前测中寻找学生的认知起点

前测中寻找学生的认知起点

学生的认知起点指的是学生在学习某个新的知识点之前已经有的与之相关的生活经验基础和知识经验基础。虽然这些基础会因为学生的个体差异而不同，但学生在学习同一个知识点时一定会有许多共性的优势与不足，这也就为我们寻找学生的学习起点提供了依据。而前测这个工具就为教师研究现在学生的学情提供了帮助。运用前测教师可以找到适合学生认知的学习起点，选择适合学生学习的教学起点。下面笔者以“解方程”为例，来谈教师怎样进行前测，怎样通过对前测的分析去寻找教师想要的这两个起点。

一、教材分析

2014年出版的人教版教材把“解方程”这一内容安排在五年级上册“简易方程”这个单元里，并且增加了等式、等式的性质等相关内容，意在加强教师用等式的基本性质教学解方程的意识和能力。根据《数学课程标准（2011年版）》的要求，从小学起引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法，不仅有利于改善和加强中小学数学教学的衔接，而且有利于培养学生的代数思维习惯。

在“解方程”这部分内容的编排中，一改以往从现实情境引出方程然后再教学解方程的编排方式，而是单独编排了5道例题作为解方程的教学内容。编者有意把列方程与解方程分开，是想凸显解方程一整套的方法、步骤、格式。因为列方程需要的是等量关系的构建，解方程需要的是代数运算的一些技巧。新版教材中解方程的过程教学，充分借助实物直观、几何直观，发挥数形结合的优势，帮助学生理解方程变形、求解的过程。教材中的5道例题不仅类型上更加全面，而且层次上更加清晰。方程类型从简单到复杂，学习过程从直观插图讲解到自主抽象探索，5道例题层层推进，互相转化，形成了一条前后联系紧密的体现转化思想的教学链。解方程的过程实际上是一连串依据等式性质的演绎推理过程，最终将原方程转化为与其等价的“x=？”的形式。“x=？”是方程变形的目标。

二、编制试卷

前测主要的目的是了解学生学习这个知识点已有的基础和可能的困难，通过分析给教师的教学设计提供支撑。前测题目的编制不仅要体现前因后果，还要体现学生的思维过程，尤其是在学习新知识的时候是哪一个地方让学生难以接受，为什么？只有了解了学生真实的想法，课前充分预设学生的学习状态，才能在课堂上有针对性地实施突破重点、突出难点的教学。所以编制试卷时要特别注意设计一些能够充分暴露学生思维过程的题目。

下面是“解方程”的前测试卷。题目选自人教版五年级上册。

1.看图思考。

①看图写等式，能写几个写几个。

②你认为哪个等式最容易理解，为什么？

③你知道x的值是多少吗？写出思考过程。

（编制意图：第一题是“解方程”之前教学方程的意义后面的一道练习题，目的是测查学生能否看懂天平实物图意，能否写出正确等式，能否根据天平的平衡意义判定哪个等式最容易理解，能否用自己的方法求出方程的解。）

2.画图思考。

①看图写出你认为最容易理解的等式。

②你知道x的值吗？能在图上画一画表示出想的过程吗？

③你能把求x的过程完整地写下来吗？

④你想的结果对吗？怎么检验？能写一些吗？

（编制意图：第二题是教材例2的原题。目的是测查学生能否根据天平几何直观图示和天平的平衡意义写出方程;能否在天平图示上自己亲自画一画，画出解方程的过程;能否结合操作写出解方程的过程，并尝试检验。）

3.你能用几种方法求下面x的值？ x+ 3 = 9

方法一： 方法二： 方法三：

（编制意图：第三题是教材的例1，但是没有天平图示的暗示。因为数据比较小，学生根据以往的经验也能直接求出x的值。这里是想测查学生能否主动想到用等式的基本性质解方程，所以鼓励学生用多种方法求解。）

三、个别访谈

在学生学完用字母表示数、方程的意义、等式的基本性质之后，利用一次午谈20分钟的时间对学校五年级280个学生进行了统一测查。之后初次翻阅试卷找到当时认为比较有特点的学生试卷，确定个别访谈对象。由于测查的第二天就要学习“解方程”的知识，所以在试卷多、时间短的情况下，选取的样本不一定能够代表某一类学生的真实水平，但是访谈确实能够摸清学生的真实想法。本次前测访谈选取的基本上都是学习有困难的学生。

访谈1：

.

问：你写了这么多的等式，这样写下去能写好多呢。（学生面露喜色）你这个1是怎么想到的？99呢？

答：天平右边告诉我们是100了，所以我想只要2个数加起来是100就可以了。

问：那你知道图上的2个x表示什么吗？

答：x就是不知道的意思。我们不知道这个x是多少，所以我可以假设它是不同的数。只要这2个数合起来是100就行了。

问：如果不让你假设成2个具体的数，你会用x来列方程吗？ 答：（思考良久）那只能写成x+x=100了。但是这个x是不知道的呀！

问：那你能看着图说一说2个x之间的关系吗？（生摇头）

（分析：这个学生对字母x的认识就是不知道的意思。因为不知道所以可以假设成不同的数。面对一个天平实物图示时，他不能够写出正确的方程，不理解x在图中表达的意思，甚至也不知道2个x表示的物体是相同重量的。这样的话，会给解方程造成很大麻烦。）

访谈2：

问：你在图上用大括号画出了1个x表示的就是6个，你是怎么想的？

答：我数了数右边的小方块一共是18个，左边有3个大方块，1个大方块就是6个小方块。

问：你是怎么算出来的呢？

答：3个大方块等于18个小方块，1个大方块就等于6个小方块。用18÷3=6就算出来了呀！

问：你为什么不直接写一个x=6，而要写上“6个”这几个字呢？

答：分完之后就是6个呀！而且6和6个是不一样的。6是个数字，6个是图形。它们表示的意思不一样。

问：如果老师告诉你x=6，你觉得可以吗？

答：不可以。x=6，没有单位名称。等于6个什么，不知道具体的意思。

（分析：不管是天平实物图还是天平几何图，学生在从形象直观的图示到抽象概括的解法之间，仍然要迈过他们认为一定要迈过的坎儿，然后才能实现对解方程解法步骤的理解，否则学生解方程只是一个熟练的机械工。因为必须要这样，所以才会这样。）

访谈3.

A B

问（A）：你是怎么想到这种方法的？

答（A）：刚刚学了等式的基本性质，我想把它试着用过来，结果一看也是对的。

问（A）：你是怎么知道这种方法是对的呢？

答（A）：我先想6+3=9，那么x就是6了。一定是对的。

问（B）：你为什么直接用9-3了呢？ 答（B）：x是一个未知数，可以把它看作一个（ ），先想（ ）+3=9，6+3=9，要算出6来，所以列式是9-3=6。

问：你们觉得哪种方法更好一些？

答（不约而同）：当然是9-3=6了。那个用等式的性质来计算不仅写的时候要多写，看的时候也不清楚，所以还是用9-3=6好。

问：如果我们解方程就要求你们用等式的基本性质去解呢？

答（做大惊状）：老师，不会吧！那样写太烦了！

（分析：这次一起访谈了两个学生，而且是平时数学基础比较好的。当我们把两种方法对比着放在一起的时候，他们从内心里不接受用等式的基本性质来解方程。即使是A学生，他也只是为了多种方法才想到的等式性质，而且是先通过算出得数然后用得数验证这种方法的正确性。因此，要想让学生真正地接受教材中的方法和书写格式，需要再动脑筋，再花气力。）

四、结果分析

1.学生认知起点分析。

水平0：不知道x表示的意义，把x当作一个数去计算，求不出x的值。可以看出下面这个学生的3种方法是把x当作9来进行计算了。

水平1：知道x=6，但是过程无依据，有凑数之嫌。这三种方法是不同学生的凑6过程。

水平2：用数的组成和分解求出x的值，把x还原为算术方法中的（ ）来求解。学生主动把x变成（ ）然后再填空。

水平3：用假设法尝试，把x当作一个数，一个一个试过去，直到合适为止。

水平4：用四则运算的关系求解，并根据四则运算之间的关系进行变形。但是最后都能以x=6或者6=x作为结果。

水平5：用等式的基本性质求解，并根据等式的基本性质进行变形。其中第4个学生还会在等式的两边同时加上x。说明他已经把x也看作可以同加同减的式子了

。

2.教师教学起点分析。

因为题目简单，数据较小，学生一眼就能看出x的值是多少，所以他们感觉不到解方程的作用，更体会不到用等式的基本性质解方程的必要性。如何让学生感受到用等式基本性质解方程的优势呢？可否选择一眼看不出x的值而且运用四则运算关系无法解决的题目作为引题，然后利用化繁为简的思想介绍用等式的基本性质解方程的方法。比如2x+6=7x-4这个方程，学生看到它之后可能会无从下手，这时候教师可以利用天平图示对这个方程进行变式，让学生体会到通过一次次的变式之后就可以解决这个我们认为解决不了的问题，让学生体会到每一次变式用到的等式的基本性质分别是什么，从而对等式的基本性质增加“好感”，从内心接受这种思考方法。 →

等式两边同时减去（ ），等式两边仍然相等。

→

等式两边同时加上（ ），等式两边仍然相等。

→

等式两边同时除以（ ），等式两边仍然相等。

这个题目作为引题介绍利用等式的基本性质来解方程的优势，激发学生学习用等式基本性质解方程的兴趣。然后再教学例1，先出示直观的实物图式，看图列出方程或算式。

教材中只给了一个方程的式子，其实还可以启发学生想一想还能怎么列方程。如3+x=9，9-x=3，9-3=x。接着比较这4个方程，哪一个可以直接求出x的值？把其余的3个方程留在黑板上。我们已经知道了x的值是6，怎样用等式的基本性质来解释呢？接着要让学生看到实物图是怎样“走进”天平的。最好动态演示放球到天平上的过程，让学生把实物图示与天平图示建立起联系。

这个过程很重要，因为从实物图示到天平图示学生要建立的是天平两边相等的关系。这个关系和算术中的数量关系还是有所不同的。尤其是天平右边的9个球的呈现是对实物图示的一个最好说明。把球放到天平上后，要让学生明白天平左边的两部分各表示什么，天平右边的9个球表示什么？天平左右两边哪一部分是相同的？可以同时拿走？拿走后天平左右两边各自剩下了什么？为什么还是相等的？

接着让学生看书上的天平插图。明白每一个小方块表示的是一个足球。这里可以让学生自己再想一想，你还可以把一个足球看作什么图形或者符号或者字母？并把自己想的图形、符号、字母在天平图示上表示出来。

这样不同的学生可能想出不同的图形，比如用一个△表示一个足球，或者用一个字母a表示一个足球等。比较哪一种表示是最简便的，让学生经历符号化的过程，经历实物图抽象的过程，经历天平两边相等关系的构建过程。有了这样一个过程，相信学生对于x=6，x=6个□，x=6个△，x=6个a……就不会那么纠结了。