高考数学《立体几何初步》专题学案：两个平面垂直

苏教版高中数学必修教案两个平面垂直的判定和性质一、教学目标：1. 理解两个平面垂直的判定方法，能够运用判定定理判断两个平面是否垂直。

2. 掌握两个平面垂直的性质，能够运用性质定理解决相关问题。

3. 培养学生的空间想象能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：两个平面垂直的判定方法和性质。

2. 教学难点：两个平面垂直的判定方法的灵活运用和性质的证明。

三、教学过程：1. 导入：通过复习三维空间中的基本概念，如点、线、面，引导学生回顾空间图形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解：（2）运用判定定理，给出实例，判断两个平面是否垂直，并解释判断过程。

（4）运用性质定理，给出实例，解决相关问题，并解释解题过程。

3. 课堂练习：布置一些有关两个平面垂直的判定和性质的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

四、课后作业：2. 请学生运用所学知识，解决一些有关两个平面垂直的实际问题。

五、教学反思：六、课堂互动与讨论：1. 组织学生进行小组讨论，探讨两个平面垂直的判定方法在实际问题中的应用。

2. 邀请学生上台展示他们的解题过程，并鼓励其他学生提出疑问或不同解法。

3. 针对学生的疑问，进行解答和引导，帮助学生更好地理解和掌握两个平面垂直的判定方法。

七、案例分析：1. 提供一个实际问题，要求学生运用两个平面垂直的判定方法和性质进行分析和解决。

2. 引导学生通过画图、推理等方法，找到解决问题的突破口。

3. 分组讨论，每组给出自己的解决方案，并选代表进行汇报。

八、拓展与应用：1. 引导学生思考：两个平面垂直的判定和性质在现实生活中的应用。

2. 布置一些开放性问题，要求学生课后思考和探索，如寻找生活中的两个平面垂直的例子。

3. 鼓励学生在下一节课上分享他们的思考和探索成果。

2. 通过课堂练习和案例分析，巩固学生对两个平面垂直判定和性质的理解。

3. 强调两个平面垂直在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。

直线与平面垂直一、教学目标1．理解直线与平面垂直的判定定理与性质定理；2．会运用判定定理与性质定理证明有关线面垂直的立几问题。

二、基础知识回顾与梳理【回顾要求】1阅读必修二第35-40页完成下列任务:1)、直线与平面垂直（1）直线与平面垂直的定义如果一条直线a 与一个平面α内的 一条直线都垂直，则直线a 与平面α互相垂直．（2）直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条 垂直，那么这条直线垂直与这个平面． 符号语言: 图形语言:（3）直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线 ．符号语言: 图形语言:2)、点面、线面距离及线面角（1）点面距离从平面外一点引平面的垂线， 的距离，叫做这个点到面的距离．（2）线面距离一条直线和一个平面 ，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．（3）线面角①平面的一条斜线与它在这个平面内的 所成的 ，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线 平面，则称它们所成的角为直角；一条直线与平面 或 ，则称它们所成的角为0度角．○3斜线与平面所成角的范围:_______________,直线与平面所成角的范围:________________【要点解析】1:直线与平面垂直的概念是利用直线和直线垂直的概念定义的,要注意定义中”任何一条直线”这个词语,它与”所有直线”是同义词,但与”无数直线”不同,定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直,有这样的定义可判定线面垂直,即当直线与平面垂直时该直线就垂直与这个平面内的任何直线.2:利用线线垂直证明线面垂直时,先找共面垂直,后找异面垂直,证明同一平面内的两条直线垂直时,可以考虑平面几何证法.3:直线与平面垂直还有如下性质:(1) 如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线与这个平面内的任何一条直线垂直.(2) 若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于同一个平面.(3)若αα⊂⊥⊥P ,，则Ａ于l AP A l4:破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．5 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α；(2)判定定理1： ⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒α⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.6高考中始终将直线与平面垂直的性质与判定作为考查的重点，尤其是以多面体为载体的线面平行、垂直的证明，更是年年考，并且在难度上以中档题为主，预计高考中本节内容仍为考试的重点和热点．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课上主要由学生交流讨论各自的解答，学生共同参与点评，关键处由学生画图举例进行说理或者判断，充分展示学生的思维过程，教师有针对性地进行点评．2、诊断练习点评题1：直线a 不垂直于平面α，则α内与a 垂直的直线有 条．【分析与点评】题1对线面垂直的定义的理解，定义是“任意一条直线”而不是“无数条直线”．教学时可以列举一个具体实例说明：平面的一条斜线可以垂直于平面内无数条相互平行的直线．题2．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中能使a α⊥的是 （填序号）． ①,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂；②,//a b b α⊥；③,,a b A b a b α=⊂⊥I ；④//,a b b α⊥．【分析与点评】（1）①是对判定定理中的“相交直线”进行复习，不能推出α⊥a ，据范例教学，强调,b c 必须是相交直线，并要求学生证明时，一定要规范严格作为重要条件书写；（2）通过②、③的交流讨论，培养学生空间想象能力，a b ⊥时，直线a 可以在垂直于b 的某个平面内旋转，不能保证α⊥a ．（3）④是证明线面垂直常用方法．教学时，可以和学生一起回顾相关的几个结论． 题3．已知l 与m 是两条不同的直线，直线l ⊥平面α，①若直线l m ⊥，则m ∥α；②若α⊥m ，则m ∥l ；③若α⊂m ，则l m ⊥；④若m ∥l ，则α⊥m .上述判断中，正确的是 ．（填序号）【分析与点评】（1）①考查线面平行，注意强调直线m 不在平面α内，命题不正确；②是线面垂直的性质定理，命题正确；③对线面垂直定义考查，一条直线垂直于一个平面，即这条直线垂直于平面中的任意一条直线，命题正确；④命题正确．（2）教学中一方面要抓住线面关系的判断与性质定理，另一方面要突出图形进行举例，特别注意强调特殊线、特殊面以及特殊位置．4．已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的________条件(填空“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)．解析 l 垂直于两腰AD 、BC ，则l 垂直于平面ABCD ，从而l垂直于两底AB 、DC ；反之，由于AB ∥DC ，∴l 垂直于两底AB 、DC ，不一定能推出l 垂直于平面ABCD .答案 充分不必要【分析与点评】本题考查线面垂直的判定定理和定义，在讲解过程中可以借助于图形，形象直观。

S
E
H
A
C
（ 1）求证： AB⊥ BC； （ 2）若设二面角 S— BC— A 为 45°， （ 1）证明：作 AH ⊥SB 于 H ，
B
SA= BC ，
求二面角 A—SC— B 的大小 .
∵平面 SAB⊥平面 SBC， ∴ AH⊥平面 SBC. 又 SA⊥平面 ABC， ∴ SA⊥ BC.
SA 在平面 SBC 上的射影为 SH， ∴ BC⊥ SB.又 SA∩ SB=S， ∴ BC⊥平面 SAB. ∴ BC⊥ AB. （ 2）解：∵ SA⊥平面 ABC， ∴平面 SAB⊥平面 ABC.又平面 SAB⊥平面 SBC， ∴∠ SBA 为二面角 S—BC— A 的平面角 .
AO⊥ OS，
即∠ AOS=90 ° .
∴平面 ABC⊥平面 BSC.
特别提示
本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法 .此外， 本题中证明∠ AOS=90°的方法较为
特殊， 即通过 “算”， 定量地证得直角， 而不是通过位置关系定性地推理出直角，
这
也是立体 何中证明垂直的一种重要方法 .
【例 2】 如下图， 在三棱锥 S— ABC 中， SA⊥平面 ABC， 平面 SAB⊥平面 SBC.
证明两个平面垂直的常见方法： （ 1）根据定义， 证其二面角的平面角是直角； （ 2）根据判定定理， 证明一个平面经过另一个平面的垂线 .
【例 3】 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1， 若过面对角线
的平面交上底面 A1B1 C1 的一边 A1C1 于点 D.
C1
AB1 与另一面对角线
BC 1 平行
9.5 两个平面垂直
●知识梳理
1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角， 相垂直 .

于这两个平面的 交线 ,那么这条直线与另一个平面 垂直 .
2.符号语言:
3.图形语言:
⇒a⊥β
4.作用:①面面垂直⇒ 线面 垂直;②作面的垂线.
[基础测试]
1.在下列关于直线 m,l 和平面 α,β 的说法中,正确的是(
A.若 l⊂β,且 α⊥β,则 l⊥α
B.若 l⊥β,且 α∥β,则 l⊥α
C.若 l⊥β,且 α⊥β,则 l⊥α
所以∠BAO+∠ABD=90°,所以 AO⊥BD.
因为 PO∩AO=O,PO⊂平面 PAO,AO⊂平面 PAO,
所以 BD⊥平面 PAO,所以 BD⊥PA,即 PA 与 BD 相互垂直.
3.同类练如图所示,△ABC 是边长为 2 的正三角形,
AE⊥平面 ABC,且 AE=1,平面 BCD⊥平面 ABC,且 BD=CD,
因为 PA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,所以 PA⊥BC.
因为 PA∩AE=A,所以 BC⊥平面 PAB.
方法规律
应用面面垂直性质定理要注意的问题
应用面面垂直性质定理证明相关问题时,一般需要先作辅
助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线(在平面内),将面面
垂直转化为线面垂直,再进一步转化为线线垂直.
BD⊥CD.求证:(1)AE∥平面 BCD;(2)平面 BDE⊥平面 CDE.
证明:(1)如图所示,取 BC 的中点 M,连接 DM,AM.
因为 BD=CD,且 BD⊥CD,BC=2,所以 DM=1,DM⊥BC.
因为△ABC 为正三角形,M 为中点,所以 AM⊥BC.
因为平面 BCD⊥平面 ABC，所以 DM⊥平面 ABC,所以 AE∥DM.
1
1 1
3 2
1