人教版九年级数学上第1课时弧长和扇形面积同步练习含答案

24.4 第1课时 弧长和扇形面积

知识点 1 弧长公式及其应用

1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长l＝________，n°的圆心角所对的弧长l＝________．

2．(1)2016·岳阳在半径为6 cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm.

(2)有一条弧的长为2π cm，半径为2 cm，则这条弧所对的圆心角的度数是________；

(3)一条长度为10π cm的弧所对的圆心角为60°，则这条弧所在的圆的半径是________．

3．若半径为5 cm的一段弧的弧长等于半径为2 cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为( )

A．18° B．36° C．72° D．144°

4．2017·咸宁如图24－4－1，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则BD︵的长为( )

图24－4－1

A．π B.32π

C．2π D．3π

5．如图24－4－2所示，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧BC︵的长．

图24－4－2

知识点 2 扇形的面积公式及其应用

6．2016·宜宾半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )

A．3π B．6π C．9π D．12π

7．2017·天门一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是( )

A．300° B．150° C．120° D．75°

8．2017·泰州扇形的半径为3 cm，弧长为2π cm，则该扇形的面积为________cm2.

9．(1)在半径为6 cm的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是________；

(2)已知扇形的半径为2 cm，面积为2π cm2，则扇形的圆心角是________；

(3)若扇形的弧长为10π cm，面积为20π cm2，则扇形的半径为________．

10．2016·怀化已知扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，则该扇形的弧长等于________．

11．如图24－4－3，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接BC，OC.

(1)求证：∠BCD＝12∠COB；

(2)若OC＝10，∠BCD＝15°，求阴影部分的面积．

图24－4－3

12．2016·青岛如图24－4－4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB的长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( )

图24－4－4

A．175π cm2 B．350π cm2

C.8003π cm2 D．150π cm2

13．2016·山西如图24－4－5，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则FE︵的长为( )

图24－4－5

A.π3 B.π2 C．π

D．2π

14．2016·昆明如图24－4－6，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB垂直于弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，则下列结论不正确的是( )

图24－4－6

A．EF∥CD

B．△COB是等边三角形

C．CG＝DG

D.BC︵的长为32π

15．2017·舟山如图24－4－7，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm的⊙O，AB︵＝90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为________．

图24－4－7

16．2016·福州如图24－4－8，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD︵的中点，连接BM，

CM.

(1)求证：BM＝CM；

(2)当⊙O的半径为2时，求BM︵的长．

图24－4－8

17．2017·枣庄如图24－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，与AC，AB分别交于点E，F.

(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若BD＝2 3，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．

图24－4－9

18．如图24－4－10所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF.

(1)求证：OF∥BC；

(2)求证：△AFO≌△CEB；

(3)若EB＝5 cm，CD＝10 3 cm，设OE＝x cm，求x的值及阴影部分的面积．

图24－4－10

教师详解详析

1.πR180 nπR180

2．(1)4π (2)180° (3)30 cm

3．D [解析] 设这段弧所对的圆心角为n°，则有n180π·5＝2π·2，解得n＝144.

4．C [解析] ∵∠BAD＝12∠BOD＝12∠BCD，∠BAD＋∠BCD＝180°，

∴∠BOD＝120°.

又∵⊙O的半径为3，

∴BD︵的长为120π·3180＝2π.故选C.

5．解：连接OB，OC.

∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OB.

∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°－∠A＝60°.

∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.

∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴劣弧BC︵的长为60×π×6180＝2π(cm).

6．D [解析] S＝120×π×62360＝12π.

7．B [解析] 根据S扇形＝12l弧长r，求得半径r＝12 cm，由弧长公式l＝nπr180，得10π＝nπ·12180，解得n＝150.即此扇形的圆心角的度数是150°.

8．3π [解析] 根据扇形面积公式，得S＝12lr＝12×2π×3＝3π(cm2)．

9．(1)6π cm2 (2)180° (3)4 cm

10.10π3 cm [解析] 设扇形的弧长为l cm.∵扇形的半径为6 cm，面积为10π cm2，∴12l×6＝10π，解得l＝10π3.

11．解：(1)证明：∵AB⊥CD，∴CB︵＝BD︵.

如图，连接BD，则∠BCD＝∠BDC.

∵∠COB＝2∠BDC(圆周角定理)，

∴∠COB＝2∠BCD，即∠BCD＝12∠COB.

(2)∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，

∴∠AOC＝150°.

又∵OC＝10，

∴S阴影＝150π×102360＝1253π.

12．B [解析] ∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×(120·π×252360－120·π×102360)＝350π(cm2)．

13．C [解析] 如图，连接OE，OF.∵∠1＝∠C＝60°，OA＝OF，∴∠2＝60°.∵CD与⊙O相切，∴∠4＝90°，∴∠3＝90°，∴∠EOF＝180°－∠2－∠3＝180°－60°－90°＝30°.∵r＝12÷2＝6，∴FE︵的长＝nπr180＝30·π·6180＝π.

14．D [解析] ∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴AB⊥EF.

又∵AB⊥CD，

∴EF∥CD，故A正确；

∵AB⊥CD，∴BC︵＝BD︵，

∴∠COB＝2∠A＝60°.

又∵OC＝OB，

∴△COB是等边三角形，故B正确；

∵AB⊥CD，

∴CG＝DG.故C正确；

BC︵的长为60×π×3180＝π，故D不正确．

故选D.

15．(48π＋32)cm2 [解析] 连接AO，OB，作OD⊥AB于点D.因为AB︵＝90°，所以∠AOB＝90°，所以胶皮面积S＝S扇形ACB＋S△OAB＝34×π×82＋12×8×8＝(48π＋32)cm2.

16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD，∴AB︵＝CD︵.

∵M为AD︵的中点，∴AM︵＝DM︵，

∴AB︵＋AM︵＝CD︵＋DM︵，即BM︵＝CM︵，

∴BM＝CM.

(2)∵⊙O的半径为2，

∴⊙O的周长为4π.

∵AM︵＝DM︵＝12AD︵＝12AB︵，

∴BM︵＝AB︵＋AM︵＝32AB︵，

∴BM︵的长＝32×14×4π＝32π.

17．解：(1)BC与⊙O相切．

理由：连接OD.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD.

又∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切．

(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，

根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋(2 3)2，

解得x＝2，即OD＝OF＝2，

∴OB＝2＋2＝4.