行列式的计算方法总结

行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。

本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。

一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。

二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。

2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。

3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。

4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。

三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。

对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。

2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。

具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。

四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。

若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。

2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。

3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。

例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。

五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。

行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。

通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。

行列式的计算1二阶行列式
$number {01}
目 录
• 行列式的定义 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 二阶行列式的计算实例
01
行列式的定义
二阶行列式的定义
01
二阶行列式表示为2x2 的数字方阵，由上而下 按顺序排列，记作|a b;
c d|。
02
行列式中的数字a、b 、c、d分别表示方阵 中对应位置的元素。
THANKS
递推法
递推法是一种基于数学归纳法的计算行列式的方法，通过递推关系式逐步计算出行列式的值。
对于二阶行列式，递推法的基本思想是利用已知的二阶行列式的值，通过递推关系式计算出更高阶的 行列式的值。具体步骤为：先计算出二阶行列式的值，然后利用递推关系式逐步计算出更高阶的行列 式的值。
03
行列式的性质
行列式与转置行列式的关系
具体计算步骤为：D=a11*a22-a12*a21。其中，a11、a12、a21、a22分别代 表二阶行列式中对应的元素。
降阶法
降阶法是通过将高阶行列式转化为低阶行列式来计算的一种 方法。对于二阶行列式，降阶法就是将其转化为三角形行列 式来计算。
具体步骤为：先将二阶行列式的某一行或某一列的元素化为 零，然后利用展开式法计算剩余的元素，得到结果。
2
代数余子式具有反对称性，即对于任意一个n阶 行列式，任意交换两行或两列的位置，行列式的 值会变号。
3
代数余子式在计算行列式时具有消去性，可以通 过代数余子式展开来消去行列式中的某些元素， 从而简化计算。
02
行列式的计算方法
展开式法
展开式法是计算二阶行列式最直接的方法，根据二阶行列式的定义，将行列式按 主对角线元素相乘，副对角线元素相乘，然后相减得到算，即a*d-

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算方法-计算行列式的格式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。

本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。

关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。

行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)1•行列式的概念及性质 (2)1.1 n阶行列式的定义 (2)1.2行列式的性质 (2)2•行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)2.1定义法 (4)2.2利用行列式的性质 (5)2.3降阶法 (7)2.4升阶法（加边法） (9)2.5数学归纳法....................................................... 1.1...2.6递推法........................................................... 12…3. ............................................................................................................ 行列式计算的几种特殊技巧和方法. (14)3.1拆行（列）法.................................................... 1.4..3.2 构造法.......................................................... 1.7...3.3特征值法......................................................... 1.8…4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)4.1三角形行列式..................................................... 1.9..4.2 “爪”字型行列式.............................................. 1.9.. 4.3 “么”字型行列式............................................... 21.. 4.4 “两线”型行列式.............................................. 22. 4.5 “三对角”型行列式............................................. 23.4.6 范德蒙德行列式................................................. 25..5. 行列式的计算方法的综合运用....................................... 26. 5.1降阶法和递推法.................................................. 27.. 5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式. (27)5.3构造法和套用范德蒙德行列式 (28)小结................................................................. 29....参考文献............................................................. .3.0....学习体会与建议...................................................... 31...摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法•本文主要 介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：化三角 形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及 Van dermo nde 行列式、"两线 型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式•并对相应例题进行了分析和 归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征. 关键词：行列式计算方法 1 .行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下: ai2a 22 =a 11a 22 a 12a 21 , an a 12 a 13a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 a ii a 21a 11a 22a 33 a 12a 23a 31 a 13a 21a 32a 11a 23a 32 a 12a 21 a 33 a 13a 22a 31 -从二、三阶行列式的内在规律引出 n 阶行列式的定义.设有n 2个数，排成n 行n 列的数表a 11a 12a 1na 21 a 22 a 2na n1 a n2 a nn即n 阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的 乘积a1j 1 a 2j 2anj n时，⑴带负号.1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变.a 11 a 12 a 1na 11 a 21 a n1a 21 a 22 a 2na 12 a 22 a n2a n1 a n2 a nna 1 n a 2n a nn的代数和，这里 j 1 j 2j n 是1,2, , n 的一个排列，每一项⑴都按下列规 则带有符号：当j 1 j 2j n 是偶排列时，⑴带正号；当jj 2 j n 是奇排列aiia12a1 na21a22j 1j 2j nJ 1J 2 j na1j 1a 2j 2anj n ,an2ann这里j 1j2表示对所有n 级排列求和.=0.性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列a 11a i2a inaiiai2ainka M ka i2 ka ink a i1a i2aina n1 a n2 a nnan1an2ann式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的 各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即么行列式为零.即a ii a i2 a ina ii a i2 a ina ii3i2S ina ii a i2a inkka iika i2ka ina iia i2a ina nia n2a nna nia n2a nn性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列a i1a i2K a in M M MM b i c b 2 C 2K b n ( MMM M a nia n2Ka nna ii a i2K a in MM MM bb 2 K b n M M MMa ni a n2K a nna ii a i2K ainM M M MG C 2 K C n MM M Ma ni a n2Ka nn性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例,即性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a11 a i2 a ln a11 a i2 a lna i1 ca ki a i2 ca k2 a in ca kn a i1 a i2 a ina k1 a k2 a kn a k1 a k2 a kna n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn 性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号.即a11 a i2 a in a11 a i2 a i na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn —a i1 a i2 a ina ni a n2 a nn a ni a n2 a nn性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即a i1 a i2 a i, n-1 a in0 0 0 0 0.a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.10 0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开 式中的项的一般形式是a ij i a 2j 2 a 3j 3a 4j 4 .显然，如果j i 4，那么a“，从而这个项就等于零•因此只须考虑j i 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 3 2, j 4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.计算行列式814823832841，而 4321 6，所以此项取正号•故 0 0 0 0 0 2 0 30 4 00 1 0 _ 0 = 04321a 14a 23a 32a 4124.2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a n a na nb n解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的 1倍分别加到第2,3•••( n 1)行上去,可得1 a 1 b 1 a2 1a 1a 2an a 12 a 13a 1n0 a22a 23a 2n0 0 a 33 a 3n0 0 a nna 110 0 a 21 a 22 00 a 31a 32a 33a ii a 22a nn,a ii a 22a nn・a n1a n2 a n3a nn1 a 1 a2 K a n0 b0 0M M M O M 0 0 0 Kb nD n 1bb z K b n . 例2计算行列式D n 11a 1a 22.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列） 后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计 算•这类计算行列式的方法称为连加法.当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或 者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.解:2.2.3 计算行列式 D nX iX iX i nX ii 1nX ii 1滚动消去法D nX 1mX 1 X iX 2 mX 2X 2X 2 m X 2X 2 mX 2 X 2 m X 2X nX nX nX nX n 0XnX X n X n X n mnX i m .i 11 2 2 1 例4计算行列式D n 3 2 n n 1 1 2 3 n 1 n1 11 1 1D n 1 111 11 11 1 11 2 3 n 1 n 11 0 0 0 0 2n 21 1 0 0 01 1 11解：从最后一行开始每行减去上- 2.2.4逐行相加减3n 1 n2n 2n 11n 3n 2 n 2n 221「，有1 2 3n1n2 0 022 221 1 111对于有些行列式，虽然前n但却为零•用连加法明a 1 a 1 0 0 0a 2 a 2 0 0 例5计算行列式D0 0 a s0 00 00 a n a r11111显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列,以此类推，得:2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开例6 解行列式D n解：按最后一行展开，得2.3.2按拉普拉斯公式展开行•由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式D.即M n A n ，其中A i 是子式M i 对应的代数余子式.a 10 0a 2 0a 3a nn2n1 a 1 a 2a na na n 2a 2 a 1n 1 n 2D n a 1x a 2xa n 1X拉普拉斯定理如下：设在行列式 D中任意选定了 k 1 k n-1个D M 1A 1 M 2A 2例7解行列式D n解：从第三行开始, 到第二列，得D nA nnC nnA nnB nnC nnB nnA nn ?B nn，A nn?B nn -每行都减去上一行; 再从第三列开始，每列都加ab2.4升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质 化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法 的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利 用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置.1 1 1 11 10 1 1 0解：使行列式D 变成n 1阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D再将第一行的 1倍加到其他各行，得:解行列式D=1 1 1 1 1 1 0 1 1 01 1 1 1 1 0 1 0 1D=(n 1)110 1 00 0 1D2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出 假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学 归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 012cos 1 0 0 例9计算行列式D n0 1 2 cos0 00 00 2cos 112 cos解:用数学归纳法证明1 1 0 0 0 01 0 0 1从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得:1 1 0 0 0 01 00 1当n 1时，D 1cos猜想，D n cosn假设当n k 时，结论成立.即：D k cosk .现证当n k 1时，结论 也成立.cos1 0 0 012cos 1 0 0 当 n k 1 时，D k 10 1 2cos0 00 0 2 cos 112cos将D k 1按最后一行展开，得cos 1 012 cos 1D k 1k 1 k 11?2cos0 1 2 cos0 0 0 2 coscos1 0 01 2 cos 1 0,k 1 k10 1 2 cos0 0 0 12cos D k D k 1 .因为当n 2时，D 2cos 1 1 2cos2cos 2 1 cos2由上可知，当n1 , n 2时，结论成立.D k coskD k 1 cos k 1 cos k cosk cos sin k sin所以D k 1 2cos D k D k 12cos cosk cosk cos sin k sincosk cos sin k sincos k 1 .这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.即：D n cosn .2.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程2ax bx c 0.①若0，则特征方程有两个不等根，则D n Ax；1 Bx；1.②若0，则特征方程有重根X1 X2，则D n A nB x；1.在①②中，A，B均为待定系数，可令n 1,n2求出.9 5 0 0 0 0 0 4 9 5 0 0 0 0例10 计算行列式D n 0 4 9 50 0 00 0 0 0 4 9 5 J0 0 0 0 0 4 97解：按第一列展开，得D n 9D n 1 20 D n 2.即D n 9D n 1 20D n 2 0-作特征方程x2 9x 20 0.解得X i 4, X2 5.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B .解得A 16,B 25，所以D n5n 14n1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a1a2 0 0 01 1 a2a3 0 0例11 计算行列式D n 0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n 解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得D n1a 1D n 1a 1 0a 2D n a21a3a 31 a n 11a n a na 2 a 2 1a 3 a 3a n 1a 2 a 2 1a 3 a 3a na n 0 0 0a n 1a n a n上面第一个行列式的值为 所以D n 1 a 1 1 a 2 1 a 3 a 3a n1a n a n这个式子在对于任何n 都成立, 因此有3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德 行列式来间接求出D n 的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 a 1ni11a ji 1 j 11a i 1 a 2D n 2例12 求行列式D n1 1 x 1x 2 2 X 12 X 2n 2 X1 n X1n 2 X 2 n X21 X n2 X nn 2 Xn n XnA1 2n ・3.3特征值法3.3.1概念及计算方法是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出 A 的行列其中,X 1 2 X 1n 2 X 1 n 1 X1 n X1按第 X 2 2 X 2n 2 X 2 n 1 X2 n X2X n2X nn 2X nn 1X nn Xnn 2 X n 1 X nXn 1列展开，得f X A,n 1A 2」 n 1X的系数为A n ,n 11X1n又根据范德蒙德行列式的结果知f X X X 1X 2 A n,n 1 X1D nX n A n D n .X in由上式可求得X n 1的系数为X 1 X 2X n X inX j故有D n X 1X 2 X n1 j iX inX jn1,n 1X，X j式.3.3.2例题解析例13 若1， 2，n是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零. 证明：因为A 1 2 n ，贝UA 可逆 A 01 2 n0 i 0i 1,2 n .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.4.1.2计算方法a 11 a 12a 13a 1 na 11a 22a 23 a 2na 21 a 22a 33 a 3na 31 a 32 a 33a nna n1 a n2 a n3 a nn形如这样的行列式,由行列式的定义可知,an a i2a i30 a 22a 230 0 a 330 0 a ii0 a 21a 22a 31 a 32a 33a ni a n2 a n3a nna i1 a 22 a nn ,a ii a 22a nn•4.2 “爪”字型行列式4.2.1概念a 。