一元二次方程基础和二次函数基础经典

一元二次方程基础知识举例

1、一元二次方程的一般式：

20 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 2、一元二次方程的解法

（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

如：2()(0)axbcc 解为：axbc

练习：1、.25)1(412x

2、.063)4(22x

（2）因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法

如提公因式：

3(21)5(21)0(35)(21)0xxxxx注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。

22694(3)4xxx

2241290(23)0xxx

24120(6)(2)0xxxx

225120(23)(4)0xxxx

十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。

练习：1、x2＋6x＋9＝0

2、(x－1)2－2(x－1)＝0

3、3x(x－2)＝2(x－2)．

4、x2－3x－28＝0．

5、(x－2)2＝(2x＋5)2

（3）配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

示例：22233310()()1022xxx

②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a且b为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。

备注：一元二次方程的解题步骤：

①四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。

②可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。

③虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

练习：1．x2－8x＋______＝(x－______)2．

2．x2＋3x＋______＝(x＋______)2．

3．xx232＋______＝(x－______)2．

4．xx322＋______＝(x＋______)2．

5．x2－px＋______＝(x－______)2．

6．xabx2＋______＝(x－______)2．

7.01322xx

8、x2－2x－1＝0

9、y2－6y＋6＝0

10、3x2－4x＝2．

11、.231322xx

（4）公式法：

（重点记忆）

公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：

20 (0)axbxca，并确定出a、b、c；

②求出24bac，并判断方程解的情况。

③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）

练习：2x－1＝－2x2

3、根的判别式及应用(△=b2-4ac)

(1)判定一元二次方程根的情况.

△>0有两个不相等的实数根;

△=0有两个相等的实数根;

△<0没有实数根;

△≥0有实数根（等或不等）.

(2)确定字母的值或取值范围.

应用根的判别式,其前提为二次系数不为0;考查时,经常和根与系数的关系、函数知识相联系、判别根的情况常用配方法.

练习：

1、若关于x的方程x2－2x－k＋1＝0有两个实数根，则k______．

2、求证：不论m取任何实数，方程02)1(2mxmx都有两个不相等的实数根．

3、若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )．

(A)23m (B)23m且m≠1

(C)23m且m≠1 (D)23m

4、根系关系：方程20 (0)axbxca的两个根为12,xx，那么：

1212,bcxxxxaa

常用变形： ①222121212()2xxxxxx，

② 12121211xxxxxx，

③212122121222121122)(xxxxxxxxxxxxxx

④22121212()()4xxxxxx，

⑤2121212||()4xxxxxx，

⑥ 2212121212()xxxxxxxx 等

1．（2011•自贡）已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，则的值等于（ ）

A．﹣6 B．6 C．10 D．﹣10

2．（2011•武汉）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（ ）

A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3

3．（2011•南通）若3是关于方程x2﹣5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）

A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5

4．（2011•昆明）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是（ ）

A．﹣，﹣2 B．﹣，2 C．，2 D．，﹣2

5．（2010•日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（ ）

A．﹣3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣3 D．2，3

6． x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．

7、已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．

（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．

（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．

 二次函数基础知识举例

一、二次函数的定义

1、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。

2、若函数y=(m－2)xm －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为 。

二、二次函数的对称轴、顶点、最值

记忆：

如果解析式为顶点式：y=a(x－h)2+k，则对称轴为： ，最值为： ；

如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为： ，最值为： ；

如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为： ，最值为： 。

1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。

2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .

7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是 。

11．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝ ______ 。

三、函数y=ax2+bx+c的图象和性质

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=12 x2－2x+1 ；

6．把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

四、函数y=a(x－h)2的图象与性质

抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

223xy

2321xy

五、二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；

当x=1时，函数有最 值是 。

六、二次函数的平移

记法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)2+k，

平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减，对y 。

10.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .

11.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

七、函数的交点

11.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。

12.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。

八、函数的的对称

13.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。

九、函数的图象特征与a、b、c的关系

4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1. 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离

为

2. 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，

交y 轴于点C， 则△ABC的面积为( )

A.6 B.4 C.3 D.1

3. 已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。