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数字信号处理第二次作业(第二章)

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3110104493 高迪森 第二章作业第二次作业
2.20已知一个因果LTI系统的单位冲激响应为)()(nunhn,输入序列为)()(nunxn，
其中和都是小于1的正实数。求输出)(ny。
解：)()(nunxn，冲激响应为)()(nunhn；







1111110111)(1)()()()()()(
nnn
n

k
nkn

kknkk

knukuknxkhny

简化之后可以得到：
)()(nunynn



完毕。

2.21计算习题2.20中的)(nx，)(ny和)(nh的DTFT：)(jweX，)(jweH，)(jweY，并验
证)(jweY=)(jweH)(jweX。

解：jwjwjwnnnjwjwnjwnnjwnjwnjwnnjwneeeYeenueHnunheenueXnunx111)(11)()()()(11)()()()(0
得到：)()()1)(1(1)(jwjwjwjwjweHeXeeeY
证完。
2.28已知序列和的Z变换分别为
101.0,)1.01)(1.01(99.0)(1zzzzX
和：1.0,1011)(zzzY,求序列：)()()(nynxnw。
解：有上述题目得到：

)1(01.0)()()()1(1.0)(1.011.01011)(;1.0)()1.01)(1.01()1.0(1)1.01)(1.01(99.0)z(11121nunynxnwnunyzzzzYnxzzzzXnnn得：
得到：且：
得到：

2.33产生一个被噪声污染的正弦序列)40~0)(()2.0sin()(nnwnnx,式中)(nw的均
值为0，方差为1的高斯噪声。画出)(nx和他的幅度频率特性)(jweX和相应的相位响应特
性)(w的图形。
代码如下：

2.36由一因果序列由下列差分方程定义：
%TI2.33
n=[0:40];k=sin(0.2*pi*n);l=randn(1,length(k));
x=k+l;%求出xX
w=linspace(-pi,pi,500);
Xjw=x*exp(-1j*n'*w);
subplot(3,1,1);stem(n,x,'fill','MarkerSize',2);%draw
subplot(3,1,2);plot(w,abs(Xjw));
subplot(3,1,3);plot(w,angle(Xjw));
)1(3.0)(5.0)(nxnxny
)(92sin)(nunnx

加在该系统的输入端，求系统的输出序

列y(n)的前30个取样值，并画出)()()()(weHnynxjw、、、的图形，后面两个分别是系
统的频率特性的幅度响应和相位响应。
解：代码和结果如下:

%TI2.36
k=0:30;
%产生单位阶跃序列
xn=sin(2/9*pi*k);
b=[0.5,-0.3];a=[1,0];
y=filter(b,a,xn);
[H,w]=freqz(b,a);
subplot(4,1,1);stem(k,xn,'fill','MarkerSize',2);
subplot(4,1,2);stem(k,y,'fill','MarkerSize',2)
subplot(4,1,3);plot(w,abs(H));
subplot(4,1,4);plot(w,angle(H));

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数字信号处理第2章

数字信号处理第2章


Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理第二章

数字信号处理第二章

号的Z变换的定义及其与
Z变换的定义
傅里叶变换的关系
定义序列X(n)的Z变换为
X(z) x(n)zn n
式中，Z是复变量，它所在的复平面称为Z平面。这里求
和极限为-∞～+∞，故亦称为双边Z变换，当求和极限
为0～+∞时，为单边Z变换，不做说明时均为双边Z
变换。
Z变换存在的充分条件为
的周期函数，所以ak是以N为周期的周期序列，即
ak=ak+ln
令
X(k)Nak
将式(2.2.7)代入上式，得到
(2.2.9)
X ~(k)N 1~ x(n)ej2 N k n k (2.2.10)
这里X~(k) 是以N为n0 周期的周期序列。一般简称X~(k) 为~x(n)
的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Frourier
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这样 X ( e j ) F [ x e ( n T ) x o ( n ) X ] R ( e j ) jI ( X e j )
我们能够得到结论: 傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部
(包括j)对应序列的共轭反对称部分。 值得注意： 在一般实际应用中，我们常常遇到的序列是实序列，实序列 相当于一般的序列中只有实部，没有虚部，因此实序列的傅 里叶变换具有共轭对称性质，它的实部是偶函数，虚部是奇 函数。 如果实序列还是偶对称的，其傅里叶变换应该是实偶对称函 数；如果实序列是奇对称的，那么其傅里叶变换是虚对称 的，且是纯虚函数。
够展成傅里叶级数，即：
X~(n)
N1
j 2k n
ake N
(2.2.5)
k0
式为中求，系a数k是ak离，散将傅上里式叶两级边数乘的以系e数j 2N。 mn，并对n在一
数字信号处理DSP第二章2z反变换

数字信号处理DSP第二章2z反变换


z1
4n
4
15 2021/4/21
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
5
当n 1时 F (z)在围线c内有一阶极点z 1 和-(n 1)阶极点z 0
4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上
x(n) Re s[F (z)]z4
z
4
解：X
z
1
5 z 1 z1 6z2
z2
5z z 6
5z
z 2z 3
X
z
z
z
5
2z
3
A1 z2
A2 z3
3
j Im[z]
2
0
Re[z]
A1
Res
X
z
zБайду номын сангаас
z2
z
2
z
5
2
z
3
z2
1
A2 Res
2021/4/21
X
z
z
z3
z
3
z
5
2
z
3
z 3
1
16
X z
1
1
z z2 z3
bi zi
i0 N
1 ai zi
i 1
X (z)
M N n0
Bn zn
A M r k
k1 1 zk z1
r k 1
Ck [1 zi z1]k
用留数定理求系数：
Ak
Re
s
X (z) z zzk
k 1,2,
,M r
2021/4/21
15
例：X (z)
数字信号处理-答案-第二章

数字信号处理-答案-第二章

第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3)(c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。