【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.2.2 导数的运算法则 课时作业]

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课时提升作业(四)

导数的运算法则

一、选择题(每小题3分，共18分)

1.已知物体的运动方程是s=t4-4t3+16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )

A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒

C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒

【解析】选D.显然瞬时速度v=s′=t3-12t2+32t

=t(t2-12t+32)，令v=0，可得t=0，4，8.故选D.

2.(2014·北京高二检测)函数y=x-sincos的导数为( )

A.1-sinx B.1+sincos

C.1-cosx D.以上都不正确

【解析】选C.y=x-sinx，y′=1-cosx.

3.曲线y=在点(4， e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A.e2 B.4e2 C.2e2 D.e2

【解析】选D.由导数的几何意义，切线的斜率

k=y′|x=4=|x=4=e2，

所以切线方程为y-e2=e2(x-4)，

令x=0，得y=-e2；令y=0，得x=2.

所以切线与坐标轴所围三角形的面积为×2e2=e2.

【变式训练】已知函数f(x)=x2在点(a，a2)(a>0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2，则a=( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.因为f(x)=x2，所以f′(x)=2x，

所以函数f(x)=x2在点(a，a2)(a>0)处的切线斜率为f′(a)=2a，切线方程为y-a2=2a(x-a)，

令x=0，得y=-a2，令y=0，得x=.

所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为××a2=2，解得a=2.

4.函数y=sin的导数为( )

A.3sin B.3cos

C.3sin2 D.3cos2

【解析】选B.y′=cos′

=3cos.

【误区警示】解答此题时易出现先用两角和公式展开再求导的做法，那样会使得运算复杂繁琐.直接用复合函数求导，可使运算简便.

5.(2014·天津高二检测)若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9相切，则a等于( )

A.-1或- B.-1或

C.-或 D.-或7

【解析】选A.设过(1，0)的直线与y=x3相切于点(x0，)，所以切线方程为

y-=3(x-x0)，即y=3x-2，又(1，0)在切线上，则x0=0或x0=，

当x0=0时，由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-，当x0=时，由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1，所以选A.

6.(2014·宁波高二检测)函数f(x)=x+xlnx在(1，1)处的切线方程为( )

A.2x+y-1=0 B.2x-y-1=0

C.2x+y+1=0 D.2x-y+1=0

【解析】选B.因为f′(x)=1+lnx+1=2+lnx，

所以f′(1)=2，

切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(ex)=x+ex，则f′(1)=________.

【解题指南】先求出函数f(x)的解析式，进而可求f′(1).

【解析】设t=ex，则x=lnt，故f(t)=lnt+t，f′(t)=+1，所以f′(1)=1+1=2.

答案：2

8.(2014·江西高考)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .

【解题指南】切线问题利用导数的几何意义求解.

【解析】设切点为(x0,y0),因为y′=lnx+1,

所以切线的斜率为k=lnx0+1,

又k=2得x0=e,代入曲线得y0=e.故点P的坐标是(e,e).

答案:(e,e)

9.(2014·广州高二检测)若函数为y=sin4x-cos4x，则y′=__________.

【解析】y′=4sin3xcosx-4cos3x(-sinx)

=4sinxcosx(sin2x+cos2x)=2sin2x.

答案：2sin2x

【一题多解】y=sin4x-cos4x

=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)

=sin2x-cos2x=-cos2x

y′=(-cos2x)′=-(-sin2x)(2x)′=2sin2x.

【变式训练】函数y=的导数为________.

【解析】方法一：y′=

==.

方法二：y==2-，

y′=-=.

答案：y′=

三、解答题(每小题10分，共20分)

10.求下列函数的导数

(1)y=x-2+x2.

(2)y=3xex-2x+e.

(3)y=.

【解析】(1)y′=(x2)′+(x-2)′=2x-2x-3.

(2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′

=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′

=3xln3〃ex+3xex-2xln2

=(ln3+1)〃(3e)x-2xln2.

(3)y′=

=

=.

11.已知曲线y=x3+.

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程.

(2)求过点P(2，4)的曲线的切线方程.

【解题指南】(1)y′即为切线的斜率.利用点斜式求出切线方程.(2)设出切点，求导后表示出切线斜率，写出用切点坐标表示的切线方程，又切点在曲线上，列出方程组可求得切点，从而求出切线方程.

【解析】(1)因为y′=x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k=4，所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.

(2)设曲线y=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点A，

则切线的斜率k=，

所以切线方程为y-=(x-x0)，

即y=x-+.

因为点P(2，4)在切线上，

所以4=2-+，

即-3+4=0，

所以+-4+4=0，

所以(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，

所以(x0+1)(x0-2)2=0，

所以x0=-1或x0=2，

所以所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

一、选择题(每小题4分，共16分)

1.(2014·济南高二检测)函数y=(2+x3)2的导数为( )

A.6x5+12x2 B.4+2x3

C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)·3x

【解析】选A.因为y=(2+x3)2=4+4x3+x6，

所以y′=6x5+12x2.

2.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解题指南】设出二次函数关系式，求导得出导函数关系式，利用图象是过第一、二、三象限的一条直线，确定其系数的符号，从而确定顶点坐标的符号.

【解析】选C.由题意可设f(x)=ax2+bx，f′(x)=2ax+b，

由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，

故2a>0，b>0，所以-<0，

则f(x)=a-，

顶点在第三象限，故选C.

【举一反三】将题目中条件“y=f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直

线”改为“y=f′(x)的图象是过第二、三、四象限的一条直线”结果应该如何?

【解析】因为y=f′(x)的图象是过第二、三、四象限的一条直线，

所以2a<0，b<0，-<0，->0，

所以顶点在第二象限.

3.(2014·长沙高二检测)函数y=sin2x-cos2x的导数是( )

A.2cos B.cos2x-sin2x

C.sin2x+cos2x D.2cos

【解析】选A.y′=(sin2x-cos2x)′

=(sin2x)′-(cos2x)′

=2cos2x+2sin2x

=2cos.

4.设函数f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=2x+1，则数列(n∈N*)的前n项和是

( )

A. B. C. D.

【解析】选A.因为f(x)=xm+ax的导数为f′(x)=mxm-1+a，

又f′(x)=2x+1，

所以m=2，a=1，

所以f(x)=x2+x，

即f(n)=n2+n=n(n+1)，

所以数列(n∈N*)的前n项和为：

Sn=+++…+

=++…+

=1-=.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.(2014·广东高考)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为 .

【解析】因为y′=-5e-5x,

y′=-5,

即在点(0,3)处的切线斜率为-5,

所以切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.

答案:5x+y-3=0

6.设函数f(x)=cos(x+φ)(0

【解题指南】先求出f′(x)，根据f(x)+f′(x)是奇函数，利用奇函数的性质f(0)+f′(0)=0可求出φ值.

【解析】f′(x)=-sin(x+φ)，

f(x)+f′(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)

=2sin.

若f(x)+f′(x)为奇函数，则f(0)+f′(0)=0，

即0=2sin，

所以φ+=kπ(k∈Z).

又因为φ∈(0，π)，所以φ=.

答案：

三、解答题(每小题12分，共24分)

7.求下列各函数的导数(其中a，n为常数)