2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(71)

衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A.21<a B. 21≤a C. 1≤a D. 1<a 2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．123.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）A ．64B ．81C ．128D ．2434.已知向量a ，b 满足1==+=a b a b ，则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）A.12B. 12-D. 5.已知已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为（ ）A.2B. 3C. 22D. 326.若(x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．1207. 设集合}3,2,1,0{=A ，如果方程02=--n mx x （A n m ∈,）至少有一个根A x ∈0，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ）A.6B.8C. 9D.108.如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O 且通过点C ，则阴影部分的面积为（ ）A ．14 B ．12 C ．13 D ．349.设0>ϖ,函数23sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=πϖx y 的图像向右平移34π个单位 后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A32. B.34 C.23D.3 10.点P 到点⎪⎭⎫⎝⎛0,21A ，()2,a B 及到直线21-=x 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是（ ）A.21 B.23 C.21或23 D. 21-或2111. 从点P 出发的三条射线,,PA PB PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于,,A B C 三点，若球的体积为43π，则OP 两点之间的距离为( )C.1.5D. 212.已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

加试模拟训练题（28）1、 已知△ABC ，设I 是它的内心，角A 、B 、C 的内角平分线别离交其对边于A '、B '、C '． 求证：14＜AI ·BI ·CI AA '·BB '·CC '≤827二、 设函数f ：[0，1] →R 知足：(2)f(1)＝1；(3)f(x)＋f(y)≤f(x ＋y)，x ，y ，x ＋y ∈[0，1]．求出最小的常数c ，使f(x)≤cx 对一切知足上述条件的函数f 及一切x ∈[0，1]都成立，并证明你的结论．3、 在一个圆上给了2000个点，从某点开始标上1，按顺时针方向隔一点标上2，再隔二点标上3(如图)，继续下去，标出1，2，…，1993．有些点会有不只一个数标记在其上，有的点没有标上任何数．问：被标上1993的那个点被标上的数中最小的是多少？ 4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].若是)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，若是))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.若是2)))((( n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.若是用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.加试模拟训练题（28）一、已知△ABC ，设I 是它的内心，角A 、B 、C 的内角平分线别离交其对边于A '、B '、C '．求证：14＜AI ·BI ·CI AA '·BB '·CC '≤827【题说】 第三十二届(1991)年国际数学奥林匹克题1．此题由原苏联提供．【证】 记BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，易知AIAA '＝b ＋c a ＋b ＋c ，BI BB '＝a ＋c a ＋b ＋c ，CI CC '＝a ＋b a ＋b ＋c由均值不等式AI ·BI ·CI AA '·BB '·CC '≤[13(b ＋c a ＋b ＋c ＋a ＋c a ＋b ＋c ＋a ＋b a ＋b ＋c )]3＝827另一方面，记x ＝b ＋ca ＋b ＋c ，y ＝a ＋ca ＋b ＋c ，z ＝a ＋ba ＋b ＋c ，那么AI ·BI ·CIAA '·BB '·CC '＝xyz ，不妨设x ≥y ≥z ，显然x ＋y ＋z ＝2，且z ＞a ＋ba ＋b ＋(a ＋b )＝12熟知正数u 、v (u ≥v )的和一按时，积uv 随v 的减少而减少，因此xyz ＝(2－z －y )yz ＞12(32－12)12＝14 二、 设函数f ：[0，1] →R 知足：(2)f(1)＝1；(3)f(x)＋f(y)≤f(x ＋y)，x ，y ，x ＋y ∈[0，1]．求出最小的常数c ，使f(x)≤cx 对一切知足上述条件的函数f 及一切x ∈[0，1]都成立，并证明你的结论．【证】最小常数c ＝2．第一，咱们证明：若是f 知足(1)－(3)，那么f(x)≤2x 对一切x ∈[0，1]成立．由(3)与(1)，f(x)≤f(x)＋f(y)≤f(x ＋y)，即f(x)在[0，1]上是增函数．对x ∈(0，1]，取非负整数n ，使而由(3)，2f(x)≤f(2x)，因此2n f(x)≤2n－1f(2x)≤2n－2f(22x)≤…≤f(2n x)≤f(1)＝1＜2n＋1xf(x)＜2x又显然有f(0)＋f(1)≤f(0＋1)＝f(1)，因此由(1)，f(0)＝0于是f(x)≤2x，x∈[0，1]．另一方面，令这函数显然知足(1)和(2)f(x)＋f(y)＝f(y)≤f(x＋y)即f(x)知足题述的所有条件．最小常数．3、在一个圆上给了2000个点，从某点开始标上1，按顺时针方向隔一点标上2，再隔二点标上3(如图)，继续下去，标出1，2，…，1993．有些点会有不只一个数标记在其上，有的点没有标上任何数．问：被标上1993的那个点被标上的数中最小的是多少？【题说】第十一届(1993年)美国数学邀请赛题9．标n．因此，两个正整数l、m标记同一个点当且仅当从而，若是标1993的点也标k，那么必需是4000的倍数．因为(1993－k)＋(1994＋k)＝3987不被2与5整除，因此1993－k和1994＋k奇偶不同，且不能同时被5整除．假设k＜1993，那么1994＋k＜32×125＝4000，因此1993－k和1994＋k中一个是125的倍数，另一个是32的倍数．考虑以下两种情形：(1)125|1993－k ，321|1994＋k因为1993＝15·125＋118，因此125|k －118，k ≥118，在k ＝118时，125|1993－k 而且32|1994＋k ．(2)125|1994＋k ，32|1993－k ，因为1994＝15·125＋119，因此k ＝125r －119，1993－k ＝32×62－125r ，从而32|r ，k ≥125×32－119＞118．因此，所求的数是118．4．如n 是不小于3的自然数，以)(n f 表示不是n 的因数的最小自然数[例如)(n f =5].若是)(n f ≥3，又可作))((n f f .类似地，若是))((n f f ≥3，又可作)))(((n f f f 等等.若是2)))(((= n f f f f ，就把k 叫做n 的“长度”.若是用n l 表示n 的长度，试对任意的自然数n （n ≥3），求n l ，并证明你的结论.（第3届全国中学生数学冬令营试题）【解】令m t n m,2=为非负整数，t 为奇数. 当m=0时，2)()(==t f n f ，因此l n =1； 当0≠m 时，设u 是不能整除奇数t 的最小奇数，记).(t g u =（1）假设.2,2))((,)(,2)(1===<+n m l n f f u n f t g 所以则（2）假设.3,2)3()))(((,3)2())((,2)(,2)(111======>+++n m m m l f n f f f f n f f n f t g 所以则故⎪⎩⎪⎨⎧>>==+.,2);)((2)(,,0,2,3;,11其他情形如上且为奇数当为奇数时当t g t g t m t n n l m m n。

2013年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|B x x A x A =-∈∉，2-．则集合B 中所有元素的和为__________．解：易知{}2,0,1,3B ⊆---．当2,3x =--时，222,7x -=--，有22x A -∉；而当0,1x =-时，222,1x -=，有22x A -∈．因此，根据B 定义可知{}2,3B =--．所以，集合B 中所有元素的和为5-．2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线4y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点，则OFAOFBSS⋅=__________．3. 在△ABC 中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =，则tan A 的值为___________．解：()()sin cos 10sin sin cos cos 10cos 10cos A A B C B C B C A -=-=-+=， 所以sin 11cos A A =，故tan 11A =．4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1___________．5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[0,1]x ∈，有()1f x ≤．则ab 的最大值为___________．解：易知()()()10,0a f f b f =-=，则()()()()()()()()()()222111101001112444ab f f f f f f f ⎫⎛=⋅-=--+≤≤⎪ ⎝⎭．当()()12012f f ==±时，14ab =．故ab 的最大值为14．6. 从1,2,,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为___________．7. 若实数,x y满足x -，则x 的取值范围是___________．8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,i ∈,8，均有112,1,2t t a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为____________．二、解答题（3小题，共56分）9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3n n S S n -≥=，这里1n n S x x =++．证明：存在常数0C >，使得2,1,2,n n x C n ≥⋅=．10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,A A 分别为椭圆的左、右顶点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥， 11RF PF ⊥，22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明．11.（本题满分20分）求所有的正实数对(),a b，使得函数()2=+满足：对任f x ax b意实数,x y，有()()()++≥．f xy f x y f x f y()加试一、（本题满分40分）如图，AB 是圆ω的一条弦，P 为弧AB 内一点，E 、F 为线段AB 上两点，满足AE EF FB ==，连线PE 、PF 并延长，与圆ω分别交于点C 、D ，求证 EF CD AC BD ⋅=⋅PBDCAEF二、（本题满分40分）给定正整数,u v ．数列{}n a 定义如下：1a u v =+,对整数1m ≥， 221m m m m a a ua a v +=+⎧⎨=+⎩ 记()121,2,m m S a a a m =+++=．证明：数列{}m S 中有无穷多项是完全平方数．三、（本题满分50分）一次考试共有m 道试题，n 个学生参加，其中,2m n ≥为给定的整数，每道题的得分规则是：若该题恰有x 个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x 分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m 道题的得分总和，将所有学生总分从高到低排列为12n p p p ≥≥≥，求1n p p +的最大可能值．四、（本题满分50分）设,n k为大于1的整数，2kn ．证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除．。

河北省衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分） 共120分钟一、 选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A.21<aB. 21≤a C. 1≤a D. 1<a2、如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、已知向量a ，b 满足1==+=a b a b ，则向量a ，b夹角的余弦值为（ ）A. 12B. 12- 3D. 3-4、若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是（ ）．A.xy42= B. yx42= C. xy82= D. yx82=5、设nS 为等比数列{}na 的前n 项和，若11a =，且2342,,2a S a+成等差数列，则数列2{}na 的前5项和为（ ）A ．34B ．10003C ．1023D ．10246、已知圆C 的圆心在射线()20y x x =≥上，且与x 轴相切，被y 轴所截得的弦长为23，则圆C 的方程是（ ）A.()222(4)20x y -+-= B. ()222(4)16x y -+-=C.()221(2)1x y -+-= D. ()221(2)4x y -+-=7、设双曲线1422=-y x的两条渐近线与直线2=x 围成的三角形区域（包括边界）为D ，P ()y x ,为D 内的一个动点，则目标函数y x z -=21的最小值为( ) A ．2- B ．223- C ．0D ．225-8、设0>ϖ, 23sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πϖx y 向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A. 32B.34C.23D.3 9、设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10、已知二次函数2()f x axbx c=++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( )A ．3B ．52C ．2D ．3211、点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，()2,a B 及到直线21-=x 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是（ ）A.21B.23C.21或23D ．21-或2112、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A B C ∠∠∠、、的对边，三边a 、b 、c 成等差数列，且4B π=，则cos cos A C -的值为( )A ．2 B ．2 C ．42 D ．第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、已知函数23()log log 2f x a x b x =++，且1()42003f =，则)2003(f =_____．14、已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形，侧棱长都相等，半径为2的球O 过三棱锥P ABC -的四个顶点，则PA = . 15、某几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 ． 16、如下图，已知抛物线2yx=及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120yy >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)nnA y ，1,2,3,n =.给出下列三个结论：① 数列{}ny 是递减数列； ② 对*n ∀∈N ，0ny>；③ 若14y=，23y=，则523y=.其中，所有正确结论的序号是 . 三.解答题（共6个小题，共70分）17、（本小题满分10分）已知()2f x x a a =-- （a ∈R ）. （Ⅰ）若(2)1f a ≤-，求a 的取值范围； （Ⅱ）若1a x =-，解不等式()2f x ≥.18、（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知bca cb 23)(3222+=+．（Ⅰ）若CB cos 2sin =，求C tan 的大小；（Ⅱ）若2=a ， ABC ∆的面积22=S ，且c b >，求c b ,．19、（本小题满分12分）. 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA= PD ，60BAD ∠=︒，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ; （Ⅲ）若2P BCDEQ ABCDVV --=，试求CPCQ 的值．20、（本小题满分12分）已知椭圆E ：2222b y a x +=1（a＞b ＞o ）的离心率e=22，且经过点（6,1），O 为坐标原点。