牛顿的《牛顿的《自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理》
》牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》是一部不太容易理解的著作，因为牛顿编写时所使用的编写的方法是经典式的几何学方法。如果应用牛顿自己发明的微分学的方法来叙述，那就可简明易懂得多。牛顿所以那样编写，一个原因是他欣赏经典的表达方式，另一原因是作者恐怕读者不能完全理解他所发明的数学方法（流率术），而产生误解，遭到他认为的“迫害”，故宁舍易而就难。《自然哲学的数学原理》于1934年经数学家卡乔里用当时的数学与文字改写出版，因为自牛顿以来表达科学知识的文字与方法都已改变，可是这改写本里的内容与理论，和原著却是一样的。现今所流行的《自然哲学的数学原理》版本便是这种改写本。
《自然哲学的数学原理》不是简单地攥集古人的知识，而是反映牛顿本人成就而写成的一部著作，它是科学史上富有创见性的作品。牛顿不仅将力学的基本定律陈述在书内，而且还有为了证明这些定律，而运用自己所发明的数学工具。书中所叙述的一些运动定律，以前从来没有人象他讲得那样透彻，几百年来力学上存在的问题，在《自然哲学的数学原理》内都有明确的解答。第一版于1687年7月出版，版本不大(32开)，篇幅约五百页，文字之外还有许多木刻图画。
哈雷耐心地完成《自然哲学的数学原理》的编辑工作，他对于印就的作品，感到无比欢喜。他写信给牛顿说：“我终于将你的书编毕出版，我希望能使你高兴。我将以你的名义送给皇家学会，以及波义耳（Robert Boyle，1627?1691，英国化学家）、佩吉特（Paget，数学家）、弗拉姆斯蒂德（J.Famsteed 1648?1719，天文学家）三位先生各一册。如果城里（指伦敦)还有别人需要，你愿意由我代送，请告诉我，自当照办。随信奉
上二十册，你可分赠给剑桥的朋友们，大学书店的经理人会帮你办理的。”
《自然哲学的数学原理》的第一版很快销售一空。不到一年，这本书即使以
高于原价三、四倍的钱，还难以买到。有一位苏格兰人为了学习的需要，索
性手抄一册。
这本书的开头，作者以导言的方式，开门见山地写下他有名的运动定律：
第一定律：静止的物体永远静止，运动的物体在直线上以不变的速度，，第一定律：静止的物体永远静止，运动的物体在直线上以不变的速度
继续运动，除非受到外力的作用。
这定律导入了惯性的概念，所以又叫做惯性定律。假如你坐在时速为三
十公里的汽车上，汽车忽然煞住，如果你不抓住扶手，你上身便会向前倾倒，
因为你这时仍处在运动的状态中。你所感觉到的这个使你向前倾倒的力便是
惯性的表现。所以惯性即是物体有保持原有静止或运动状态的特性。一个物
体具有的惯性量，与用以使物体减速或加速，停止或改变方向所需的力成正
比。
再设想将一个玩具小车放在平滑而坚硬的铁轨上，然后将车推动，根据
运动第一定律,这小车应该在轨道上以匀速前进。然而，实际的情况不是这
样的，因为这定律没有考虑摩擦力。事实上,小车速度会逐渐变慢最后完全
停止下来，因为小车的车轮与轨道会发生摩擦产生阻力，车身也会在运动中
与空气发生摩擦而产生阻力，这些摩擦阻力愈大，小车停得愈早，摩擦阻力
愈小，小车停得愈慢。如果一切摩擦力都被消除，小车的速度便不会变化而
会永远地前进。
在地球上无法证明这一定律，因为空气的阻力、物体的重力等都会阻止
物体作等速运动。第一定律表现在天体的运动上，因为物体在空间的运行几
乎没有阻力，施于行星上的只有一种力，即万有引力。行星是运动中的物体。
自有人类发现行星至今，它们总以大约相同的速率运行着。从天体运动可充分地证明，如果没有外力施加在物体上，它们一定会作直线运动。
物体运动的改变与施加在它上面的力成正比，，而且物体运动第二定律：：物体运动的改变与施加在它上面的力成正比
第二定律
方向的改变与所施力的方向有关。
牛顿的运动第二定律为科学家测量力提供了一个有用的方法。根据物体的质量和物体的速度变化，便可计算这个外加力的大小。第二定律的公式也使科学工作者得以测量地面任何一处的重力。而且对于现今科学工作者规划人造卫星的轨道，有极大的价值。
对于施加在物体上的每一作用力，，同时有一等值而方向相反第三定律：：对于施加在物体上的每一作用力
第三定律
另一种说法：：一物体施力于它物体时
一物体施力于它物体时，，它物体也以等速而反向的的作用力。。另一种说法
的作用力
力施加于一物体上。
运动第三定律，在三个定律中也许是最迷人的一个。牛顿曾举例说：如果你用手指压石头，你的手指也被石头压住；站在地板上时，你的重量作用于地板，地板也以相等而反向的力托着你的脚掌；如果你踢足球，足球也以相等而反向的力作用于你的足；你用来复枪射出一颗子弹，这颗子弹的前冲力便产生后坐力，撞击你的肩头。
在现今的喷气飞机和火箭上，显示了第三定律的重要性。例如喷气飞机从喷口射出的髙速气流形成强大的后推力反作用于飞机上，造成一种向前的推力。火箭的推动，与空气中螺旋推进的飞机或水上运行的船只不同，后两者是由于介质(空气或水）的反作用而前进的；火箭是靠燃料喷气的，所以能在大气以外没有空气阻力的空间里飞行，而且比空气里飞行得更好，人们已将火箭送上月球、金星和火星上去，所依据的基本原则，便是牛顿的运动第三定律。
在科技的领域里，乃至我们日常的生活中，牛顿的运动三定律，具有重要的意义。现今物理学与天文学工作者寻找新知识所用的方法，基础便建立在这些定律上面。如摩天大楼的建筑，稳定桥梁的结构，摩托车的奔驰，飞机在空中的飞行，船只在海上的行驶，甚至精确时刻的测定，都离不开牛顿运动定律的运用。反之，工程师在工程（特别是对于髙速运行的机器）设计上，如果没有仔细考虑到或者运用牛顿力学的基本定律，常常会造成不应有的事故。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中首先列举的运动定律，当然不是他本人的发现。他曾一再表示，这是他从前人和同时代的科学家那里获得的知识。例如，开普勒提出过的一些数学知识，伽利略曾为运动定律提供的数据，惠更斯、雷恩与瓦里斯（John Wallis，1616?1703，与牛顿同时代数学家）都曾隐隐约约地提到第三定律。可是只有牛顿才深深地了解这些各自独立的理论之间的内在联系，把它们综合成为一个伟大的科学体系，并用数学加以证明。
根据运动第三定律，牛顿自然很明白：天体互相吸引；太阳吸引行星，亦被行星吸引；地球吸引月球，亦被月球吸引。但是牛顿说，太阳比它的行星大得多（太阳系里所有成员的质量之和还不及太阳质量的千分之一，地球的质量只是太阳的三十三万分之一）。因此，研究一颗行星的运动时，可以只考虑太阳对它的引力，而其他行星对它的引力可以忽略不计。这方法也同样适用于卫星绕它的行星的运动上。例如,月球与地球的距离，相对于其他星球是很近的，以致我们可以将太阳对于月球的引力忽略不计。
但是，要对月球的运动作确切的描述，却使牛顿在这个“三体问题”上苦恼了多年。他曾一再提到：“我的大脑在考虑月球问题时总感到疼痛。”
牛顿讨论到这一类问题时，才发现开普勒定律不是十分完善的，而是近似地正确。因为开普勒生活在人们还不能测量所谓摄动（即行星运动上稀微改变）的时代，所以开普勒定律只能够对于行星在少数几周内的运动，作相当精确的描述。牛顿时代的天文学工作者已经知道行星运行许多周以后，积累的误差在计算上可能达到严重的情况。例如，月球的运动早在公元前四百年便发现与计算值有很大的差异。
即在今天，数学家和天文学家还不能完全解决摄动问题。首先阐明这问题并为之作出贡献的当推牛顿。他证明太阳的引力可以解释月球的某些已知的摄动，而且还预言另外一些摄动,但这在他死后很久才为人们证实。
牛顿还进一步地认识引力理论的基础是在这样一个事实上：即宇宙里物质的每一个质点都施加引力于其他物质的每个质点上。牛顿认识到这是一把打开许多奥秘的钥匙。这些奥秘中就有海洋的潮汐。牛顿以太阳和月球的引力使海水发生定时的涨落,说明潮汐的一般特性，而奠定了潮汐理论的基础。
《自然哲学的数学原理》的第二部分讨论了物体在有阻力的介质中的运动。牛顿认为这种阻力（例如空气的阻力),与物体运动的速率正比。由此可见牛顿已经注意到了现今航空工程师必须处理的一个课题，即飞行器的形状与空气阻力的关系。
第二部分还讨论了近代物理中的一些重要课题，如摆动理论、流体里的波动,特别是声波在空气里的运动以及光的理论。今天访问剑桥大学的人，还可在三一学院的一个厅里看到牛顿做回声实验的“回音壁”。
牛顿在本书最有贡献的第三部分里，用万有引力定律将太阳系里的各种现象联系起来。牛顿用种种证明出色地确定木星、土星、太阳与地球的引力，而且为他的平方反比律提供了证据。最后他叙述与他荣誉密切有关的万有引
力定律：一切物体相互吸引，这引力与它们的质量的乘积成正比，而与它们间的距离平方成反比。
牛顿更证明：由于行星在空间里的运动没有遇到什么阻力，它们的运动可以说是持久的,而且各个行星围绕太阳在椭圆轨道上运行。牛顿总结道：“一切天体必然遵循万有引力定律，因此两个互相吸引的天体，应在相似的轨道上围绕公共重心，并互相围绕运行。如果有三个天体（譬如地球、太阳与月球）互相吸引，它们的轨道必然产生一些微小的改变，因此月球会产生不合常规的“摄动”，这是由于月球在受到地球的吸引的同时，还受太阳的吸引。
今天我们明白牛顿把他的引力定律冠以“万有”二字的意义，是因为这种引力存在于宇宙中的一切物体之间，不但是天体，而且还包含一切人为的机构。亚里士多德认为土、水、火、风是地上的四种物质，都循直线的方向而运动，天上的物质只有以太，循圆周的方向而旋转。牛顿的自然体系从根本上打消了天上地下的区别，提出了一切物质同为一种力学所支配。十九世纪，由于天体物理研究的进展，说明构成一切天体的物质和地上的物质并无本质的不同。所以哥白尼与牛顿开始的思想革命,经过了几百年，终于表明物质宇宙是一个统一的整体。宇宙间的一切事物都在因果关系里不断地演变。
牛顿利用他的引力定律，首先说明物质的集团在引力作用下必然是球形，但由于旋转引起离心的趋势,而使地球两极变为扁平。他更进一步说明月球和太阳对于地球的赤道突出带的引力作用，使地球的自转轴在空间作圆周式的运动，因而造成二分点移动的岁差现象，即牛顿对1800年前喜帕卡斯所发现的岁差现象说明了它的成因，并且根据引力定律计算了岁差的速率
与周期。
二分点运动的岁差现象
牛顿在《自然哲学的数学原理》的结尾处有一段谈论到彗星。天空中这种拖着尾巴不时出现的神秘拜访者，一向为人看做是灾祸的预兆，牛顿也把它们纳入万有引力定律之中。哈雷便根据牛顿的引力定律计算了1682年出现的彗星的轨道，并且注意到这轨道和1607年、1531年所观测过的两颗彗星的轨道近似。这三颗彗星出现的时期相距约七十六年，使哈雷断定它们实际上是一颗彗星，按周期复回到地球旁边；于是他预言这颗彗星将于1758年再度“来访”地球。这预言应验了，故这颗彗星就以哈雷的姓氏命名，以后分别又于1835年和1910年“来访”地球（我国历史上对于哈雷彗星出现的记载最早——鲁文公十四年即公元前613年),而且次数有31次之多）。
哈雷彗星的轨道
这里，我们还须补充一句话，即《自然哲学的数学原理》内除了卓越的理论和数学的成就外，还有不少实验记载，特別是关于摆动的实验。这些，说明了牛顿也是一位实验科学的大师。总之,《自然哲学的数学原理》解决了当时科学上的许多难题。我们希望这里所说的内容能够使读者了解这本书
为什么会被公认为是“人类智慧的最高成就”之一。
运动和力 一、本节学习指导 本节开始我们学习运动和力的关系。这一节中我们学习牛顿第一定律、摩擦力的相关概念，本节中我们把重点放在概念上，同学们要多思考。 二、知识要点 1、牛顿第一定律（又叫惯性定律）【重点】 定律内容：一切物体在没有受外力的作用时，总保持静止或匀速直线运动状态。 注：牛顿第一定律是通过分析事实，再进一步概括、推理得出的，它不可能用实验来直接验证这一定律，但从定律得出的一切推论都经受住了实践的考验。牛顿第一定律也可以说成：物体在受外力之和为零时，总保持静止或匀速直线运动状态。 2、惯性【重点】 （1）定义：物体保持原来运动状态不变的特性叫惯性 （2）性质：惯性是物体本身固有的一种属性。一切物体任何时候、任何状态下都有惯性。惯性不是力，不能说惯性力的作用，惯性的大小只与物体的质量有关，与物体的速度、物体是否受力等因素无关。物体质量就有惯性。 注：如何理解惯性是物体本身的性质呢，其实很简单，我们把它想成是与生俱来、天生的。不会因为时间、地点等改变改变的性质。就像老虎的本性咬人一样，把它运到北京、运到美国它也咬人。在物理概念中“电阻”是导线固有的性质，不会随电流，电压的改变而改变，和惯性很相像。 （3）防止惯性的现象：汽车安装安全气襄，汽车安装安全带；利用惯性的现象：跳远助跑可提高成绩，拍打衣服可除尘 （4）解释现象： 例：汽车突然刹车时，乘客为何向汽车行驶的方向倾倒？ 答：汽车刹车前，乘客与汽车一起处于运动状态，当刹车时，乘客的脚由于受摩擦力作用，随汽车突然停止，而乘客的上身由于惯性要保持原来的运动状态，继续向汽车行驶的方向运动，所以乘客向汽车行驶的方向倾倒。
牛顿运动定律的应用（张胜富) 一、知识归纳： 1、牛顿第二定律 (1)定律内容:物体的加速度跟所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同. (２)定义式：F 合=ma 2、对牛顿第二定律的理解 (1)瞬时性．根据牛顿第二定律,对于质量确定的物体而言,其加速度的大小和方向完全由物体受到的合外力的大小和方向所决定．加速度和物体所受的合外力是瞬时对应关系，即同时产生、同时变化、同时消失，保持一一对应关系. (２)矢量性.Ｆ＝ma 是一个矢量式．力和加速度都是矢量,物体的加速度的方向由物体所受合外力的方向决定．已知F 合的方向,可推知ａ的方向，反之亦然. (3)同体性:a = m F 合各量都是属于同一物体的,即研究对象的统一性． (4)独立性:Ｆ合产生的a 是物体的合加速度，ｘ方向的合力产生x 方向的加速度，y 方向的合力产生y 方向的加速度.牛顿第二定律的分量式为F x =ma ｘ,F y ＝ma ｙ. (5）相对性:公式中的a 是相对地面的而不是相对运动状态发生变化的参考系的． 特别提醒： (1)物体的加速度和合外力是同时产生的，不分先后，但有因果性,力是产生加速度的原因，没有力就没有加速度. (2)不能根据ｍ= m F 得出ｍ∝F ,m ∝a 1 的结论．物体的质量m 与物体受的合外力和运动的加速度无关. ３、合外力、加速度、速度的关系 (1)物体所受合外力的方向决定了其加速度的方向,合外力与加速度的大小关系是Ｆ=ma ,只要有合外力,不管速度是大还是小，或是零,都有加速度,只要合外力为零，则加速度为零，与速度的大小无关.只有速度的变化率才与合外力有必然的联系． （2）合力与速度同向时,物体做加速运动,反之减速. (3）力与运动关系: 力是改变物体运动状态的原因,即力→加速度→速度变化(运动状态变化)，物体所受到的合外力决定了物体加速度的大小，而加速度的大小决定了单位时间内速度变化量的大小，加速度的大小与速度大小无必然的联系. (4)加速度的定义式与决定式: ａ= t v ??是加速度的定义式，它给出了测量物体的加速度的方法，这是物理上用比值定义物理量的方法;a =m F 是加速度的决定式,它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加 速度的因素. 特别提醒:物体的加速度的方向与物体所受的合外力是瞬时对应关系,即a 与合力Ｆ方向总是相同，但速度v 的方向不一定与合外力的方向相同． 讨论点一:如图所示，对静止在光滑水平面上的物体施加一水平拉力，当力刚开始作用瞬间 （ ) A ．物体立即获得速度 Ｂ.物体立即获得加速度 C.物体同时获得速度和加速度
基础过关 1.下列关于牛顿第一定律的说法中，正确的是（） A．它表明了力是维持物体运动状态的原因 B．牛顿第一定律是经过数学推理计算得到的 C．牛顿第一定律是在实验中直接得出的结论 D．牛顿第一定律的得出采用了实验和科学推理相结合的方法 2．（2011?天津模拟）关于牛顿第一定律，下列说法中正确的是（）A．牛顿第一定律是在伽利略“理想实验”的基础上总结出来的 B．不受力作用的物体是不存在的，故牛顿第一定律的建立毫无意义 C．牛顿第一定律表明，物体只有在不受外力作用时才具有惯性 D．牛顿第一定律表明，物体只有在静止或做匀速直线运动时才具有惯性 3．若物体不受任何外力作用，则该物体（） A．一定做匀速直线运动 B．运动状态可能发生发改变 C．一定静止D．可能做匀速直线运动，可能静止 4．（2011?黄石）下列关于惯性的说法正确的是（） A．高速行驶的火车不容易停下来，说明速度越大惯性越大 B．跳高运动员助跑起跳是为了增大惯性 C．羽毛球容易被扣杀是因为它的惯性小 D．宇宙飞船在太空中运行时没有惯性 5．（2007?闵行区二模）关于惯性下列说法正确的是（） A．物体在静止时不易推动，所以物体在静止时比运动时惯性大 B．当物体没有受到力的作用时，能保持静止状态，所以物体不受力时才有惯性 C．物体高速运动时不容易停下来，所以物体速度越大、惯性越大 D．惯性是物体固有属性，任何物体在任何情况下，都具有惯性 6．（2008?吴中区模拟）目前人类发射的探测器已飞出了太阳系，正往更远的太空飞去，如果探测器所受外力全部消失，那么探测器将（） A．沿原路径返回地球 B．沿原方向做减速直线运动 C．立刻静止D．沿原方向做匀速直线运动 7．（2013?温州）如图1是小明自创的”大炮”示意图．当瓶内产生的气体增多时，瓶塞会水平向右冲出，若此时所有外力全部消失，瓶塞将（） A．立即沿竖直方向下落到地面上 B．向上运动 C．水平向右作匀速直线运动D．立即静止图1 8．（2013?广州）忽略一切阻力，原静止在水平面上的大石头被另一块小石头水平撞击，大石头的运动情况是（） A．始终静止不动 B．动了一点点，很快停下来 C．撞击时开始运动，然后慢慢停下来 D．撞击时开始运动，然后做匀速直线运动9．（2007?银川）下列事例中，属于防止惯性的是（） A．跳远运动员在起跳前要助跑B．为了安全行驶，汽车不能超载 C．拍打衣服，可以把衣服上的尘土拍掉D．停止蹬自行车后，车仍能前进一段距离10．（2012?济南）由图2可知：驾驶员和前排乘客必须使用安全带！小刚用下面的四句话解释了安全带的作用：①撞向挡风玻璃造成伤害，系上安全带就可有效避免这种伤害．②当驾驶员驾车高速行驶时，发现前面出现情况紧急刹车．③驾驶员由于具有惯性，仍然保持向前运动的状态．④汽车滑行
牛顿第二定律 一、知识与技能 1、掌握牛顿第二定律的文字内容和数学公式； 2、理解公式中各物理量的意义及相互关系。 3、知道在国际单位制中力的单位“牛顿”是怎样定义的。 4、会用牛顿第二定律的公式实行相关的计算。 1、以实验为基础，归纳得到物体的加速度跟它的质量及所受外力的关系，进而总结出牛顿第二定律。 2、培养学生的概括水平和分析推理水平。 三、情感、态度与价值观 1、渗透物理学研究方法的教育。 2、理解到由实验归纳总结物理规律是物理学研究的重要方法。 ★教学重点 牛顿第二定律 ★教学难点 牛顿第二定律的意义 ★教学方法 1、复习回顾，创设情景，归纳总结； 2、通过实例的分析、强化训练，使学生理解牛顿第二定律的意义。 ★教学过程 一、引入新课 教师活动：利用多媒体播放汽车启动、飞机起飞等录像资料。教师提出问题，启发引导学生讨论它们的速度的变化快慢即加速度由哪些因素决定？ 学生活动：学生观看，讨论其可能性。 点评：通过实际问题及现象分析，激发学生学习兴趣，培养学生发现问题的水平 教师活动：提出问题让学生复习回顾： l、物体的加速度与其所受的作用力之间存有什么关系？ 2、物体的加速度与其质量之间存有什么关系？ 学生活动：学生回顾思考讨论。
教师活动：（进一步提出问题，完成牛顿第二定律探究任务的引入）物体的加速度与其所受的作用力、质量之间存有怎样的关系呢？ 学生活动：学生思考讨论，并在教师的引导下，初步讨论其规律． 点评；通过多媒体演示及学生的讨论，复习回顾上节内容，激发学生的学习兴趣。培养学生发现问题、探究问题的水平。 二、实行新课 教师活动：学生分析讨论后，教师进一步提出问题： l、牛顿第二定律的内容应该怎样表述？ 2、它的比例式如何表示？ 3、各符号表示什么意思？ 4、各物理量的单位是什么？其中，力的单位“牛顿”是如何定义的？ 学生活动：学生讨论分析相关问题，记忆相关的知识。 教师活动：上面我们研究的是物体受到一个力作用的情况，当物体受到几个力作用时，上述规律又将如何表述？ 学生活动：学生讨论分析后教师总结：物体的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。 点评：培养学生发现一般规律的水平 教师活动：讨论a和F合的关系，并判断下面哪些说法不对？为什么？ A、只有物体受到力的作用，物体才具有加速度． B、力恒定不变，加速度也恒定不变。 C、力随着时间改变，加速度也随着时间改变。 D、力停止作用，加速度也随即消失。 E、物体在外力作用下做匀加速直线运动，当合外力逐渐减小时，物体的速 度逐渐减小。 F、物体的加速度大小不变一定受恒力作用。 学生活动：学生讨论分析后教师总结：力是使物体产生加速度的原因，力与物体的加速度具有矢量性、瞬时性和独立性 点评：牛顿第二定律是由物体在恒力作用下做匀加速直线运动的情形下导出的，但由力的独立作用原理可推广到几个力作用的情况，以及应用于变力作用的某一瞬时。 教师活动：出示例题引导学生一起分析、解决。
牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：
牛顿第一定律-惯性试 题 https://www.doczj.com/doc/ef10366457.html,work Information Technology Company.2020YEAR
基础过关 1.下列关于牛顿第一定律的说法中，正确的是（） A．它表明了力是维持物体运动状态的原因 B．牛顿第一定律是经过数学推理计算得到的 C．牛顿第一定律是在实验中直接得出的结论 D．牛顿第一定律的得出采用了实验和科学推理相结合的方法 2．（2011?天津模拟）关于牛顿第一定律，下列说法中正确的是（） A．牛顿第一定律是在伽利略“理想实验”的基础上总结出来的 B．不受力作用的物体是不存在的，故牛顿第一定律的建立毫无意义 C．牛顿第一定律表明，物体只有在不受外力作用时才具有惯性 D．牛顿第一定律表明，物体只有在静止或做匀速直线运动时才具有惯性 3．若物体不受任何外力作用，则该物体（） A．一定做匀速直线运动B．运动状态可能发生发改变 C．一定静止 D．可能做匀速直线运动，可能静止4．（2011?黄石）下列关于惯性的说法正确的是（） A．高速行驶的火车不容易停下来，说明速度越大惯性越大 B．跳高运动员助跑起跳是为了增大惯性 C．羽毛球容易被扣杀是因为它的惯性小 D．宇宙飞船在太空中运行时没有惯性 5．（2007?闵行区二模）关于惯性下列说法正确的是（） A．物体在静止时不易推动，所以物体在静止时比运动时惯性大 B．当物体没有受到力的作用时，能保持静止状态，所以物体不受力时才有惯性 2
C．物体高速运动时不容易停下来，所以物体速度越大、惯性越大 D．惯性是物体固有属性，任何物体在任何情况下，都具有惯性 6．（2008?吴中区模拟）目前人类发射的探测器已飞出了太阳系，正往更远的太空飞去，如果探测器所受外力全部消失，那么探测器将（） A．沿原路径返回地球B．沿原方向做减速直线运动 C．立刻静止 D．沿原方向做匀速直线运动 7．（2013?温州）如图1是小明自创的”大炮”示意图．当瓶内产生的气体增多时，瓶塞会水平向右冲出，若此时所有外力全部消失，瓶塞将（） A．立即沿竖直方向下落到地面上B．向上运动 C．水平向右作匀速直线运动 D．立即静止图1 8．（2013?广州）忽略一切阻力，原静止在水平面上的大石头被另一块小石头水平撞击，大石头的运动情况是（） A．始终静止不动B．动了一点点，很快停下来 C．撞击时开始运动，然后慢慢停下来D．撞击时开始运动，然后做匀速直线运动9．（2007?银川）下列事例中，属于防止惯性的是（） A．跳远运动员在起跳前要助跑 B．为了安全行驶，汽车不能超载 C．拍打衣服，可以把衣服上的尘土拍掉 D．停止蹬自行车后，车仍能前进一段距离 10．（2012?济南）由图2可知：驾驶员和前排乘客必须使用安全带！小刚用下面的四句话解释了安全带的作用：①撞向挡风玻璃造成伤害，系上安全带就可有效避免这种伤 3
一）牛顿第一定律（又叫惯性定律） 1、内容：一切物体在没有受到力的作用的时候,总保持静止状态或匀速直线运动状态 2、牛顿第一定律的理解 1）牛顿第一定律是通过分析、概括、推理得出的，不可能用实验直接来验证。 2）对任何物体都适用，不论固体、液体、气体。 3）力是改变物体运动状态的原因,力不是维持物体运动状态的原因. 4）运动的物体不受力时做匀速直线运动(保持它的运动状态) 5）静止的物体不受力时保持静止状态(保持它的静止状态) 二）惯性 1 2、惯性的理解 1）一切物体任何时候都具有惯性.(静止的物体具有惯性,运动的物体也具有惯性).牛顿第一定律表明，一切物体都具有保持静止状态或匀速直线状态的性质，因此牛顿第一定律也叫惯性定律。 2）惯性是物体本身的属性,惯性的大小与物理的质量的大小有关.质量越大，惯性越大。 质量越大的物体其运动状态越难改变。惯性的大小与物体的形状、运动状态、位置及受力情况毫无关系。 3）惯性是物体本身固有的一种属性。一切物体任何时候、任何状态下都有惯性。惯性不是力，不能说惯性力的作用，惯性的大小只与物体的质量有关，与物体的速度、物体是否受力等因素无关。 3、防止惯性的现象带来的危害：汽车安装安全气襄,汽车安装安全带。 利用惯性的现象：跳远助跑可提高成绩,拍打衣服可除尘 4、解释现象： 例：汽车突然刹车时，乘客为何向汽车行驶的方向倾倒 答：汽车刹车前，乘客与汽车一起处于运动状态，当刹车时，乘客的脚由于受摩擦力作用，随汽车突然停止，而乘客的上身由于惯性要保持原来的运动状态，继续向汽车行驶的方向运动，所以汽车突然刹车时，乘客为何向汽车行驶的方向倾倒。 二、基础知识检测 1．在“探究阻力对物体运动的影响”的实验中，让小车每次从斜面顶端处由静止滑下，改变水平面的粗糙程度，测量小车在水平面上滑行的距离，结果记录在下表中． 1）第三次实验中，小车在水平木板上滑行时的停止位置如图所示，读出小车在木板上滑行的距离并填在表中相应空格处． 2）为了得出科学结论，三次实验中小车每次都从斜面上同一位置由静止自由下滑，这样做的目的是：使小车从斜面上同一位置到达底端水平面时． 3）分析表中内容可知：水平面越光滑，小车受到的阻力越________，小车前进的距离
牛顿第二定律基础理解 不定项选择 1、关于运动和力的关系，下列说法中正确的是 A．力是维持物体运动的原因 B．力是改变物体运动状态的原因 C．一个物体受到的合力越大，它的速度越大 D．一个物体受到的合力越大，它的加速度越大 2、关于伽利略理想实验，以下说法正确的是（） A．理想实验是一种实践活动 B．理想实验是一种思维活动 C．伽利略的理想实验否定了亚里士多德关于力与运动的关系 D．伽利略的理想实验证实牛顿第二定律 3、下列说法中正确的是( ) A．物体在不受外力作用时，保持原有运动状态不变的性质叫惯性，故牛顿运动定律又叫惯性定律 B．牛顿第一定律仅适用于宏观物体，只可用于解决物体的低速运动问题 C．牛顿第一定律是牛顿第二定律在物体的加速度a＝0条件下的特例 D．伽利略根据理想实验推出，如果没有摩擦，在水平面上的物体，一旦具有某一个速度，将保持这个速度继续运动下去 4、关于速度、加速度、合外力之间的关系，正确的是( ) A．物体的速度越大，则加速度越大，所受的合外力也越大 B．物体的速度为零，则加速度为零，所受的合外力也为零 C．物体的速度为零，但加速度可能很大，所受的合外力也可能很大 D．物体的速度很大，但加速度可能为零，所受的合外力也可能为零 5、下列对力和运动的认识正确的是（） A．亚里士多德认为只有当物体受到力的作用才会运动 B．伽利略认为力不是维持物体速度的原因，而是改变物体速度的原因 C．牛顿认为力是产生加速度的原因 D．伽利略根据理想实验推论出，如果没有摩擦，在水平面上的物体，一旦具有某一个速度，将保持这个速度继续运动下去
6、由牛顿第二定律表达式F＝ma可知 ( ) A．质量m与合外力F成正比，与加速度a成反比 B．合外力F与质量m和加速度a都成正比 C．物体的加速度的方向总是跟它所受合外力的方向一致 D．物体的加速度a跟其所受的合外力F成正比，跟它的质量m成反比 7、关于运动和力的关系，下列说法中正确的是( ) A．当物体所受合外力不变时，运动状态一定不变 B．当物体所受合外力为零时，速度一定不变 C．当物体速度为零时，所受合外力不一定为零 D．当物体运动的加速度为零时，所受合外力不一定为零 8、下列说法正确的是( ) A．物体所受到的合外力越大，其速度改变量也越大 B．物体所受到的合外力不变(F合≠0)，其运动状态就不改变 C．物体所受到的合外力变化，其速度的变化率一定变化 D．物体所受到的合外力减小时，物体的速度可能正在增大 9、下列说法正确的是（） A．物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动 B．物体受到的合外力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动 C．物体受到的合外力方向与速度方向成钝角时，物体做减速直线运动 D．物体受到的合外力方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动 10、在牛顿第二定律的数学表达式F＝kma中，有关比例系数k的说法正确的是( ) A．在任何情况下k都等于1 B．在国际单位制中k一定等于1 C．k的数值由质量、加速度和力的大小决定 D．k的数值由质量、加速度和力的单位决定 11、力F1单独作用在物体A上时产生的加速度a1大小为5m/s2，力F2单独作用在物体A上时产生的加速度a2大小为2m/s2，那么，力F1和F2同时作用在物体A上时产生的加速度a可能是（） A． 5m/s2 B． 2m/s2 C． 8m/s2 D． 6m/s2
学科前沿讲座论文 班级：工程力学13-1班姓名：陆树飞
学号：02130827
牛顿法求非线性方程的根 一 实验目的 （1）用牛顿迭代法求解方程的根 （2）了解迭代法的原理，了解迭代速度跟什么有关 题目：用Newton 法计算下列方程 （1） 013=--x x ， 初值分别为10=x ，7.00=x ，5.00=x ； （2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。当选择初值02x =时 给出结果并分析现象,当6510ε-=?，迭代停止。 二 数学原理 对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程f(x)=0有近似根x k (假定k f'(x )0≠) ，将函数f(x)在点x k 进行泰勒展开，有 k k k f(x)f(x )+f'(x )(x-x )+≈??? 于是方程f(x)=0可近似的表示为 k k k f(x )+f'(x )(x-x )=0 这是个线性方程，记其根为x k+1，则x k+1的计算公式为 k+1k ()x =x -'() k k f x f x ，k=0,1,2,… 这就是牛顿迭代法。
三 程序设计 （1）对于310x x --=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none real :: x(0:50),fx(0:50),f1x(0:50)!分别为自变量x ，函数f(x)和一阶导数f1(x) integer :: k write(*,*) "x(0)=" read(*,*) x(0) !输入变量：初始值x(0) open(10,file='1.txt') do k=1,50,1 fx(k)=x(k-1)**3-x(k-1)-1 f1x(k)=3*x(k-1)**2-1 x(k)=x(k-1)-fx(k)/f1x(k) !牛顿法 write(*,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) !输出变量：迭代次数k 及x 的值 write(10,'(I3,1x,f11.6)') k,x(k) if(abs(x(k)-x(k-1))<1e-6) exit !终止迭代条件 end do stop end （2）对于32943892940x x x +-+=，按照上述数学原理，编制的程序如下 program newton implicit none
牛顿第一定律和惯性 第五节牛顿第一定律——惯性（一）教学目的1．知道什么是惯性，认识一切物体都有惯性．2．会用物体的惯性解释惯性现象，培养学生的语言表述能力．3．通过惯性现象，向学生进行交通安全教育．（二）教具惯性球、惯性小车和木块．（三）教学过程一、复习提问牛顿第一定律的内容是什么？二、惯性教师：从牛顿第一定律知道，任何物体都具有保持静止状态或保持匀速直线运动状态的性质，这种性质叫做惯性．也可以说物体有保持运动状态不变的性质叫惯性．牛顿第一定律也叫惯性定律．这里提出了一切物体都有惯性，物体在任何情况下都有惯性．三、惯性现象教师：一切物体都有惯性．下面我们做几个表现物体具有惯性的有趣实验．1．惯性小球实验我们把一个小球稳稳地放在小木片上，用弹簧片迅速地把小木片弹出去，注意观察发生的现象．（演示）小木片弹出去后，小球落在了原处．大家都知道这是由于小球有惯性．但是如何用简单明了的语言解释这个现象呢？我们用惯性解释物理现象，必须抓住惯性的实质．惯性的实质是物体有保持原有的运动状态不变的性质，所以我们必须认清物体原有的运动状态．以小球为例，木片被弹出去之前，小球处于静止状态．小球由于有惯性，还应保持原有的静止状态，所以小球落在原处．简言之，物体原来是什么状态，由于有惯性，它要保持什么状态，这是解释惯性现象的关键．2．钢笔帽的惯性
实验．教师示范：拿一个小纸条放在桌边上，在纸条上压一个立着放的钢笔帽，将纸条迅速抽出，钢笔帽不倒．（学生操作）教师提问：请大家解释当纸条抽出时，笔帽为什么不倒？（学生回答，教师讲评）钢笔帽是静止的．当纸条迅速抽出时，由于笔帽有惯性，还要保持静止状态，所以笔帽不倒．3．刹车时的惯性现象教师：我们在小车上立一个木块，使小车和木块一起运动，小车突然停住时会发生什么现象？（演示，并请学生解释，教师讲评）教师：刹车前木块和小车一起运动．刹车时，木块底部和小车都停住了，但是由于有惯性，木块上部还要保持向前运动，所以木块向前倾倒．这个实验再现了汽车紧急刹车时乘客向前倒这一普遍现象．4．汽车起动发生的惯性现象教师：请大家解释汽车起动时乘客为什么向后倾倒？（学生回答：教师讲评）四、学生练习1．章后习题1（教师讲评从略）2．章后习题4（教师讲评从略）3．习题3（教师讲评从略）4．习题2（学生答）教师：飞机投掷物体前，被投掷物跟飞机一起运动．投掷物离开飞机后由于惯性仍要向前保持匀速直线运动．可是被投掷物受重力作用，它向前运动的同时还要向下落，物体的实际下落轨道是一抛物线．所以必须提前投掷．飞机速度越大，高度越大，提前量也应该越大．飞机投弹也遵循这个规律．5．节后练习4（学生答）教师：跳远运动员起跳前经过了一段距离的助跑，踏跳时具有较大的水平向前的速度．由于人有惯性，踏跳后还要向前继续用较大的速度运动，这样可以跳的更远些．事实证明，跳远运动
用牛顿迭代法求近似根
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第四题 题目：用Newton 法求方程在 74 28140x x -+= （0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）. 解：此题是用牛顿迭代法求解近似根的问题 1. Newton 迭代法的算法公式及应用条件： 设函数在有限区间[a,b]上二阶导数存在，且满足条件 ⅰ. ()()0f a f b <; ⅱ. ()''f x 在区间[a,b]上不变号； ⅲ. ()'0f x ≠; ⅳ. ()()'f c f c b a ≤-，其中c 是a,b 中使()()''min(,)f a f b 达到的一个. 则对任意初始近似值0[,]x a b ∈，由Newton 迭代过程 ()()() 1'k k k k k f x x x x f x +=Φ=-，k=0，1，2… 所生成的迭代序列{ k x }平方收敛于方程()0f x =在区间[a,b]上的唯一解а. 对本题： )9.1()9.1(0 )8(4233642)(0 )16(71127)(0 )9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f Θ 故以1.9为起点 ?? ???='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 2. 程序编写 #include
牛顿第一定律惯性平衡力 班级：姓名： 一、知识梳理 （研究对象）原来….，突然….，由于惯性，物体要保持原来xx运动状态，所以……。
二、经典例题 1. 牛顿第一定律： 例1.为了探究不同阻力对物体运动的影响，小敏进行了如下实验(如图所示)：在水平放置的木板上铺上粗糙程度不同的毛巾、棉布，让同一辆小车由同一斜面上，分别从A、B、C 处静止开始滑下，观察小车在不同水平面上运动的距离并记录在下表中，实验重复三次。 (1)实验中，使小车从斜面的相同高度由静止下滑，目的是______________________________。 (2)利用这些实验数据，目的是为了比较小车____________________________________。 (3)实验结果能证明____________(填序号)。 A. 物体运动需要力 B. 力可以改变物体的运动状态 C. 牛顿第一定律 2. 惯性 例2. 如图，将一只小球竖直向上抛出，小球先后经过A、B两个位置。 已知小球A、B两个位置的速度分别为2m/s、0。 (1)如果小球向上运动到达A点时，一切外力突然消失，则此后小球将 做什么运动？___________________________。 (2) 如果小球向上运动到达B点时，一切外力突然消失，则此后小球 将做什么运动？_______________________。 练. （1）水平地面上的物体A，从3米/秒开始，向右做减速运动，当它 减小至1米/秒时，若所有的力都同时消失，则物体A将如何运动？ _________________________________。 （2）物体B静止在水平地面上，若所有的力都同时消失，则物体B将如何运动？ _______________________。 例3.小球A静止放在光滑车厢底板上（设车厢底板足够长），如图 所示．当车厢受到水平向右的力F作用时，车厢从静止开始在 水平地面上作速度越来越大的直线运动。则此运动过程中，请 确定小球A对地的运动情况，并写出分析过程。 A
牛顿第二定律【学习目标】 1.深刻理解牛顿第二定律，把握 F a m =的含义． 2.清楚力的单位“牛顿”是怎样确定的． 3.灵活运用F＝ma解题． 【要点梳理】 要点一、牛顿第二定律 (1)内容：物体的加速度跟作用力成正比，跟物体的质量成反比． (2)公式： F a m ∝或者F ma ∝，写成等式就是F＝kma． (3)力的单位——牛顿的含义． ①在国际单位制中，力的单位是牛顿，符号N，它是根据牛顿第二定律定义的：使质量为1kg的物体产生1 m/s2加速度的力，叫做1N．即1N＝1kg·m/s2． ②比例系数k的含义． 根据F＝kma知k＝F/ma，因此k在数值上等于使单位质量的物体产生单位加速度的力的大小，k的大小由F、m、a三者的单位共同决定，三者取不同的单位，k的数值不一样，在国际单位制中，k＝1．由此可知，在应用公式F＝ma进行计算时，F、m、a的单位必须统一为国际单位制中相应的单位． 要点二、对牛顿第二定律的理解 (1)同一性 【例】质量为m的物体置于光滑水平面上，同时受到水平力F的作用，如图所示，试讨论： ①物体此时受哪些力的作用? ②每一个力是否都产生加速度? ③物体的实际运动情况如何? ④物体为什么会呈现这种运动状态? 【解析】①物体此时受三个力作用，分别是重力、支持力、水平力F． ②由“力是产生加速度的原因”知，每一个力都应产生加速度． ③物体的实际运动是沿力F的方向以a＝F/m加速运动． ④因为重力和支持力是一对平衡力，其作用效果相互抵消，此时作用于物体的合力相当于F． 从上面的分析可知，物体只能有一种运动状态，而决定物体运动状态的只能是物体所受的合力，而不能是其中一个力或几个力，我们把物体运动的加速度和该物体所受合力的这种对应关系叫牛顿第二定律的同一性． 因此，牛顿第二定律F＝ma中，F为物体受到的合外力，加速度的方向与合外力方向相同． (2)瞬时性 前面问题中再思考这样几个问题： ①物体受到拉力F作用前做什么运动? ②物体受到拉力F作用后做什么运动? ③撤去拉力F后物体做什么运动? 分析：物体在受到拉力F前保持静止． 当物体受到拉力F后，原来的运动状态被改变．并以a＝F/m加速运动． 撤去拉力F后，物体所受合力为零，所以保持原来(加速时)的运动状态，并以此时的速度做匀速直线运动． 从以上分析知，物体运动的加速度随合力的变化而变化，存在着瞬时对应的关系．
牛顿第一定律和惯性
牛顿第一定律和惯性习题 1、根据牛顿第一定律可知（） A.物体运动状态改变时，一定受到外力的作用 B.物体若不受外力的作用，一定处于静止状态 C.运动的物体若去掉外力作用，物体一定慢慢停下来 D.物体的运动是依靠力来维持的和 2、下列实例中，属于减少惯性的不利影响的是（） A.跳远运动员跳远时助跑 B.劳动时，斧头松了，把手柄的下端撞击树墩，使斧头被套牢 C.小型汽车驾驶员驾车时必须系好安全带 D.用力拍打刚晒过的被子使灰尘落下 3、在探究阻力对物体运动的影响时，发现水平面的粗糙程度会影响小车运动的距离，水平面越光滑，小车运动距离越远，在此基础上通过科学推理得到了牛顿第一定律?以下物理问题所采用的研究方法与此相同的是（） A.探究动能跟哪些因素有关 B.通过墨水的扩散现象研究分子的运动 C.用磁感线描述磁场 D.真空不能传声
A. C. 都是小车突然减速时发生的 B. 都是小车突然加速时发生的图甲是小车突然减速时发生的 D. 图乙是小车突然减速时发生的 4、如图甲、乙所示是小车载着木块向右运动过程中发生的现象，下列判断正确的是（） 阳0
5、如图所示，在车厢中的 a 是用绳拴在底部上的氢气球， b 是用绳挂在车厢顶的金属球，开始时它们和车一起向右 作匀速直线运动，若忽然刹车使车厢作匀减速运动，则下列几个图能正确表示刹车期间车内的情况是（ 6、对生括中一些惯性现象的解释: ① 水平公路上行驶的汽车关闭发动机后还能继续行驶一段距离?是因为汽车具有惯性; ② 跳远运动员跑起跳，是为了增大惯性； ③ 小汽车配置安全气囊，可以减小惯性带来的危害； ④ 抛岀去的实心球还会在空中运动一段时间，是因为实心球受到惯性力的作用. 以上四种说法中正确的是（ ） 7、下列四幅图中，属于利用惯性的 A. 在草坪上滚动的足球，滚动得越来越慢，是由于它的惯性越来越小 B. 高速行驶的汽车即使紧急刹车也要滑行一段距离后才能停下来，这是因为速度越大惯性越大 C. 跳远运动员助跑起跳，是为了利用他自身的惯性来提高成绩 D. 推岀去的铅球能在空气中飞行，是因为铅球受到了惯性力的作用 9、.如图2所示的四种情景中，为了预防惯性造成危害的是 （ ） A. 跳远前的助跑 B.溜冰时脚向后蹬地 C.锤头松了撞击锤柄 A ? 只有①② B 只有①③ C 只有②③ D ?只有①④ 8、下列关于惯性的说法中正确的是 ' D.司机系安全带 是 盘山公跑 透柄檯击木凳 拦河大坝 锤头套贤 挥杆跳高运动员褪 杆上升过程中 D
牛顿迭代公式 设r 是f(x) = 0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（x0,f(x0)） f(x)的切线L ，L 的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L 与x 轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r 的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x 轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r 的二次近似值。重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r 的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。 解非线性方程 f(x)=0似方法。把f(x)在 x0 f(x) = f(x0)+(x －x0)f'(x0)+(x －x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x －x0)-f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 牛顿迭代法又称牛顿切线法，它采用以下方法求根：先任意设定一个与真实的根接近的值x 0作为第一个近似根，由x 0求出f(x 0)，过(x 0,f(x 0))点做f(x)的切线，交x 轴于x 1，把它作为第二次近似根，再由x 1求出f(x 1)，再过(x 1,f(x 1))点做f(x)的切线，交x 轴于x 2，再求出f(x 2)，再作切线……如此继续下去，直到足够接近真正的x *为止。 ) ()()()(0' 0010 100' x f x f x x x x x f x f - =-= 因此， 就是牛顿迭代公式。 例1 用牛顿迭代法求方程2x 3-4x 2 +3x-6=0在1.5附近的根。 本题中，f(x)= 2x 3-4x 2+3x-6=((2x-4)x+3)x-6 f ’(x)= 6x 2-8x+3=(6x-8)x+3 #include "stdio.h"
“牛顿第一运动定律”的再认识 “牛顿第一运动定律”是经典力学中的基本定律之一，是与人们的生活密切相关且在学界应用力学规律。但是，在初中物理教学中对这一定律的阐释却不尽完美，甚至有给学生的正确认识造成误导之虞。牛顿力学三定律中的牛顿第一定律也叫做惯性定律；教材在引导学生理解这一定律时，首先引导学生对实验现象的观察和分析，然后在实验基础上进行科学推理，进而得出物体在不受力时所表现出的运动规律，最后说明这一定律首先由牛顿发现所以叫“牛顿第一运动定律”。在学生理解好这一定律后，通过定律中物体表现出的运动规律得出“惯性”的概念及其物理含义，在此基础上进而说明“牛顿第一运动定律”也叫“惯性定律”。那么，这种认识问题的过程和方法是否科学合理、是否符合逻辑呢？下面，本人就自己的认识略谈一二，不尽正确只期与好事同行商榷。 1、给定律正名；“牛顿第一运动定律”的真名就叫“惯性定律”。要向学生交代清楚，如果交代不清，那么学生便会造成主与次真和假颠倒的错误认识，给知识的深入理解和应用产生误导。 2、改变教材结构；改变教材旧有的编排结构，在教材内容的安排上首先引导学生认识“惯性”的物理
含义、名称的由来等，然后深入认识生活里的典型的与“惯性”有关的现象及“惯性”在生产和生活中的应用。在此基础上再通过实验探究结合科学推理得出“惯性定律”。如此，便可科学合理、逻辑严密、顺理成章。 3、定律的内容再充实一点；将原定律内容扩充为 匀速直线运动状态。”如此改动，就会使这一定律中所描述的物体的运动规律成立的条件、发生的原因叙述得一清二楚了，而这一定律之所以被叫做“惯性定律”的也就不言而喻了。至于“惯性定律”又被称作“牛顿第一运动定律”则仅仅是为了纪念牛顿而已，并无实际的物理意义。
考点一对牛顿第二定律的理解 多选题 （基础题）(多选)一物体重为50 N，与水平桌面间的动摩擦因数为0.2，现加上如图所示的水平力F1和F2，若F2＝15 N时物体做匀加速直线运动，则F1的值可能是(g＝10 m/s2)() A．3 N B.25 N C．30 N D．50 N 【解析】若物体向左做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知F2－F1－μG＝ma>0，解得F1<5 N，A正确；若物体向右做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知F1－F2－μG＝ma>0，解得F1>25 N，C、D正确。 【答案】ACD 单选题 （基础题）如图所示，质量m＝10 kg的物体在水平面上向左运动，物体与水平面间的动摩擦因数为0.2，与此同时物体受到一个水平向右的推力F＝20 N的作用，则物体产生的加速度是(g取10 m/s2)()
A ．0 B ．4 m/s 2，水平向右 C ．2 m/s 2，水平向左 D ．2 m/s 2，水平向右 【解析】物体水平向左运动，所受滑动摩擦力水平向右，F f ＝μmg ＝20 N ，故物体所受合外力F 合＝F f ＋F ＝40 N ，由牛顿第二定律可得：a ＝F 合 m ＝4 m/s 2.方向水平向右，B 正确． 【答案】B （基础题）如图，老鹰沿虚线MN 斜向下减速俯冲的过程中，空气对老鹰的作用力可能是图中的( ) A ．F 1 B ．F 2 C ．F 3
D．F4 【解析】老鹰沿虚线斜向下减速飞行，加速度沿着虚线向上，故合力F沿着虚线向上；老鹰受重力和空气对其作用力，根据三角形定则作图所示： 故选项B正确． 【答案】B （中档题）如图甲、乙所示，两车都在光滑的水平面上，小车的质量都是M，人的质量都是m，甲图人推车、乙图人拉绳(绳与轮的质量和摩擦均不计)的力都是F.对于甲、乙两图中车的加速度大小说法正确的是() A．甲图中车的加速度大小为F M B．甲图中车的加速度大小为F M＋m
Newton迭代法求解非 线性方程
一、 Newton 迭代法概述 构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。 设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即： )x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1) 于是我们得到如下近似方程： 0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2) 设0)('≠k x f ，则方程的解为： x ?=x k +f (x k ) f (x k )? (1-3) 取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,… (1-4) 上式称为牛顿迭代格式。用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义。方程： )x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5) 是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。正因为如此，牛顿法也称为切线法。 牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。若
要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式： ) x ('f ) x (f x x k k k 1k λ -=+, ?=,2,1,0k (1-6) 上式中，10<λ<，称为下山因子。因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。 牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算)x (f k 之外，还要计算 )x ('f k 的值。如果)x (f 比较复杂，计算)x ('f k 的工作量就可能比较大。为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。通常用如下几种方法： 1. 割线法 如果用 1 k k 1k k x x ) x (f )x (f ----代替)x ('f k ，则得到割线法的迭代格式为： )x (f ) x (f )x (f x x x x k 1k k 1 k k k 1k --+---= (1-7) 2. 拟牛顿法 如果用 ) x (f )) x (f x (f )x (f k 1k k k ---代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： )) x (f x (f )x (f ) x (f x x 1k k k k 2k 1k -+--- = (1-8) 3. Steffenson 法 如果用 ) x (f ) x (f ))x (f x (f k k k k -+代替)x ('f k ，则得到拟牛顿法的迭代格式为： ) x (f ))x (f x (f ) x (f x x k k k k 2k 1 k -+- =+