高三期终考试题及答案

滨城高中联盟2024－2025学年度上学期高三期中II 考试化学试卷注意事项：1.考试时间为75分钟，试卷满分100分。

2.按照要求填写答题纸，答案必须写在答题纸上，写在试卷上不得分。

可能用到的相对原子量：H －1 C －12 O －16 N －14 －115第I 卷（选择题，共45分）一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分，每小题只有一个正确答案。

）1.化学与环境、材料、能源、信息等生产生活息息相关，下列说法正确的是（ ）A.“燃煤脱硫”技术有利于我国早日实现“碳达峰、碳中和”B.“神舟十八号”返回舱使用的耐高温材料包括碳化硅等新型陶瓷C.研制的高效率钙钛矿太阳能电池能将化学能转化为电能D.光导纤维具有通信容量大，抗干扰性能强等优点，其主要成分是硅单质2.下列化学用语或图示表达不正确的是（ ）A.天然橡胶的主要成分顺式聚异戊二烯的结构简式：B.邻羟基苯甲醛分子内氢键的示意图：C.的电子式为，空间构型为正四面体D.的模型：3.制备钴配合物的反应为：设为阿伏伽德罗常数的值。

下列说法错误的是（ ）A.消耗标准状况下时，反应中转移电子数为B.氧化剂与还原剂的物质的量之比为C.反应前后N 、O原子的杂化方式未发生改变In 4NH +3SO VSEPR ()336Co NH Cl ⎡⎤⎣⎦()2432233262CoCl 2NH Cl 10NH H O 2Co NH Cl 2H O ⎡⎤++++⎣⎦活性炭A N 311.2LNH A 0.1N 1:2D.中含有键的数目为4.下列鉴别或检验能达到实验目的的是（ ）A.用金属钠检验乙醇中混有少量的水B.用硝酸银溶液鉴别氯苯与溴苯C.用酸性高锰酸钾溶液鉴别甲苯与环己烯D.用溶液鉴别和5.下列离子方程式书写正确的是（ ）A.将标准状况下通入溶液中：B.用石墨电极电解溶液：C.向溶液中滴加溶液和稀氨水，产生大量白色沉淀：D.向明矾溶液中滴加过量溶液：6.研究一个化学反应时需要关注该反应的快慢与历程、趋势与限度，下列说法正确的是（ ）A.活化分子间的碰撞一定能发生化学反应B.加入适宜的催化剂能增大活化分子的百分数C.化学平衡正向移动，反应物的平衡转化率一定增大D.反应 在低温条件可能自发进行7.对二甲苯是一种重要的有机原料。

山东省潍坊市2023-2024学年高三上学期期中考试语文试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分)（一)现代文阅读I（本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。

毫无疑问，科学家们很早就懂得科学中蕴涵着奇妙的美。

哥白尼伟大著作《天体运行论》第一句话就是“在哺育人的天赋才智的多种多样的科学和艺术中，我认为首先应该用全副精力来研究那些与最美的事物有关的东西”。

我试图用一些词来定义科学中的美，显然，和谐、优雅、一致、简单、整齐等都与科学中的美，特别是与理论物理中的美有关。

但是，思索着怎样把这些词组合在一起去形成“美”的定义时，我开始意识到，事实上物理学中美的概念不是固定的。

我们对理论物理学中美的理解是变化的。

对于这种变化，影响最显著最重要的是理论物理学日益增长的数学化。

人们公认伽利略时代是现代物理诞生时期。

他教导科学界说，如果你明智地选择了你观察到的事物，你将会发现，从一些纯化的和理想化的关于自然界的实验中得出的物理定律，可以用精确的数学语言来描述。

伽利略的观念是一种深刻的美的观念。

后来是牛顿，我们都知道他给了我们一个完整的经典力学体系。

通过他的工作，物理学的数学化取得了进展，并被认为是非常严格的数学化。

在最近的物理学中，数学化正在加速进行。

量子力学概念的数学基础是称之为希尔伯特空间的漂亮而抽象的数学理论，非阿贝尔规范物理理论是令人惊奇地建立在纤维丛几何上的，而纤维丛几何与20世纪二三十年代的物理学没有任何关系，是由数学家们独立讨论的。

所有这些数学发展对20世纪的物理学是非常重要的，它们相当抽象又非常美丽。

也许现在我们可以开始去了解，物理学数学化的加速导致了理论物理学中美的概念发生了怎样的变化。

机密★启用前试卷类型A山东名校考试联盟2024—2025学年高三年级上学期期中检测地理试题2024.11本试卷满分为100分，考试用时90分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在规定的位置上。

2.回答选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.回答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔作答(作图除外),答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带和其他笔。

一、选择题：本大题共15题，每小题3分，共45分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

江西省三清山及周边地区的沉积岩和花岗岩广布，花岗岩的垂直和水平节理发育，峰林地貌典型，形态多样。

图1示意三清山地区花岗岩地貌的演化过程，据此完成1～2题。

图 11.由 P 到Q 登山途中，岩层年龄的变化特点是A. 由老到新B. 由新到老C. 新～老～新D. 老～新～老2.花岗岩峰林地貌的主导作用①冻融风化作用②重力崩塌作用③流水溶蚀作用④流水侵蚀作用A.①④B.②③C.②④D.①③四川省某地以丘陵、盆地为主，部分地层含有可溶性膏盐。

浅层地下水具有“就地补给、就近排泄”特点，形成相对独立的水循环系统。

由于含盐量差异，地下水分为淡水层、咸水层和微咸水层，垂直分层现象显著。

图2为某小盆地的浅层地下水分布示意图。

据此完成3～4题。

图 23.可稳定开采优质淡水的钻孔是A.甲B.乙C.丙D. 丁4.咸水层A.中部厚度小B.更新周期长C.排泄条件好D.埋藏深度季节变化大台风形成于热带洋面，西太平洋副热带高压(副高)的位置与形态是影响台风路径的首要因素，北上路径的台风还受到中高纬度气压系统的影响。

图3示意“影响北上路径台风的气压系统可能位置”。

据此完成5～6题。

5.图示气压系统的可能位置，有利于北上路径台风发育的是A.H1—L1B.H1—L2C.H2—L1D.H2—L26.北上路径台风A.沿着副高系统的东侧移动B.登陆地西侧常现凉爽天气C.等级在北上途中逐渐提高D.极端暴雨的出现概率较小秦岭冷杉枝叶繁茂，喜温凉，幼苗成活率低且所需的生境条件严苛，被列为国家珍稀濒危植物，主要分布在秦巴山区的中高海拔山地北坡和南坡沟谷。

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高三年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4.参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则a 等于（）A.1B.1- C.3- D.3【答案】D 【解析】【分析】根据集合间的基本关系求参.【详解】因为{}0,1A =-，{}0,1,2B a =-且A B ⊆，则12a -=-,所以3a =.故选：D.2.设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，12i z =-，则12z z =（）A.34i 55- B.34i 55+C.41i5+ D.41i5-【答案】A 【解析】【分析】先根据复数关于实轴对称得出22i z =+,再应用复数的除法及乘法计算化简即可.【详解】复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，故21z z =.所以()2221111222211112i 34i 34i 21555z z z z z z z z z --======-+.故选：A.3.若命题“x ∃∈R ，220x x a ++<成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≤B.1a <C.1a ≥D.1a >【答案】B 【解析】【分析】利用判别式法求解.【详解】解：因为x ∃∈R ，220x x a ++<成立，所以440a ∆=->，解得1a <，故选：B4.在ABC V 中，D 是BC 上一点，满足2BD DC =，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+ ，则λμ+=（）A.54B.78C.56D.58【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.【详解】由题可知，11122222AM AD BM BA BD BA BM BA BD =⇒-=-⇒=+，()2322BD DC BC BD BD BC ==-⇒= ,所以有11122213BM BA BD BA BC =+=+ ，所以11,23λμ==，得56λμ+=.故选：C5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则该圆锥的高为（）A.2B.2C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高.【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ，因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的侧面展开图是一个面积为π的半圆，则π2π12ππ2l r l r =⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得2,2r l ==，则该圆锥的高为62h ==.故选：A.6.函数()()sin 20y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，直线12y =与其交于A ，B 两点，若π3AB =，则ω=（）A.4B.3C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】首先解方程()1sin 22x ωϕ+=，结合图象，求得方程的实数根，即可求解ω的值.【详解】令()1sin 22x ωϕ+=，则5π22π6A x k ωϕ+=+，13π22π6B x k ωϕ+=+，Z k ∈，则()2π3B A x x ω-=，且π3B A AB x x =-=，所以2ω=.故选：C7.已知函数()e e xxf x -=+，若3log 0.6a =，0.013b =，5log 3c =，则有（）A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f a f b >>【答案】B 【解析】【分析】由已知可得()f x 为偶函数，则()335log 0.6log 3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得3510log 32<<，1b >，112c <<，又当0x >时，由′>0，可得()f x 为单调递增函数，即可得到答案.【详解】因为函数()e e xxf x -=+且定义域为R ，则()()ee xx f x f x --=+=，所以()f x 为偶函数，因为333log 0.6log 05a ==<，则()()333335log 0.6log 0.6log log 53f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又3351log log 32<=，335log log 103>=，0.010331b =>=，551log 3log 2c =>=，55log 3log 51c =<=，则112c <<，所以0.015353log 3log 3>>，当0x >时，因为()e e0xxf x -=->'，所以()f x 为单调递增函数，所以()()()f b f c f a >>.故选：B.8.已知函数()()221f x a x bx a =-+-+（a ，b ∈R 且2a ≠）在区间[]1,2上有零点，则22a b +的最小值为（）A.32 B.12C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得22a b +的最小值.【详解】依题意()()2210f x a x bx a =-+-+=在区间[]1,2上有零点，整理得()221120x a xb x -++-=在[]1,2上有解，(),a b 表示坐标系aOb 中，直线()221120x a xb x -++-=（x 看成参数）上的点，所以22a b +表示原点到直线()221120x a xb x -++-=上的点的距离的平方，设4222424224413344111324x x d d x x x x x -+===-=--+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，由于212,14x x ≤≤≤≤，所以当1x =时，2d 取得最小值为431-=，所以22a b +的最小值为1.故选：D【点睛】关键点点睛：主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7B.若随机变量X 服从二项分布()~20,X B p ，且()8E X =，则() 4.8D X =C.X 和Y 是分类变量，若()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++值越大，则判断“X 与Y 独立”的把握性越大D.若随机变量X 服从正态分布()2~2,X N σ，且()50.2P X >=，则()150.6P X -<<=【答案】BD 【解析】【分析】根据极差和众数的概念即可判断A ；根据二项分布的性质即可判断B ；根据独立性检验的思想即可判断C ；根据正态曲线的性质即可判断D.【详解】A ：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A 错误；B ：由(20,),()8X B p E X = ，得()208E X np p ===，解得25p =，所以23()(1)20 4.855D X np p =-=⨯⨯=，故B 正确；C ：2χ值越大，X 和Y 有关系的可能性就越大，则“X 与Y 独立”的把握越小，故C 错误；D ：由2(2,),(5)0.2X N P X σ>= ，得(1)(5)0.2P X P X <-=>=，所以(15)1(1)(5)0.6P X P X P X -<<=-<-->=，故D 正确.故选：BD10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足13a =，且()()*1310n n n a na n ++-=∈N ，则下列结论中正确的是（）A.{}n na 为等比数列B.n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列C.3nn a n =⋅ D.()1213344n n n S +-=⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】由题设得{}na n是首项、公比为3的等比数列，即可判断A 、B 、C ；应用错位相减法、等比数列前n 项和判断D.【详解】由题设113n n a a n n +⋅=+，且131a =，故{}n a n 是首项、公比为3的等比数列，所以3n na n=，则3n n a n =⋅，故{}n na 不是等比数列，A 错，B 、C 对；由1213233nn S n =⨯+⨯++⋅ ，则23131323(1)33n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，所以112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-⋅=-⋅=- ，所以1(21)334n n n S +-+=，D 对.故选：BCD11.已知曲线C 的方程为：()()2222104340x y y x y y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=<⎩，()1,0M -，()1,0N ，过M 的直线交曲线C 于A 、B 两点（A 在B 的上方），已知AMN α∠=，ANM β∠=，下列命题正确的是（）A.()sin sin 2sin αβαβ+=+B.tan3tan 22αβ+的最小值是2C.ABN周长的最大值是4+D .若π3α=，将AMN 沿MN 翻折，使面AMN ⊥面MNB ，则折后3132AB +=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理，结合椭圆概念，即可判断；对于B ，由()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，利用三角恒等变换可得1tantan 223αβ⋅=，再由基本不等式可得tan 3tan 22αβ+的最小值；对于C ，由ABN 周长4BM NB =++，对于BM NB +=，利用基本不等式即可得到ABN 周长的最大值；对于D，由直曲联立可得A y =，又224B B x y +=，则折后AB ==D.【详解】由已知，在AMN 中，已知AMN α∠=，ANM β∠=，由正弦定理得()sin sin sin MN AM AN αβαβ+=++，又2122MN c AM ANa ==+，即()sin 1sin sin 2αβαβ+=+，所以()sin sin 2sin αβαβ+=+，故A 正确；由()2sincos sin 22sin sin sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-+-+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sincos cos 2222sin cos cos222αβαβαβαβαβαβ+++==+--coscos sin sin 1tan tan 12222222cos cos sin sin 1tan tan222222αβαβαβαβαβαβ--===++，得：1tan tan 223αβ⋅=，在AMN 中，0π,0παβ<<<<，则ππ0,02222αβ<<<<，所以tan 0,tan 022αβ>>，故tan3tan 222αβ+≥=，当且仅当tan12α=，1tan 23=β时取到最小值是2，故B 正确；ABN 周长4BM MA AN NB BM NB =+++=++，设s ，22x -<<，又()1,0M -，()1,0N ，则BM NB +==≤==，即0x =时，等号成立，故ABN周长的最大值是4+C 正确；设AB 的方程是：13x y +=与22143x y +=联立得：2590y --=，解得：5A y =-（舍去）或A y =，则点A 为椭圆上顶点，A AO y ==，又B 在圆224x y +=上，所以2224B B OB x y =+=，又沿MN 翻折后，平面AMN ⊥平面MNB ，平面AMN ⋂平面MNB MN =，AO MN ⊥，则AO ⊥平面MNB ，又BO ⊂平面MNB ，则AOBO ⊥，所以AB ===D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：B 选项中利用三角恒等变换弦化切，再利用基本不等式求最值；C 选项先利用椭圆定义和两点间距离公式，再利用基本不等式求最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线221425y x -=的渐近线方程为______.【答案】25y x =±【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案.【详解】由220425y x -=得224,25a b ==，即2,5a b ==，焦点在y 轴上，所以渐近线方程为25y x =±.故答案为：25y x =±13.已知212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-展开式的二项式系数之和为64，则展开式中3x 项的系数为______.（用数字作答）【答案】160-【解析】【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合展开式的通项运算求解即可.【详解】由题意可知：264n =，解得6n =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()612316662C C ,0,12121,,6r r rr r rr r T x r x x ---+⎛⎫-=-⋅⋅ =⋅=⋅⎭⋅⋅⎪⎝，令1233r -=，解得3r =，所以展开式中3x 项的系数为()3336C 21601=--⋅⋅.故答案为：160-.14.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】512【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有44A 24=种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有33A 6=种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有222A 4=种情况.故所求概率为6452412+=.故答案为：512.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos sin 0a C a C b c +--=.（1）求角A ；（2）若4a =，ABC V 的面积为2，求sin sin B C 的值.【答案】（1）π2A =（2）sin sin 16B C =【解析】【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解；（2）由面积公式和正弦定理即可求解.【小问1详解】由条件得cos sin a C a C b c +=+，从而()cos sin cos cos cos cos a C a C b c a C c A c a C c A c +=+=++=++.所以sin cos a C c A c =+，由正弦定理得sin sin sin cos sin A C C A C =+，故sin cos 1A A =+.从而()222211sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos A A A A A A A A ==-=+-=-，得sin cos 0A A =，故cos 0A =.所以π2A =.【小问2详解】设ABC 的面积为S ，则22sin sin sin 1sin 2sin sin ·16161616B C A bc bc A S B C bc bc bc b c a a ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.已知函数2()2ln f x x ax x =-+，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）72a =；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出a 值.（2）分类讨论判断()f x '值的正负情况，求出函数的单调区间.【小问1详解】函数2()2ln f x x ax x =-+，求导得2()2f x x a x'=-+，由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线20x y +=，得1(1)222f a '=-+=，所以72a =.【小问2详解】函数2()2ln f x x ax x =-+的定义域为(0,)+∞，222()x ax f x x'-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，方程2220x ax -+=中，216a ∆=-，若04a <≤，则0∆≤，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；若4a >，则0∆>，关于x 的方程2220x ax -+=有两个正根，14a x =，24a x +=，当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<，因此函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以当4a ≤时，函数()f x 的递增区间是(0,)+∞；当4a >时，函数()f x 的递增区间是0,,44a a ∞⎛⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递减区间是,44a a ⎛+ ⎝⎭.17.如图，三棱锥P ABC -中，CP CA CB ==，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PBC ⊥平面ABC .（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）若ACB ∠为钝角，且二面角B PA C --的大小为45︒，求cos ACB ∠.【答案】（1）证明见解析（2）1cos 3ACB ∠=-【解析】【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得OM ⊥平面PAC ，利用线面垂直的性质可得OM PC ⊥、ON PC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得BH ⊥平面PAC ，得45BQH ︒∠=，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则2sin ,BH QH θ==，根据BH QH =建立方程，解之即可求解.法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于θ的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解.【小问1详解】如图，在平面ABC 内取点O ，过O 作OM AC ⊥于M ，过O 作ON BC ⊥于N ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，OM ⊂平面ABC ，OM ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，OM PC ∴⊥，同理可证ON PC ⊥，又ON OM O = ，ON OM ⊂、平面ABC ，PC ∴⊥平面ABC ；【小问2详解】法一：如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ，过H 作HQ PA ⊥于点Q ，连接BQ ，PC ⊥ 平面ABC ，BH ⊂平面ABC ，PC BH ∴⊥，又AC PC C ⋂= ，、⊂AC PC 平面PAC ，BH ∴⊥平面PAC ，则BQH ∠为二面角B PA C --的平面角，即45BQH ︒∠=设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则sin 2sin BH BC θθ==，cos(π)2cos CH CB θθ=-=-，所以22cos AH AC CH θ=+=-，又PC AC =，所以45PAC ︒∠=，所以QH ==，由BH QH =2sin θ=，cos 1θθ+=，又22sin cos 1θθ+=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍去），综上1cos 3θ=-.法二：如图，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2PC AC BC ===，ACB θ∠=，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()2cos ,2sin ,0B θθ，()002P ,,，易知平面PAC 的法向量为()0,1,0m =，设面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则()()()()()2,0,2,,2202cos 2,2sin ,0,,2cos 22sin 0PA n x y z x z AC n x y z x y θθθθ⎧⋅=-⋅=-=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩ ，22cos 1,,12sin n θθ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，则cos ,2m n m n m n⋅==⋅，整理得222sin 4cos 4cos 0θθθ-+=，由22sin 1cos θθ=-，得23cos 2cos 10θθ--=，解得1cos 3θ=-或cos 1θ=（舍），综上，1cos 3θ=-.18.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为：()22116x y ++=，定点()10F ,，B 是圆C 上任意一点，线段BF 的垂直平分线l 和半径BC 相交于点T .（1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知点()2,0A -，过点F 的一条直线，斜率不为0，交曲线W 于P 、Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线3x =交于M ，N 两点，求证：直线FM 与直线FN 的斜率之积为常数.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T 的轨迹为椭圆，然后求得,a c ，即可得到标准方程；（2）根据题意，设直线:1PQ x my =+，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到,M N 的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明.【小问1详解】由题意：点T 在线段BF 的垂直平分线上，则TB TF =，可得42TC TF TC TB CB CF +=+==>=.由椭圆定义可得，点T 的轨迹是以()1,0C -，1,0为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为24a =，焦距为22c =，2413b =-=，所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=【小问2详解】由（1）知−2,0，1,0，设直线:1PQ x my =+，1,1，2,2，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+根据题意可设()3,M M y ，()3,N N y ，则由11322M y yx =++，可得11115523M y y y x my ==++，同理可得2253N y y my =+，所以直线FM 与直线FN 的斜率之积，()()()12122121212002525113131433439N M FM FN y y y y y y k k my my m y y m y y --=⋅=⋅=⋅--+++++22222229251125925925349644918273643616393434m m m m m m m m m ⎛⎫- ⎪-⨯⨯+⎝⎭=⋅=⋅=-=---++⨯⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以直线FM 与直线FN 的斜率之积为定值2516-.19.一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02πθ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg z ，如arg10=，πarg i2=，()πarg 13=.发现()()()()12111222121212cos cos cos z z r isin r isin r r isin θθθθθθθθ⎡⎤⋅=+⋅+=+++⎣⎦，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列；（3）求2n z 为实数的概率n Q .【答案】（1）1，i ，，1i +（2）答案见解析（3）1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，直接得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的取值为12，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列；（3）根据题意，由条件可得()2arg 0n z =或π，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在n 次操作中，分别设得到i 的次数为n a ，1+的次数为n b i +的次数为n c ，即可得到()0023n n n b c t k a +=+-，然后得到1n Q +与n Q 之间的关系，即可得到结果.【小问1详解】一次操作后可能的复数为：1，i ，1+i +，【小问2详解】一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，12，2由1212z z z z ⋅=⋅，故X 的取值为12，3，4()119P X ==，(29P X ==，()229P X ==.()139P X ==，(29P X ==，()149P X ==，所以X 的分布列为【小问3详解】若2n z 为实数，则()2arg 0n z =或π.而1，i ，1+i +的辅角主值分别是0，π2，0，π2，π3，π6，设在n 次操作中，得到i 的次数为n a ，得到1+的次数为n b i +的次数为n c ，于是()200π222a ππππrg 363n n n n n n nb c z a b c k a k +⎛⎫=⋅+⋅+⋅-=+- ⎪⎝⎭，从而{}0020,13n nn b c a k t ++-=∈，即()0023n n n b c t k a +=+-因此，所有的概率n Q 即为2n n b c +是3的倍数的概率，下面研究1n Q +与n Q 之间的关系.（ⅰ）2n n b c +是3的倍数，且第1n +次操作得到的复数是1，i （概率为23）；（ⅱ）2n n b c +被3除余1，且第1n +次操作得到的复数是1+（概率为16）；（ⅲ）2n n b c +被3除余2，且第1n +i +（概率为16）；因此由全概率公式可以得到：()1211113626n n n n Q Q Q Q +=+-=+变形得1111326n n Q Q +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中123Q =，故1111323n n Q -⎛⎫=+⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到1n Q +与n Q 之间的关系.。