第一章 函数与极限
一、内容提要
（一）主要定义
【定义1.1】 函数 设数集,DR如果存在一个法则，使得对D中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称:fDR为定义在D上的函数,记作
(),yfxxD.
x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域.
【定义1.2】 数列极限 给定数列xn及常数a,若对任意0,总存在正整数N,使得当nN时,恒有xan成立,则称数列xn收敛于a,记为axnnlim.
【定义1.3】 函数极限
（1）对于任意0,存在0,当00xx时,恒有Axf.则称A为fx当0xx时的极限,记为Axfxx)(lim0.
（2） 对于任意0,存在0X,当xX时,恒有fxA().则称A为fx当x时的极限,记为lim()xfxA.
（3）单侧极限
左（右）极限 任意0,存在0,使得当000(0)xxxx时,恒有Axf.则称当00()xxxx时)(xf有左（右）极限A,记为00lim()(lim())xxxxfxAfxA 或00(0)((0))fxAfxA.
单边无穷极限 任意0,存在0X,使得当xX（xX）时,
恒有fxA(), 则lim()xfxA（lim()xfxA） .
【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()fx当0xx(或x)时的极限为零（|()|fx无限增大）,那么称函数()fx为当0xx(或x)时的无穷小（无穷大）.
【定义1.5】 等价无穷小 若lim0,lim0,lim1,则与是等价的无穷小.
【定义1.6】 连续 若)(xfy在点0x附近有定义,且)()(lim00xfxfxx,称()yfx在点0x处连续.否则0x为()fx的间断点.
第一章 函数与极限
高等数学主要研究对象是变量及其之间的相互关系．极限是研究变量的一种基本的和重要的方法．本章主要讨论函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的基本性质．
第一节 函数
一 预备知识：
1.集合
由事物组成的集体，无论它们是由其成员直接表示出来的，还是由它们成员所具有的某些本质属性表示出来的，都称为集合．
集合是数学中的一个原始概念，以上的定义属描述性的．几乎所有的数学分支都与集合密切相关，我们所学的这门课与实数集就是紧密相关的．
某事物a是集合A的一个成员，则称a为A的一个元素，记作aA．若事物a不是A的元素，记作aA．
一个集合认为是已知的，如果对任何事物能判断它是否属于这个集合．若能写出这个集合的所有元素，则我们用一个括号将它们括起来表示这个集合，例如由元素12,,,naaaL组成的集合，可记作
12,,,nAaaaL，
而对不易列举出其所有元素的集合，通常用以下记号表示：设集合A是由某种性质P的元素x所组成，就记作
{|}AxxP具有性质．
例如 {|}Nnn为自然数代表全体自然数组成的集合， {|}Rxx为实数代表全体实数所组成的集合，{|}Zxx为整数代表全体整数所组成的集合， {|}Qxx为有理数代表全体有理数所组成的集合．
若集合A的元素都是集合B的元素，即若xA ,则xB，就称A是B的子集，记作AB或BA，例如
NZ，ZQ，QR．
若AB，且BA，则称集合A等于集合B，记作AB．
一个极端的情形是集合中不含任何元素，这种集合称为空集，记作．
2.邻域
邻域也是我们以后常要用到的一个重要概念．
设aR，R且0，数集xxa称为点a的邻域，记作()aU；点a叫做该邻域的中心，叫做该邻域的半径，如图1-1．
第一章 函数、极限与连续
由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.
极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述.
第一节 变量与函数
一、变量及其变化范围的常用表示法
在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式axb的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,ab，即
,{|}abxaxb；
满足不等式axb的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)ab，即
(,){|}abxaxb；
满足不等式axb(或axb)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为
,ab (或,ab)，即
,{|}abxaxb (或,{|}abxaxb)，
第一章 函数与极限
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。
一、本章主要内容：
1、数列极限的 定义，函数极限的定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，
（1） 单调有限准则，重要极限
（2） 夹逼准则，重要极限
6．函数的连续性概念和间断点的类型
7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
二、内容提要框图
三 本章重点
1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．
2. 建立极限概念与理解ε －N方法, 函数极限的概念与ε －δ方法
3. 无穷小的概念与性质 4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用
5. 初等函数的连续性及其应用
四本章难点
1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的
复合函数的关系式．
2. ε －N, ε －δ极限定义证明法
3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别
4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．
5. 闭区间上连续函数的几条性质．
第一节 映射与函数
学习指导
1．教学目的
读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。
2．基本练习
会求函数的定义域，会求函数的反函数。会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。会把复合函数分解成基本初等函数的组合。
