举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一
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【 编 者的 话 】 书读 得 多而 不去 思 考 ， 你会 觉得 你 知道 的很 多， － Ｉ ￣ 读 得 多又 思 考 ， 你 会 觉得
你 不 知道 的很 多．
— —
伏 尔 泰
各位 亲爱 的 同学 ， 假 期 里 你 总 可 以挤 出 一 些属 于 自 己的 阅 读 时 间 ， 你 是 否相 信 自己可 以 从 课 外 阅读 中 获 取 自 己 想 要 的 知 识 与 灵 感 呢 ？ 课 外 阅 读 的 范 围 相 当 广 ， 我们 可 以依 据 自己
来 越接 近 真理 ．
一
个 的定 理 ． 而 证 明定 理 的 方 法 ， 则 是 一 题 证， 各具 巧思 ， 无一 确 定 的法 则 可循 ． 证 明 的成 功有赖 于技 巧 与灵感 ． 能不能 找 到 一 种 方 法 ， 像 解方程 那样 ， １ ７ 世 纪法 国的唯理 论哲 学 家 ， 发 明 了解
的统 一 ． 认 为 归 纳 推 理 毫 无 根 据 是 不 充 分
的， 因为 在初 等几 何 范 围 内 已证 明 了归 纳 的 代 数 学 ， 所 研究 的 中心 问题 不是 求 解 而 是 求 有效 性 ； 认为 演绎 推 理 不 能 使 我 们 增 加 新 知 证 ， 是 从 公 理 出 发 用 演 绎 推 理 方 式 证 明 一 个 识也 是不 确切 的 ， 因 为演 绎 推 理 揭 示 出事 物 的 内在联 系 ， 使 我们看 到现象背后 的本质 ， 增加 了我 们 的新知 识 ． 归纳 与演 绎 ， 是 人 类 认 识 世 界 的 两个 基
其实 ， 这三 个 实例 已经 证 明 了 （ ※） 是恒 ’
一
一
有 不 同．
拉普拉斯 说 ： 在 数 学 这 门科 学 里 ， 我 们 断 定它 一定 恒等 呢 ？
发 现 真 理 的 主 要 工 具 是 归 纳 和 类 比．
道理 是 ： 如 果 它不 是 恒 等 式 ， 它 一 定 是 高斯 说 ： 数 学 中的 一些 美 丽 定 理 具 有 这 等式 ．
演 绎 与 归 纳 的 对 立 与 统 一
归 纳和演 绎 ， 是 人 类 认 识 世 界 活动 中广 的 命 题 吗 ？
泛 应用 的两 套思 维方 法． 它 反 映 了 人 们 认 识 事 物 的两 条 思 维 途
中学里 学 了恒等 式． 下 面 的等式
（ ｚ一 １ ） 一 一 ２ ｘ＋ １ （ ※）
一
本 方法 ， 它们相 互 支 持 ， 相互 补 充 ， 使 我们 越 按 固 定 法 则 证 明 一 批 一 批 的 几 何 定 理 呢 ？ 但是 ， 代数恒 等式在数 学史上 ， 远 不 如 析几 何 的数学 家 笛 卡 儿 ， 曾有 过 一个 大胆 的
法 的这种 力 量 ， 是 由 演 绎 推 理 证 明 的．
用一 个 固定 的程 序解 决 一 类 问题 ， 这 就 是数 学机 械化 的基 本 思想 ． 追 求数 学 的机 械 在西 方 ， 以希 腊 几何 学 研 究 为 代 表 的 古
数 学 的新 成 果 表 明 ： 归 纳 与 演 绎 是 对 立 化方 法 ， 是 中国古代 数学 的优 秀传 统之 一．
一
般说 来 ， 代 数 恒 等式 的检 验 都 可 以用
例 证 法—— 用 演 绎 支 持 归 纳
那么， 在 数学 中举 例 真 的 不 能证 明一 般
７ ６ Ｎ ｅ ｗ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
举 例 子 的方 法 ． 不过 ， 高 次 的和 多元 的等 式 ，
要用 更 多的例 子 罢 了．
这些 事 实表 明 ： 在 数 学 王 国 的某 些 角落
辩
◇。 。。 。 翼 。。 。。
。。◆ ｌ ＿ ｌ
曩
里， 归纳 法 可 以有 效 地 证 明一 般 性 的命 题 ， 术》 就是 这么 做 的． 甚 至可 以用 一个 特 例 证 明一 般 的命 题 ． 归 纳
哲学 认 为 ： 归纳和演绎非 常重要 ， 但 各 得 １ ； － ｚ 一３ ， 两边都 得 ４ ．
在 数学 家 的 眼 中 ， 归 纳 和 演 绎 用处 也 各
恒 等式 ， 恒等式 ， 要 求 ｚ取 所 有 数 值 时 两边 都 相 等． 才 验 证 了 三 个 ｚ 的值 ， 怎 么 能
根． 现在 １ ， ２ ， ３都 是 “ 根” ， 说 明它 不 是 方 程 在 这个具 体 问题 上 ， 演 绎 推 理 支 持 了 归
这 种 方 程 不 可 能 有 三 个 样 的特 性 ， 它 们 极 易 从 事 实 中归纳 出来 ，但 二次 或 一 次 方 程 ， 证 明却 隐藏得 极深 ．
的兴趣 进 行选择 性 地 阅读 ， 身心 必将 受到 一 次 大 的洗 礼 ， 在 增 长见 识 的 同时 又娱 乐 身心 ， 何
乐而不 为？
本 期 的两篇 文章都 是 节选 ， 请 你 读一 读 ， 要 是在 读 过后 能写 些读后 感 就更好 了 ！
例 子 能 证 明 几 何 定 理 吗
组公设 ， 经 过逻 辑 的推理 ， 获 得结论 ．
陈省身说 ： 数 学 是 一 门演 绎 的学 问 ， 从 而 是 恒 等 式 ． 我们 用 数 学 上 承认 的演 绎 法 证 明 了 归纳用 于发现 ， 演绎 用于推理． 这 是 相 纳 推理 ．
当 普 遍 的看 法 ． 归 纳 法 的有 效 性 ．
径， 前者是从个别到一般 的思维运 动 ， 后 者
是从一 般 到个别 的思维运 动 ． 自也 都 存 在 一 定 的 局 限 性 ， 需 要相互补 充、
相 互用ｚ 一１ 代入 ， 两 边 都得 ０ ； 一２ ， 两边 都
这样举 了三个 例子 之后 ， 能 不 能 肯 定 （ ※） 是恒 等式 呢？
你 不 知道 的很 多．
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伏 尔 泰
各位 亲爱 的 同学 ， 假 期 里 你 总 可 以挤 出 一 些属 于 自 己的 阅 读 时 间 ， 你 是 否相 信 自己可 以 从 课 外 阅读 中 获 取 自 己 想 要 的 知 识 与 灵 感 呢 ？ 课 外 阅 读 的 范 围 相 当 广 ， 我们 可 以依 据 自己
来 越接 近 真理 ．
一
个 的定 理 ． 而 证 明定 理 的 方 法 ， 则 是 一 题 证， 各具 巧思 ， 无一 确 定 的法 则 可循 ． 证 明 的成 功有赖 于技 巧 与灵感 ． 能不能 找 到 一 种 方 法 ， 像 解方程 那样 ， １ ７ 世 纪法 国的唯理 论哲 学 家 ， 发 明 了解
的统 一 ． 认 为 归 纳 推 理 毫 无 根 据 是 不 充 分
的， 因为 在初 等几 何 范 围 内 已证 明 了归 纳 的 代 数 学 ， 所 研究 的 中心 问题 不是 求 解 而 是 求 有效 性 ； 认为 演绎 推 理 不 能 使 我 们 增 加 新 知 证 ， 是 从 公 理 出 发 用 演 绎 推 理 方 式 证 明 一 个 识也 是不 确切 的 ， 因 为演 绎 推 理 揭 示 出事 物 的 内在联 系 ， 使 我们看 到现象背后 的本质 ， 增加 了我 们 的新知 识 ． 归纳 与演 绎 ， 是 人 类 认 识 世 界 的 两个 基
其实 ， 这三 个 实例 已经 证 明 了 （ ※） 是恒 ’
一
一
有 不 同．
拉普拉斯 说 ： 在 数 学 这 门科 学 里 ， 我 们 断 定它 一定 恒等 呢 ？
发 现 真 理 的 主 要 工 具 是 归 纳 和 类 比．
道理 是 ： 如 果 它不 是 恒 等 式 ， 它 一 定 是 高斯 说 ： 数 学 中的 一些 美 丽 定 理 具 有 这 等式 ．
演 绎 与 归 纳 的 对 立 与 统 一
归 纳和演 绎 ， 是 人 类 认 识 世 界 活动 中广 的 命 题 吗 ？
泛 应用 的两 套思 维方 法． 它 反 映 了 人 们 认 识 事 物 的两 条 思 维 途
中学里 学 了恒等 式． 下 面 的等式
（ ｚ一 １ ） 一 一 ２ ｘ＋ １ （ ※）
一
本 方法 ， 它们相 互 支 持 ， 相互 补 充 ， 使 我们 越 按 固 定 法 则 证 明 一 批 一 批 的 几 何 定 理 呢 ？ 但是 ， 代数恒 等式在数 学史上 ， 远 不 如 析几 何 的数学 家 笛 卡 儿 ， 曾有 过 一个 大胆 的
法 的这种 力 量 ， 是 由 演 绎 推 理 证 明 的．
用一 个 固定 的程 序解 决 一 类 问题 ， 这 就 是数 学机 械化 的基 本 思想 ． 追 求数 学 的机 械 在西 方 ， 以希 腊 几何 学 研 究 为 代 表 的 古
数 学 的新 成 果 表 明 ： 归 纳 与 演 绎 是 对 立 化方 法 ， 是 中国古代 数学 的优 秀传 统之 一．
一
般说 来 ， 代 数 恒 等式 的检 验 都 可 以用
例 证 法—— 用 演 绎 支 持 归 纳
那么， 在 数学 中举 例 真 的 不 能证 明一 般
７ ６ Ｎ ｅ ｗ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
举 例 子 的方 法 ． 不过 ， 高 次 的和 多元 的等 式 ，
要用 更 多的例 子 罢 了．
这些 事 实表 明 ： 在 数 学 王 国 的某 些 角落
辩
◇。 。。 。 翼 。。 。。
。。◆ ｌ ＿ ｌ
曩
里， 归纳 法 可 以有 效 地 证 明一 般 性 的命 题 ， 术》 就是 这么 做 的． 甚 至可 以用 一个 特 例 证 明一 般 的命 题 ． 归 纳
哲学 认 为 ： 归纳和演绎非 常重要 ， 但 各 得 １ ； － ｚ 一３ ， 两边都 得 ４ ．
在 数学 家 的 眼 中 ， 归 纳 和 演 绎 用处 也 各
恒 等式 ， 恒等式 ， 要 求 ｚ取 所 有 数 值 时 两边 都 相 等． 才 验 证 了 三 个 ｚ 的值 ， 怎 么 能
根． 现在 １ ， ２ ， ３都 是 “ 根” ， 说 明它 不 是 方 程 在 这个具 体 问题 上 ， 演 绎 推 理 支 持 了 归
这 种 方 程 不 可 能 有 三 个 样 的特 性 ， 它 们 极 易 从 事 实 中归纳 出来 ，但 二次 或 一 次 方 程 ， 证 明却 隐藏得 极深 ．
的兴趣 进 行选择 性 地 阅读 ， 身心 必将 受到 一 次 大 的洗 礼 ， 在 增 长见 识 的 同时 又娱 乐 身心 ， 何
乐而不 为？
本 期 的两篇 文章都 是 节选 ， 请 你 读一 读 ， 要 是在 读 过后 能写 些读后 感 就更好 了 ！
例 子 能 证 明 几 何 定 理 吗
组公设 ， 经 过逻 辑 的推理 ， 获 得结论 ．
陈省身说 ： 数 学 是 一 门演 绎 的学 问 ， 从 而 是 恒 等 式 ． 我们 用 数 学 上 承认 的演 绎 法 证 明 了 归纳用 于发现 ， 演绎 用于推理． 这 是 相 纳 推理 ．
当 普 遍 的看 法 ． 归 纳 法 的有 效 性 ．
径， 前者是从个别到一般 的思维运 动 ， 后 者
是从一 般 到个别 的思维运 动 ． 自也 都 存 在 一 定 的 局 限 性 ， 需 要相互补 充、
相 互用ｚ 一１ 代入 ， 两 边 都得 ０ ； 一２ ， 两边 都
这样举 了三个 例子 之后 ， 能 不 能 肯 定 （ ※） 是恒 等式 呢？
