江苏省天一中学2015――2016学年春学期期终考试
高一数学试卷（强化班）
命题： 审阅：
注意事项及答题要求：
1．本场考试时间为120分钟，满分160分；
2．试卷共8页，第1、2、3、4页为试题，第5、6、7、8页为答题纸．考生作答时，将答案填写在答卷纸上，考试结束后，将答题答卷纸上交，答题卡请勿折叠；
3．答题前，考生先将自己的班级、姓名、考号填写清楚；
4．考试中不准使用计算器，除作图区域外一律试用0.5mm 黑色墨水笔答题；
5．在考试过程中，除遇到试卷破损或字迹模糊外，一律不得向监考老师询问．答题时，考生需认真审题，正确理解题目表达的意思，耐心运算，及时将题目的答案填写到答题卡相应的位置．祝你取得理想的成绩！
一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．
． 1．直线l 经过点(0,1)且倾斜角的余弦值为35
，则直线l 的斜截式方程为 ▲ ． 2．在等差数列{}n a 中，若*252()n a n n N =-∈，n S 为数列的前n 项之和，则当n S 取得最大值时，n = ▲ ___．
3．若直线y x b =+与圆222x y +=相切，则b 的值为 ▲ ．
4．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若424S S =，则84
S S = ▲ ． 5． 已知点)2,1(A ，直线01:=--y x l ，则点A 关于直线l 的对称点A '的坐标为 ▲ ．
6． 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 ▲ ．
7．已知(,)x y 为⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,0016401y x y x y x 所表示的平面区域M 内的点，则2z y x =-的最大值为
▲ ．
8．在⊿ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
若22,sin a b C B -==， 则角A = ▲ ．
9．给出下列关于互不相同的直线,,m l n 和平面,αβ的四个命题：
①若,m l A αα⊂= ，点A m ∉，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，//,//l m αα，,n l n m ⊥⊥，则n α⊥；
③若//,//,//l m αβαβ，则//l m ；
④若,,,//,//l m l m A l m ααββ⊂⊂= ，则//αβ．
其中为真命题是 ▲ ．（请填写序号，不选、漏选、选错均不给分）
10．在平面直角坐标系中，
设直线:0l kx y -=与圆22:4C x y +=相交于,A B 两点，且OM OA OB =+ ，若点M 在圆C 上，则实数k = ▲ ．
11．在⊿ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22,2,44A C c a b ===-， 则a ＝ ▲ ．
12．已知不等式组240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域为Ω，若在Ω中存在一点(,)P x y 使得
23ax y -≤-≤成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ___．
13．对于集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*
,3)n N n ∈≥，定义集合 ,1}{i j x a a i j n S x =+≤<≤=，若21n a n =+，则集合S 中各元素之和为 ▲ ．
14．已知0,0x y >>，且满足1882y x x y
+
--=，则2x y +的最小值为 ▲ ___．
H G F E D C B A 公 路二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，
已知90ACB ∠= ，M 为1A B 与1AB 的交点，
N 为棱11B C 的中点. （1）求证：//MN 平面11AAC C ；
（2）若1AC AA =，求证：MN ⊥平面1A BC ．
16．（本题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知36a =，315S =．
（1）求{}n a 的首项1a 和公差d 的值；
（2）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有112233n n a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+ 21()2n n n +=+⋅ ．求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和为n T .
17．（本题满分14分）在⊿ABC 中，三边c b a ,,所对应的角分别是C B A ,,，且c b a ,,成等比数列（1，求角B 的值； （2外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围.
18（本题满分16分）如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设km AB y =，并在公路北侧建造边长为km x 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两
条道路,AB AC ，已知1AB AC =+，且60ABC ∠= .
（1）求y 关于x
的函数解析式，并指出定义域；
（2）如果中转站四堵围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？
19．（本题满分16分）已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B 的距离的2倍．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）已知点(2,0)Q ，过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，当⊿QEF 的面积最大时，求直线l 的方程；
（3）过直线':34140l x y ++=上一点R 引点P 的轨迹C 的两条切线，切点分别为,M N ，
当线段MN 的长度最小时，求MN 所在直线的方程．
20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满：足1()a a a N +=∈且1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=， 其中0p ≠且1,p n N +≠-∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若对每一个正整数k ，若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为k d ．
①求p 的值及对应的数列{}k d ；
②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ，使得30k S <对任意正整数k 恒成立？ 若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．
