绝密★启用前广东省汕头市潮阳区潮师高级中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合M ={x ∈N |x 2-1=0}，则有（ ） A ．{}1M ∈ B ．1M -∈C ．{}1,1M -⊆D ．{1,-0，{}1}1M ⋂= 2．下列四组中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A ．()f x x =，()g x =B ．()f x x =，()2g x =C ．()2f x x =，()3x g x x=D ．()f x x =，()()(),0,0x x g x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩3．已知函数22,2()log (1),2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则((5))f f 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若()22(1)2f x x a x =--+在(],5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．6a >B ．6a ≥C ．6a <D ．6a ≤5．函数 f （x ）=lnx+2x-6的零点x 0所在区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．下列函数中，是偶函数又在区间 上递增的函数为……装…………○…………订…※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答……装…………○…………订…7．已知函数()f x是R上的偶函数，且()()31f f>，则下列各式一定成立的是A．()()06f f<B．()()32f f>C．()()13f f-<D．()()20f f>8．、若方程2(2)50x m x m++++=只有负根，则m的取值范围是（）A．4m≥B．54m-<≤-C．54m-≤≤-D．52m-<<-9．设0.2611log7,,24a b c⎛⎫===⎪⎝⎭，则,,a b c的大小关系是（）A．a b c>>B．b c a<<C．b c a>>D．a b c<<10．函数()2log1y x=+的图象大致是()A．B．C．D．11．函数112xy-=的值域为（）A．(1,)+∞B．(0,)+∞C．(0,1)(1,)⋃+∞D．(0,1)12．已知函数()f x=的定义域是R，则实数a的取值范围是()A．a>13B．－12<a≤0C．－12<a<0 D．a≤13第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明………装…………○……__________姓名：___________班级：__………装…………○……13．若集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，则集合M N 的真子集个数为 .14．函数213log (23)y x x =+-的单调增区间为 ．15．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．16．021.10.5lg252lg2-+++=__________．三、解答题17．已知集合A ={x |x 2-4x +3≤0}，B ={x |log 2x ＞1}， （I ）求A∩B ，（∁R B ）∪A ；（II ）若{x |1＜x ＜a }⊆A ，求实数a 的取值范围．18．已知()y f x = 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥ 时，2()2f x x x =-（1）求(1),(2)f f -的值； （2）求()f x 的解析式；（3）画出()y f x =简图；写出()y f x =的单调递增区间(只需写出结果，不要解答过程).19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<< （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；20．已知函数f （x ）=log m33x x -+（m ＞0且m ≠1）， （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若m =12，判断()f x 在（3，+∞）的单调性； 21．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为4000元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 22．已知函数2()22,[5,5],f x x ax x =++∈-（1）若()y f x = 在区间[5,5]- 上是单调函数，求实数a 的取值范围. （2）求函数在[5,5]-上的最大值和最小值；参考答案1．D 【解析】 【分析】求出集合M ，由此能求出结果． 【详解】解：由集合{}2M N |10{1}x x =∈-==，知： 在A 中，{1}M ⊆，故A 错误； 在B 中，1M -∉，故B 错误； 在C 中，{1,1}M -⊇，故C 错误； 在D 中，{1,0,1}M {1}-=，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．D 【解析】 【分析】A 项对应关系不同；B 项定义域不同；C 项定义域不同，初步判定选D 【详解】对A ，()g x x =，与()f x x =对应关系不同，故A 错对B ，()2g x =中，定义域[)0,x ∈+∞，与()f x x =定义域不同，故B 错对C ，()3x g x x=中，定义域0x ≠，与()f x x =定义域不同，故C 错对D ，()f x x =，当0x ≥时，()f x x =，当0x <时，()f x x =-，故()()(),0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，D 正确 故选：D【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样） 3．D 【解析】由函数22,2()log (1),2x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩ ，可得()225log (51)log 42f =-==，所以2((5))(2)24f f f ===，故选D. 4．B 【解析】由函数()22(1)2f x x a x =--+的对称轴方程为2(1)12a x a -==-， 函数()f x 在(,5]-∞是减函数，所以15a -≥，解得6a ≥，故选B. 5．C 【解析】 【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间． 【详解】∵连续函数f （x ）=lnx+2x-6是增函数，∴f （2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f （3）=ln3＞0， ∴f （2）•f（3）＜0，故函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 6．C 【解析】由偶函数排除A,B;由函数在区间 ∞ 上递增排除D,故答案为C. 7．C 【解析】 【分析】利用函数是偶函数，将结论转化为f （3）和f （1）的大小关系进行判断即可． 【详解】因为函数是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）， 因为f （3）＞f （1），所以f （3）＞f （﹣1）． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，比较基础． 8．A 【解析】若方程2(2)50x m x m ++++=只有负根，则2)2(4(5)0(2)050m m m m +⎧∆=-+≥⎪-+>⎨⎪+<⎩，解得4m ≥，故选A. 9．A 【解析】解：首先，b,c 都小于1，又0.2266111log 7log 61,224a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=>==>==∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选A点评：本题考查对数值大小关系的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数和指数函数性质的灵活运用 10．C 【解析】 【分析】函数()2log 1y x =+的图象是由函数2log y x =的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论． 【详解】函数()2log 1y x =+的图象是由函数2log y x =的的图象向左平移了一个单位得到的，定义域为()-1+∞，，过定点()00，，在()-1+∞，上是增函数， 故选C 【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，函数图象的平移变换，属于基础题 11．C 【解析】令()11f x x =-，由10x -≠，则()0f x ≠，所以101221x y -=≠=，又1120x ->，所以函数112x y -=的值域为()()011⋃+∞，，，故选C. 12．B 【解析】 【分析】由题意可知230ax ax +-≠对于一切实数都成立，分类讨论，求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知230ax ax +-≠对于一切实数都成立,当a ＝0时，不等式成立，即符合题意； 当0a ≠时，要想230ax ax +-≠对于一切实数都成立，只需24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得 －12<a <0,综上所述，实数a 的取值范围是－12<a ≤0，故本题选B. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了分类思想. 13．1 【解析】略14．()--3∞，【解析】 试题分析：，3x <-或1x >，在3x <-时递减，在1x >时递增，又13log y u =单调递减，所以原函数的单调减区间是(,3)-∞-．考点：函数的单调性．【名师点晴】本题考查复合函数的单调性，函数(),y g t t M =∈，()t h x =，()t h x =的值域为N ，且N M ⊆，则复合函数(())y g h x =的单调性与(),()g t h x 的关系是：(),()g t h x 同增或同减时，(())y g h x =是单调递增，当(),()g t h x 的单调性相反时，(())y g h x =是单调递减．求函数的单调区间必先求函数的定义域，象本题由得3x <-或1x >，然后在区间(,3)-∞-和(1,)+∞上分别研究其单调性即可． 15．3 【解析】 【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值. 【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(,12,2aa ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 16．5【解析】原式()2162lg 254325=+-+⨯=+=.17．（Ⅰ）A ∩B ={x |2＜x ≤3}，（∁R B ）∪A ={x |x ≤3}．（Ⅱ）a ≤3． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先解不等式得集合A ，B ，再根据交集、补集、并集定义求结果，（II ）根据子集为空集与非空分类讨论，解得结果. 【详解】解：（Ⅰ）{}{}22|430{|13},|log 1{|2}A x x x x x B x x x x =-+≤=≤≤=>=>则{|23},{|2}R AB x xC B x x =<≤=≤,(){|3}R C B A x x =≤（Ⅱ）若{|1}x x a <<=∅,即1a ≤，满足条件, 若{|1}x x a <<≠∅，则需1313a a a >≤∴<≤， 综上3a ≤． 【点睛】本题考查集合交并补运算以及解不等式，考查基本运算求解能力，属基础题.18．（1）(1)1,(2)(2)0f f f =--==；（2）222,[0,)()+2,,0x x x f x x x x ⎧-∈+∞=⎨∈-∞⎩（）；（3） [1,0][1,)-⋃+∞ 【解析】试题分析：利用函数的奇偶性，直接代入即可求解相应的函数值，利用二次函数的图象和性质，确定二次函数的单调性和值域，即可得到结论. 试题解析：解： （1） ()()()11,220f f f =--==（2）()[)222,0,+2,,0x x x f x x x x ⎧-∈+∞=⎨∈-∞⎩（）（3）（图略）单调增区间为：[]1,0-，[)1,+∞19．（1）（-3，1） （2）1-± （3）min ()log 4a f x = 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义，真数需要大于0，列不等式解得即可． （2）函数的零点也是就方程的解，解方程即可 （3）将真数配方求范围再利用对数函数单调性求最小值 【详解】（1）要使函数有意义：则有10{30x x ->+>，解之得：31x -<<，所以函数的定义域为：（-3，1）（2）函数可化为2()log (1)(3)log (23)a a f x x x x x =-+=--+由()0f x =，得2231x x --+=，即2220x x +-=，1x =-13(3,1)-±∈-，()fx ∴的零点是1-±（3）函数可化为：22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦ 31x -<<20(1)44x ∴<-++≤01a <<，2log (1)4log 4a a x ⎡⎤∴-++≥⎣⎦，即min ()log 4a f x =【点睛】本题主要考查了对数函数的定义和性质以及函数的零点问题，灵活转化函数的形式是关键，属于中档题．20．（1）奇函数，证明见解析； （2）f （x ）在（3，+∞）上单调递减【解析】【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用函数奇偶性的定义证明；（2）根据函数单调性的定义判断；【详解】（1）f （x ）是奇函数；证明如下：由303x x -+＞解得x ＜-3或x ＞3， 所以f （x ）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称． ∵()3333mm x x f x log log x x --+-==-+-=()13()3m x log f x x -+=--， 故f （x ）为奇函数（2）任取x 1，x 2∈（3，+∞）且x 1＜x 2，()()1212123333m m x x f x f x log log x x ---=-++=()()()()12123333m x x log x x -++-， ∵（x 1-3）（x 2+3）-（x 1+3）（x 2-3）=()126x x - ＜0，∴（x 1-3）（x 2+3）＜（x 1+3）（x 2-3）， 即()()()()121233133x x x x -++-＜，当m =12时，()()()()12112233033x x log x x -+>+-，即f （x 1）>f （x 2）． 故f （x ）在（3，+∞）上单调递减．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域、零点等问题，属于中档题目．21．（1）80辆；（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.【解析】【分析】（1）当每辆车的月租金定为4000元时，未租出的车辆数为400030002050-=，从而可得到租出去的车辆数；（2）设每辆车的月租金为x 元，租赁公司的月收益函数为y =f (x )，建立函数解析式，利用配方法求出最大值即可．【详解】（1）当每辆车的月租金定为4000元时，未租出的车辆数为400030002050-=，100﹣20=80， 所以这时租出了80辆车.（2）设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为30003000()(100)(150)505050x x f x x --=---⨯， 整理得21()(4050)30705050f x x =--+， 所以，当4050x =时， ()f x 最大，最大值为(4050)307050f =，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.【点睛】本题考查二次函数的应用，结合实际问题列出合适的函数模型是解题的关键，属中档题. 22．（1）(,5][5,)-∞-+∞； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由二次函数的性质，可得使得函数()y f x = 在区间[5,5]- 上是单调函数，则满足5a -≤-或5a -≥，即可求解；（2）由（1），根据二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解函数的最大值和最小值，得到答案.【详解】（1）由题意，函数2()22f x x ax =++表示开口向上的抛物线，且对称轴为x a =-，若使得函数()y f x = 在区间[5,5]- 上是单调函数，则满足5a -≤-或5a -≥，解得5a ≥或5a ≤-，即实数a 的取值范围(,5][5,)-∞-+∞.（2）由（1）可知，①当0a -≤时，即0a ≥时，函数的最大值为(5)1027f a =+；当0a ->时，即0a <时，函数的最大值为(5)1027f a -=-+；②当5a -≤-时，即5a ≥时，函数()f x 在区间[5,5]-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为(5)1027f a -=-+；当55a -<-<时，即55a -<<时，函数()f x 在区间[5,]a --上单调递减，在[,5]a -单调递增，所以函数()f x 的最小值为2()2f a a -=-+；当5a -≥时，即5a ≤-时，函数()f x 在区间[5,5]-上单调递减，所以函数()f x 的最小值为(5)1027f a =+.综上所述：当5a ≥时，最小值为1027a -+；最大值为1027a +；当05a ≤<时，最小值为22a -+，函数的最大值为1027a +；当50a -<<时，最小值为22a -+，函数的最大值为1027a -+；当5a ≤-时，最小值为1027a +，函数的最大值为1027a -+；【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.。
