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六年级奥数-第10讲.数论综合

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0 / 6 数论综合（二） 教学目标：

1、 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想

例题精讲： 板块一 质数合数

【例 1】 有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．

【例 2】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数． 【解析】 设这三个质数分别是a、b、c，满足11abcabc()，则可知a、b、c中必有一个为11，不妨记为a，那么11bcbc，整理得(1b)(1c)12，又121122634，对应的2b、13c或3b、7c或4b、5c (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．

【例 3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．

【例 4】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？ 【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617LL，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了． 把九个三位数分解：111373、222376743、333379、4443712746、5553715、6663718749、7773721、88837247412、9993727． 把两个因数相加，只有(743)77和(3718)55的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．

板块二 余数问题 【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．

【例 6】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 【解析】 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，319982337

，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，

所以符合题目条件的自然数共有11个．

【例 7】 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数． 1 / 6

【解析】 (法1) 39336，1473144，(36,144)12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12．

【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______． 【解析】 (70110160)50290，50316......2，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，110581......52，5052，所以除数不是58． 70292......12，110293......23，160295......15，50152312，所以除数是29

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________． 【解析】 n能整除258251299163．因为2538...1，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．

【例 9】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？ 【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34． 如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．

【例 10】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？ 【解析】 根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：

11603AKrLL 22939AKrLL 33393AKrLL 由于122rr，232rr，要消去余数1r， 2r， 3r，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 于是我们可以得到下面的式子：

11603AKrLL 22939222AKrLL 33393424AKrLL

这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A整除． 93926031275，3934603969，1275,96951317． 51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．

【例 11】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________． 【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415．

【巩固】 2008222008除以7的余数是多少？ 【解析】 328除以7的余数为1，200836691，所以200836691366922(2)2＋，其除以7的余数为：669122；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以

2008222008除以7的余数为：213．

【例 12】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？ 【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数． 2 / 6

所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，…… 可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数． 由于200954014L，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．

【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？ 【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0…… 第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．

【例 13】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________． 【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和． 19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180 (个)， 100999～共900个三位数，共有数字：90032700 (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978 (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 ．

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六年级奥数.数论.整除问题ABC级.学生版

六年级奥数.数论.整除问题ABC级.学生版

六年级奥数.-数论.整除问题-(ABC级).学生版数的整除知识框架一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

六年级上奥数第十讲统计概率

六年级上奥数第十讲统计概率

六年级上奥数第十讲统计概率(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第十讲统计概率知识要点：一统计表（一）意义* 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。

（二）组成部分* 一般分为表格外和表格内两部分。

表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

（三）种类* 单式统计表：只含有一个项目的统计表。

* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。

* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

（四）制作步骤1搜集数据2整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。

3设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。

4 正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。

二统计图（一）意义* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

（二）分类1 条形统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。

优点：很容易看出各种数量的多少。

注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。

取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。

制作条形统计图的一般步骤:（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。

（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

2 折线统计图用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

六年级奥数 数论综合(三)

六年级奥数 数论综合(三)

数论综合（三）约数倍数姓名：日期：成绩：1．从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？只有3个约数的数有几个？2．360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？3．把自然数A的所有约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中，最小的是3，最大的是240。

A等于多少？4．所有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？5．100以内只有10个不同约数的自然数有哪些？6．有一个自然数，它有4个不同的质因数，且有32个约数，其中一个质因数是两位数，当这个质因数尽可能大时，这个自然数最小是多少？7．a、b两均只含有因数3和5，且a有12个约数，b有10个约数，（a、b）=75，那a、b 两数之差是多少？8．自然数N，它们被5和49整除，并且共有10个约数，求N。

9．有50盏灯排成一排，按顺序分别编上号码1、2、3、4……49、50，每盏灯开始都是亮着的；有50个人，第一个人走过来，凡是1的倍数的灯按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数按钮按一下，……，一直到第50个人把号码为50的倍数的按钮按一下，最后不亮的灯分别是哪几盏？10．有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，以此下去至15号说：“这个数能被15整除”，1号作了一一验证，只有编号连续的两位同学说得不对，其余都对，问：①说得不对的两位同学，它们的编号是哪两个连续的数？②如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出此五位数。

③如果告诉你，1号写的数是六位数，请求出最小的六位数。

11．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的拿法？12．筐中有120个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同，有多少种分法？13．爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍，4倍，3倍，2倍。

六年级奥数 数论综合(二)

六年级奥数 数论综合(二)

数论综合（二）（整除）姓名：日期：成绩：1．六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和，一个人是另一个人的2倍，则丙手中卡片上的数是多少？2．在□里填上恰当的数字，使七位数□1992□□能同时被9，25，8整除。

3．用1～6六个数字组成一个六位数abcd能被4整除，abcde能是6的倍数，求这样的六位数有几个，各是多少？4．在93后面补上三个不同的数字，组成一个五位数使它能分别被3，4，5整除，并且使这个数尽可能小。

这个五位数是多少？5．用5、6、7、8四个数字组成各个数字互不相同的四位数，其中，能被11整除的有哪几个？6．已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，求所有满足这个条件的整数。

7．七位数175□62□的末位数字是什么数时，不管千位是几，这个七位数都不是11的倍数。

8．将自然数10，11，12，…，99从左至右依次排列成一个多位数101112…9899，求这个多位数除以11的余数？9．有一个五位数15□□6是99的倍数，且其百位数上和十位数上的数字都小于7，求这个五位数。

10．四位数b a 47能被18整除，要使这个四位数尽可能小，a 和b 各是什么数字？11．一年级有72名学生课间加餐共交□52.7□元（□辨认不清）。

每人交了多少钱？12．若六位数□1234□能被66整除，则这个除法所得的商是多少？13．要使六位数615ABC 能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 各是多少？14．有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。

它们的前四位都是9867，而末位数字不同。

求这两个五位数的和。

15．用1～9这九个数字组成没有重复数字的九位数，且能被11整除，这个九位数最小是多少？最大是多少？16．在小于5000的自然数中能被11整除并且数字和为13的数共有多少个？17．用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成3个能被9整除的和尽可能大的三位数，求这三个三位数各是多少？18．已知a、b、c、d是各不相同的数字，a+b+c=18，b+c+d=23，四位数badc被5除余3，求abcd是多少？19．一个能被11整除的最小的四位数，去掉它的千位上和个位的上的数字以后，是一个同时能被2、3、5整被的最大的两位数。