACUB （B）CUACUB=U （C）ACUB= （D）CUAB= 3．已知{|3,},{|31,},{|31,}MxxnnZNxxnnZPxxnnZ，且PcNbMa,,，设cbad，则d（B） （A）M （B）N （C）P （D）PM

4．设集合},214|{},,412|{ZkkxxNZkkxxM，则（A） （A）NM （B）MN （C）NM （D）NM 5．设1,2,3,,1995M，A是M的子集且满足条件: 当xA时,15xA，则A中元素的个数最多是_______________. 解：由于1995=15133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了159=135, „ 15133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870。 另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1≤k≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870。 6．集合A,B的并集123,,ABaaa，当且仅当A≠B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_________________. 解：A=φ时，有1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6种可能；A为二元集时，B必须含有另一元.共有12种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个. 7．若非空集合213532|2|AxaxaBxx，,则能使AA∩B成立的a

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1.1.1集合的概念

1.1.1集合的概念


(5) 由既在R中又在N*中的数组成的集合 中一定包含数0； 错 (6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立.
(5) 由既在R中又在N*中的数组成的集合 中一定包含数0； 错 (6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立.
对
(5) 由既在R中又在N*中的数组成的集合 中一定包含数0； 错 (6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立.
课堂练习
1.课本P5练习1，2； 2.判断：
(1)所有在N中的元素都在N*中；
(2)所有在N中的元素都在Z中； (3)所有不在N*中的数都不在Z中；
(4)所有不在Q中的实数都在R中；
课堂练习
1.课本P5练习2； 2.判断：
(1)所有在N中的元素都在N*中；
(2)所有在N中的元素都在Z中；
错
(3)所有不在N*中的数都不在Z中；
(3) 方程x2－9＝0的解的集合；
请用列举法表示下列集合． (1) 小于5的正奇数； (2) 能被3整除且大于4小于15的自 然数；
(3) 方程x2－9＝0的解的集合；
(4)｛15以内的质数｝．
练习题:用列举法表示下列集合
6 (1)｛x｜ ∈Z，x∈Z｝； 3 x
如: 方程 x2x 0的解集为{1}而非{1, 1}．
问题：
4. A＝｛太平洋，大西洋｝，
B＝｛大西洋，太平洋｝是否表示为
同一集合?
集合中的元素具有以下三大特征
1. 确定性：集合中的元素必须是确定的． 2. 互异性：集合中的元素必须是互异的． 3. 无序性：集合中的元素是没有先后顺序
的，也就是说，对于一个给定集合，它与集合的关系有“属于∈”及
“不属于 ” 如: A＝｛2，4，8，16｝
4∈ A, 8∈A, 32 A .
1-1_集合的概念与运算课件

1-1_集合的概念与运算课件


补集： 补集：∁UA＝{x|x∈U且x∉A}． ＝ ∈ 且 ∉ ． U为全集，∁UA表示 相对于全集 的补集． 为全集， 表示A相 于全集U的 表示 (2)集合的运算性质 集合的运算性质 集合的运算性 ①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔ A⊆B ∪ ＝ ⇔ ⊆ ， ＝ ⇔ ⊆ ②A∩A＝A，A∩∅＝ ∅ ； ＝ ， ∅ ③A∪A＝A，A∪∅＝A； ∪ ＝ ， ∪ ； ④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. ∁ ＝ ∪ ＝ ， ∁ ＝ ；
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
②若 B≠∅，
m＋1≤2m－1， 则－2≤m＋1， 2m－1≤5.
(2)若 A⊆B，
解得 2≤m≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
2m－5.
∴m 的取值范围是[3,4]．
第 1 讲 集合的概念与运算
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 ．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、 集合语言(列举法或描述法 描述不同的具体问题 集合语言 列举法或描述法)描述不同的具体问题，理解集合之间包含与相等 列举法或描述法 描述不同的具体问题， 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义． 2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解 ．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集， 在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图 (Venn)表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算． 表达集合的关系及运算
01第一章 集合与计数原理【讲义】

01第一章 集合与计数原理【讲义】

第一讲 集合与计数原理一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。

第一章集合复习教案

第一章集合复习教案

第一章集合复习教案1.1.1集合的概念1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，1．1．2集合的表表示方法表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；2．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。