二次根式重点难点 二次根式难题 易错题 二次根式知识点
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《16.1 二次根式（第1课时）》教材内容解析与重难点突破
一、教材分析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.
本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；教学难点是：理解二次根式的双重非负性.
二、重难点分析
（一）了解二次根式的概念
突破建议
让学生经历二次根式概念抽象的过程.
二次根式概念的获得，要让学生经历其抽象的过程，借此培养学生的抽象概括能力，加深学生对二次根式概念的理解.教学时，要充分利用教材的“思考”栏目，从生活中的实际问题引入，以激发学生的学习兴趣．可参考如下过程设计：
问题1 你能用带有根号的的式子填空吗？
（1）面积为3的正方形的边长为 ，面积为的正方形的边长为 .
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t为 _____．
让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．
问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？
教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.
问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？
让学生体会由特殊到一般的过程，由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
教师追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？
引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．
（二）理解二次根式的双重非负性
突破建议
在辨析中理解二次根式的双重非负性
二次根式的双重非负性，要让学生在辨析中加以理解．教学时，可参考如下问题设计：
问题1 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．
问题2 你能比较与0的大小吗？
通过与0的大小的比较，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身非负数的理解．
《16.1 二次根式（第2课时）》教材内容解析与重难点突破
一、教材分析
二次根式的性质是二次根式化简和运算的基础，应让学生熟练掌握和灵活运用.
对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过 “探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．
本节课的教学重点是：理解二次根式的性质；教学难点是：二次根式性质的灵活运用.
二、 重难点分析
（一）理解二次根式的性质
突破建议
在探究的过程中得出二次根式的性质
对于二次根式的性质，重在让学生理解，而不是把结论直接告诉学生，让学生去机械记忆.因此，在教学过程中，要充分利用教材的“探究”栏目，让学生经历二次根式性质的探究过程，引导学生由具体到抽象，得出一般性结论，并发现开方运算与平方运算的关系.培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力.教学时，可参考如下的问题设计：
问题1 你能解释下列式子的含义吗？
，，，.
让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.
问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.
；
；
；
.
学生独立完成填空后，重在让学生展示其思维过程，看学生是怎样得出结论的.由于，，学生很容易得出，.对于、，学生理解起来有一定得到困难，需要教师的引导：根据算术平方根的意义，可设()，则，把代入，可得，同理可得.
问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？
引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.
对于（≥0）这个性质，可以类似设计如下三个问题：
问题1 你能解释下列式子的含义吗？
，，，.
问题2 填空：
= ，= ，= ，= .
问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？
引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）
问题4 谈一谈你对与的认识.
引导学生从式子的读法、意义、被开方数的取值范围、运算结果等方面加以辨别.
（二）二次根式性质的灵活运用
突破建议
精心设计习题灵活运用二次根式的性质
二次根式性质的灵活运用，关键在于精心设计好每一道习题.让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.可参考如下的习题设计：
1.填一填：
(1)
；(2)
；(3)
；(4) .
说明：设计最基础的练习，学生根据二次根式的性质，能直接得出答案.
2.算一算：
（1）；（2）；（3）；（4）.
说明：设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.
3.想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？
说明：通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.
《16.2二次根式的乘除（第1课时）》教材内容分析与重难点分析
一、教材分析
本节主要内容是二次根式的乘法运算和二次根式的化简，通过本节学习应使学生掌握根式的乘法运算法则和化简二次根式的常用方法.建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备.
探究二次根式的乘法法则，教材从具体例子出发，由特殊到一般、由具体到抽象地归纳给出二次根式的运算法则.通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而得出二次根式的乘法法则.“探究”栏目中的两个问题是两个不同层次的探究活动.首先是让学生通过计算发现规律，然后是让学生对发现的规律进行类比，得出乘法法则的具体内容.
为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高学生的运算能力，也为今后的数学学习打下必要的基础，教材在正文中设置了“选学例题”，采用举例的方式，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算。由于数式通性，只要将二次根式中的实数看成字母，二次根式的运算实际上就是整式的运算.
将二次根式的乘法法则反过来，就得到积的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.通过学习，应该使学生对化简二次根式的基本要求有所认识，即在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来，这一点教材利用了一个小贴士加以说明.
本节课的教学重点是，二次根式的乘法法则；教学难点是，在理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯.
二、重难点分析
1．二次根式的乘法法则的理解
突破建议
1.教材对本节内容的处理，仍然沿用“从具体数字的算术平方根的运算中观察规律，经历从特殊到一般的过程，归纳得出二次根式的乘法运算法则”的方式展开，教学时，应充分根据教材的编写意图，让学生通过观察：
比较两个二次根式的乘法中两个因式的异同，通过计算，得出两者的结果相等.通过思考、讨论，得出：二次根式的乘法法则是：.
2.对于中被开方数的要求，要让学生讨论得出的取值范围.
3.在运用进行计算时，要让学生说明先做什么，后做什么，如果还能开方的，要运用算术平方根的性质（）进行开方.
4.二次根式的乘法运算法则的逆运用，是二次根式化简的依据，利用它可以对二次根式进行化简，教学时，要让学生清楚互逆运算常常是运算的用到的，化简要分步进行，同时，要结合运用算术平方根的性质（）进行化简.
例1.化简：
解析：本题在被开方数相乘的时候，就可以讨论因数分解，而不必先写成再分解.
5.虽然教材以“让学生理解二次根式性质和运算，并会熟练运用法则进行运算”为重点，以突出二次根式的性质和法则的数学本质，但教学时应当适当加强含有字母的二次根式的化简.当然，题目不能复杂化，不应过分关注运算技巧.
2.养成良好的运算习惯
突破建议
1.本章训练学生运算技能的“训练点”有两个方面：一是“用二次根式的运算法则进行运算”，核心是有效地利用二次根式的性质和乘法法则，其中，将各式转化为最简二次根式是关键步骤；二是运算习惯的培养，与“数感”“符号意识”等相关，具体可以从“先观察，后计算”“先化简二次根式，后计算”“利用乘法公式进行计算”等等.
2.本章内容与以前所学的实数内容有较多的联系，在思考问题的方法上与整式的内容也有很多相通之处，因此，教学时，应多注意前后知识的联系性，引导学生发现整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立.
3.要注意算理，说明过程，书写规范.
《16.2二次根式的乘除（第2课时）》教材内容分析与重难点分析
一、教材分析
本节主要内容是介绍二次根式的除法运算和最简二次根式的概念，教材对除法法则的处理方式类似于乘法，也是采用特殊到一般归纳给出除法法则的方式.首先设置一个“探究”栏目，要求学生通过计算发现规律，其中的3个小问题中涉及到的被开方数都是完全平方数，这样有助于规律的发现.
将二次根式的除法法则反过来，就得到商的算术平方根的性质.利用这条性质可以对二次根式进行化简.这样化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后就在利用积的算术平方根的性质进行化简的基础上，又学习了一种化简二次根式的方法.
利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质对二次根式进行化简时，要求最后的运算结果满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能
