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第2课时平行线的判定和性质

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第五章 相交线、平行线 第2课时 平行线的判定、性质

由平行线的画法，引出平行线的判定公理（同位角相等，两直线平行）．由公理推出：内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理． 本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础． 本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程．学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理． 平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。能用平行线的性质进行简单的推理和计算。理解平行线的判定方法和性质区别。

点击一：平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 注意：（1）平行线特指在同一平面内的具有特殊位置关系的额两条直线，特殊在这两条直线没有交点（2）今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在直线平行 点击二：两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行 点击三：平行线的基本性质： 平行公理 ：经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 点击四：平行线的判定方法 同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行． 另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行． 针对练习1:

1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( ) A.平行或相交 B.垂直或相交; C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交 2.下列说法正确的是( ) A.经过一点有一条直线与已知直线平行 B.经过一点有无数条直线与已知直线平行 C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为( ) 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 新世纪教育网 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 第 2 页 共 30 页 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.下列说法正确的有( ) ①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种; ③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.过一点画已知直线的平行线,则( ) A.有且只有一条 B.有两条; C.不存在 D.不存在或只有一条 6.在同一平面内,____________________________________叫做平行线. 7.若AB∥CD,AB∥EF,则_____∥______,理由是__________________. 8.在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是________;•若两条直线平行,则公共点的个数是_________. 9.同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________. 10.直线L同侧有A,B,C三点,若过A,B的直线L1和过B,C的直线L2都与L平行,则A,•B,C三点________,理论根据是___________________________. 11.如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.

DC

BA2

1

12.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.

GH

K

F

E

DCBA

答案：1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.不相交的两条直线 7.CD EF 平行于同一条直线

的两条直线平行 8.1个 0个 9.0个或1个或2个或3个 10.在一条直线上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行11. 解:∵AC平分∠DAB, ∴∠1=∠CAB, 又∵∠1=∠2, ∴∠CAB=∠2, ∴AB∥CD. 12.解:∵EG⊥AB,∠E=30°, ∴∠AKF=∠EKG=60°=∠CHF, ∴AB∥CD. 点击五：平行线的性质： 两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补． 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 新世纪教育网 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 第 3 页 共 30 页 A B C E D

过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线． 点击六：平行线的距离

同时垂直于两条平行线并且夹在两条平行线间的线段的长度叫做平行线的距离。 注意：夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则不叫两条平行线的距离 针对练习2：

1.如图１，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（ ）. (A)30° (B)35° (C)20° (D)40°

2.如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知，则（ ）. （A）只能求出其余3个角的度数 （B）只能求出其余5个角的度数 （C）只能求出其余6个角的度数 （D）只能求出其余7个角的度数 3.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） （A）第一次向左拐300，第二次向右拐300 （B）第一次向右拐500，第二次向左拐1300

（C）第一次向右拐500，第二次向右拐1300 （D）第一次向左拐500，第二次向左拐1300 4.如图,AB∥CD,∠B=230, ∠D=420,则∠E=( ) （A）230 （B）420 （C）650 （D）190

5.如图，已知AB∥CD，直线l分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是 （ ）. （A）60° （B）70° （C）80° （D）90°

6.一个合格的弯形管道，经两次拐弯后保持平行（即AB∥CD），如果∠C=60°，那么∠B的

D C B A

E

O 图1 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com

新世纪教育网 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 第 4 页 共 30 页 度数是__________.

7.如图，直线a，b被直线l所截，a∥b，如果∠1=50°，那么∠2=____________度. 8.如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，若∠2=115°，则∠1=_____. 9.如图所示，直线a∥b，则∠A= 度． 10.小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A=40°，∠1=70°，小明马上运用已学过的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你一定知道∠C=_________________. 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com

新世纪教育网 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 第 5 页 共 30 页 11.如图，直线a，b均与c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共8个角，请填上你认为适当的一个条件：_______，使得a∥b.

答案：1.B2.D3.A4.C5.B 6. 120°；7. 50；8. 65°；9. 22；10. 30°；11.略.

类型之一：平行线的判定 例1： 如图，由∠1＝∠2，可以判断

A．AB∥CD B．AD∥BC C．AB⊥CD D．AD⊥BC 解析：从图形可以先猜想出可能是AB∥CD，也可能是AD∥BC，但是我们发现AD和BC与题目的已知条件无关，这是一种对图形的认识，那么怎么才能构造出我们判断平行的条件呢？这就需要对∠1、∠2进行等量代换．显然∠ABD＝∠1＝∠2，所以AB∥CD故选A 点评：在练习中看图、识图是一种能力，会大大提高解题的速度．当然，这道题目还有别的证明方法，三个判定定理都可以证出此题． 例2、完成下面的推理，并在括号中写出相应的根据如下图所示 最大最全最精的教育资源网 www.xsjjyw.com 新世纪教育网 天量课件、教案、试卷、学案免费下载 第 6 页 共 30 页 ∵∠ADE＝∠DEF(已知) ∴AD∥________( ) 又∵∠EFD＝∠C(已知) ∴EF∥________( ) ∴_____∥____ ( ) 解析：图中∠ADE和∠DEF没有直接给出，所以应自己画出辅助线，如下图此时就可以看一看∠ADE和∠DEF是什么关系的角，不难看出它们是一对内错角．

解：EF 内错角相等，两直线平行 BC 同位角相等，两直线平行 AD BC 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 点评：在几何中经常要添加辅助线来帮助解题，本题中的辅助线是比较简单的． 例3、如图，若∠1＝∠2，∠2与∠3互补，试说明l1∥l2∥l3．

解析：要说明l1∥l2∥l3．由判定公理可知，必须存在相关的角的关系．因此有∠1＝∠2，∠2与∠3互补，从图形中不难发现．同位角和内错角之间的联系，因此只需确定它们的相等关系即可． 方法一：∵l是一条直线 ∴∠1与∠6互补 ∴∠1＋∠6＝180°

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(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)

(新人教版)数学七年级下册：5.3.1《平行线的性质(第2课时)》教学设计(两套)

5.3.2平行线的性质(第2课时)平行线的性质(二)教学目标1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力.2.理解两条平行线的距离的含义,了解命题的含义,会区分命题的题设和结论.3.能够综合运用平行线性质和判定解题. 重点、难点重点:平行线性质和判定综合应用,两条平行的距离,命题等概念. 难点:平行线性质和判定灵活运用. 教学过程 一、复习引入1.平行线的判定方法有哪些?(注意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)2.平行线的性质有哪些.3.完成下面填空.已知:如图,BE 是AB 的延长线,AD ∥BC,AB ∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.4.a ⊥b,c ⊥b,那么a 与c 的位置关系如何?为什么?cb二、进行新课1.例1 已知:如上图,a ∥c,a ⊥b,直线b 与c 垂直吗?为什么?学生容易判断出直线b 与c 垂直.鉴于这一点,教师应引导学生思考:(1)要说明b ⊥c,根据两条直线互相垂直的意义, 需要从它们所成的角中说明某个角是90°,是哪一个角?通过什么途径得来?(2)已知a ⊥b,这个“形”通过哪个“数”来说理,即哪个角是90°.(3)上述两角应该有某种直接关系,如同位角关系、内错角关系、同旁内角关系,你能确定它们吗?让学生写出说理过程,师生共同评价三种不同的说理. 2.实践与探究(1)下列各图中,已知AB ∥EF,点C 任意选取(在AB 、EF 之间,又在BF 的左侧).请测量各图中∠B 、∠C 、∠F通过上述实践,试猜想∠B 、∠F 、∠C 之间的关系,写出这种关系,试加以说明.E D C B AFECBAFECBA(1) (2) 教师投影题目:学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助? 教师视学生情况进一步引导:①虽然AB ∥EF,但是∠B 与∠F 不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.②∠B 与∠C 是直线AB 、CF 被直线BC 所截而成的内错角,但是AB 与CF 不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C 作CD ∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD 与EF 平行,你能做到这一点吗?以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.FEDCB A作CD ∥AB,因为AB ∥EF,CD ∥AB,所以CD ∥EF(两条直线都与第三条直线平行, 这两条直线也互相平行).所以∠F=∠FCD(两直线平行,内错角相等).因为CD ∥AB.所以∠B=∠BCD(两直线平行,内错角相等).所以∠B+∠F=∠BCF. (2)教师投影课本P23探究的图(图5.3-4)及文字.①学生读题思考:线段B 1C 1,B 2C 2……B 5C 5都与两条平行线的横线A 1B 5和A 2C 5垂直吗?它们的长度相等吗?②学生实践操作,得出结论:线段B 1C 1,B 2C 2……,B 5C 5同时垂直于两条平行直线A1B5和A 2C 5,并且它们的长度相等.③师生给两条平行线的距离下定义.学生分清线段B 1C 1的特征:第一点线段B 1C 1两端点分别在两条平行线上,即它是夹在这两条平行线间的线段,第二点线段B 1C 1同时垂直这两条平行线. 教师板书定义:(像线段B 1C 1)同时垂直于两条平行线, 并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.④利用点到直线的距离来定义两条平行线的距离.F EDCBA教师画AB ∥CD,在CD 上任取一点E,作EF ⊥AB,垂足为F.学生思考:EF 是否垂直直线CD?垂线段EF 的长度d 是平行线AB 、CD 的距离吗? 这两个问题学生不难回答,教师归纳:两条平行线间的距离可以理解为:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.教师强调:两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置改变而改变. 3.了解命题和它的构成.(1)教师给出下列语句,学生分析语句的特点.①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行; ②等式两边都加同一个数,结果仍是等式; ③对顶角相等;④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断. (2)给出命题的定义.判断一件事情的语句,叫做命题.教师指出上述四个语句都是命题,而语句“画AB ∥CD”没有判断成分,不是命题.教师让学生举例说明是命题和不是命题的语句. (3)命题的组成.①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项. ②命题的形成.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.有的命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题判断了什么事情，有什么已知事项，再改写成“如果……，那么……”形式. 师生共同分析上述四个命题的题设和结论,重点分析第②、③语句. 第②命题中,“存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设， “结果仍是等式”是结论。

平行线的性质与判定

平行线的性质与判定

判定方法：如果两条直线 被第三条直线所截，且同 位角相等，则这两条直线
平行
证明：根据同位角的性质， 如果同位角相等，则两条
直线平行
应用：在几何证明和实 际问题中，常常需要利 用同位角相等来判断两
条直线是否平行
注意事项：同位角相等是 判定两条直线平行的充分
条件，但不是必要条件
内错角相等则两直线平行
判定方法：内错角相 等，则两直线平行
平行线的性质与判定
汇报人：XX
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 平 行 线 的 性 质 03 平 行 线 的 判 定 04 平 行 线 的 应 用
01
添加章节标题
02
平行线的性质
平行线的同位角相等
定义：同位角相等，两直 线平行
性质：同位角相等，两直 线平行
判定：两直线平行，同位 角相等
证明过程：利用同位 角性质，证明两直线
平行
应用举例：在几何问 题中，常用来判断两
条直线是否平行
注意事项：内错角相 等是判定两直线平行 的充分条
证明过程：利用同旁内角的性 质，通过角度计算证明两直线 平行
应用场景：在几何证明题中， 常用于证明两条直线平行
判定方法：同旁内角互补，则 两直线平行
0
0
0
0
1
2
3
4
平行线在日常生活中的应用
建筑学：在建筑设计时， 利用平行线的性质确定建 筑物的位置和方向，保证
建筑物的稳定性。
交通工具：汽车、火车等 交通工具的轨道线都是平 行的，这样可以保证车辆
安全、稳定地行驶。
电子设备：电视、电脑等 显示器的屏幕线都是平行 的，这样可以保证图像的
平行线的性质定理和判定定理课件

平行线的性质定理和判定定理课件


简单说成：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ∠1+ ∠2=180°， ∴ a∥b.
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论；
a1 b2
c
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
【议一议】 据说,人类知识的75%是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为 什么？ 通过这个操作活动,得 到了什么结论?
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．
但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命 题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就是假命题．
【跟踪训练】
1.举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被 5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位 数字是5. 例如，10能被5整除，但它的个位数字是0. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如，60°= 60°，但这两个角不是直角.
4.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
条件：到一个角的两边距离相等的点. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 5.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：线段垂直平分线上的点. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上.
a
∵∠1+∠2=180°, ∴ a∥b.
b
c
1
2
c
第2讲 平行线的判定与性质

第2讲 平行线的判定与性质

线交于点 F．
A
D
C
A
P
B
C
O
B
A
B
图1
图2
图3
【答案】如图所示．
MA
N
A
H P
D
C
B
C
O
E
B
A
图1
图2
EB
F
图3
探究二 平行线中的折叠问题
【例 2】如图，把一张长方形纸条 ABCD 沿 EF 折叠，若∠1＝50°，则∠AEG 的度数为________．
A
E
D
【答案】80°
BG D'
1 FC
C'
A
E 1
B
G
H 2
C
F
D
【变 4】如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD． A
【答案】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）， ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠DCA， ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
C E
F
1 2D 3
A
G
B
E 1 F
D
2
C
GB
【变 5】如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°，试判断 BF 与 AC 的位置关系， 并说明理由．
【答案】解：BF 与 AC 的位置关系是：BF⊥AC． 理由：∵∠AGF＝∠ABC， ∴BC∥GF，∴∠1＝∠3； 又∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠2＋∠3＝180°，∴BF∥DE； ∵DE⊥AC，∴BF⊥AC．