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数学九年级上册第2节一元二次方程的解法_第2课时_用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)课时训练

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1.2 第2课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)

当堂检测

1．用配方法解方程x2－5x＝4，应把方程的两边同时( )

A．加上52 B．加上254

C．减去52 D．减去254

2．用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )

A.()x－62＝－4＋36

B.()x－62＝4＋36

C.()x－32＝－4＋9

D.()x－32＝4＋9

3．将下列各式配方：

(1)x2－4x＋(________)＝(x－________)2；

(2)x2＋12x＋(________)＝(x＋________)2；

(3)x2－32x＋(________)＝(x－________)2；

(4)x2＋2 2x＋(________)＝(x＋________)2.

4．把方程x2－12x－3＝0化为(x＋m)2＝n(其中m，n为常数)的形式后为________．

5．用配方法解方程x2－2x－2＝0.

解：移项，得____________，

配方，得________，即________，

开方，得________．

解得x1＝________，x2＝________．

课后训练

一、选择题

1．用配方法解一元二次方程x2＋x＝－2，下一步骤配方正确的是( )

A．x2＋x＋12＝－2＋12 B．x2＋x＋22＝－2＋22

C．x2＋x＋(12)2＝－2＋(12)2 D．x2＋x＋9＝－2＋9

2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得( )

A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1 C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝109

3．把方程x2－6x＋3＝0化成(x－m)2＝n的形式，则m，n的值是( )

A．3，12 B．－3，12 C．3，6 D．－3，6

4．方程x2＋4x＝2的正根为( )

A．x＝2－ 6 B．x＝2＋ 6 C．x＝－2－ 6 D．x＝－2＋ 6

5.用配方法将二次三项式a2－4a＋5变形，结果是( )

A．(a－2)2＋1 B．(a＋2)2＋1 C．(a＋2)2－1 D．(a－2)2－1

二、填空题

6．填空：x2＋6x＋(________)＝(________)2.

7．用配方法解一元二次方程x2－43x＝1时，应先两边都加上________．

8．已知二次三项式x2－ax＋4是完全平方式，则a＝________．

9．[2014·岳阳] 方程x2－3x＋2＝0的根是__________．

10．若方程x2＋px＋q＝0可化为(x＋12)2＝34的形式，则pq＝________．

三、解答题

11．用配方法解下列方程：

(1)y2－2y＝3； (2)x2－6x－6＝0；

(3)x2＋9＝6x; (4)x2－23x－89＝0.

12．对于多项式x2－3x＋194，任意取x的值，多项式的值总为正数，你能说明其中的道理吗？你知道当x取何值时，多项式的值最小吗？最小值是多少？

拓展题

把关于x的方程x2－2x＋2＝0配方成为a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0的形式．

答案及解析

当堂检测

1．B [解析] 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，应把方程的两边同时加上254.故选B.

2．D [解析] 先将常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数一半的平方，即x2－6x＝4，x2－6x＋9＝4＋9，()x－32＝4＋9.故选D.

3．(1)4 2 (2)36 6 (3)916 34 (4)2 2

4．(x－6)2＝39 [解析] 移项，得x2－12x＝3，配方，得x2－12x＋36＝3＋36，即(x－6)2＝39.

5．x2－2x＝2 x2－2x＋1＝2＋1 (x－1)2＝3 x－1＝±3 1＋3 1－3

课后训练

1．[解析] C 由x2＋x＝－2，得x2＋x＋(12)2＝－2＋(12)2.故选C.

2．[解析] A 方程x2＋10x＋9＝0，整理，得x2＋10x＝－9，配方，得x2＋10x＋25＝16，即(x＋5)2＝16.故选A.

3．[解析] C 方程x2－6x＋3＝0变形得x2－6x＝－3，配方，得x2－6x＋9＝6，即(x－3)2＝6，可得m＝3，n＝6.故选C.

4．[解析] D ∵x2＋4x＝2，∴(x＋2)2＝6，∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6，∴方程x2＋4x＝2的正根为x＝－2＋ 6.故选D.

5．[解析] A a2－4a＋5＝a2－4a＋4＋1＝(a－2)2＋1.

6．[答案] 9 x＋3

7．[答案] 49

[解析] 两边加上一次项系数一半的平方，即两边应加上(－23)2＝49.

8．[答案] ±4

[解析] 二次项系数为1的二次三项式配方口诀：首平方，尾平方，积的二倍在中央．

配方的秘诀：加减一次项系数一半的平方．

x2－ax＋4＝x2－2·a2·x＋22，即a22＝4，解得a＝±4.

9．[答案] x1＝1，x2＝2

[解析] 由方程x2－3x＋2＝0，得x2－3x＝－2，则x2－3x＋94＝－2＋94，(x－32)2＝14，开方，得x－32＝±12，则x1＝1，x2＝2.

10．[答案] －12

[解析] (x＋12)2＝x2＋x＋14＝34，即x2＋x－12＝0，

即p＝1，q＝－12，

则pq＝－12.

11．解：(1)配方，得y2－2·y·1＋1＝3＋1，

即(y－1)2＝4，

开平方，得y－1＝±2，

所以y1＝3，y2＝－1.

(2)移项、配方，得(x－3)2＝15，

即x－3＝±15，

所以x1＝3＋15，x2＝3－15. (3)移项，得x2－6x＋9＝0，

即(x－3)2＝0，

解这个方程，得x1＝x2＝3.

(4)移项，得x2－23x＝89，

配方，得x2－2·x·13＋132＝89＋132，

即x－132＝1，

开平方，得x－13＝±1，

所以x1＝43，x2＝－23.

12．[解析] 多项式x2－3x＋194可配方变形为(x－32)2＋52，而x－322≥0，

所以x－322＋52≥52，

故原多项式的最小值为52.

解：x2－3x＋194＝x－322＋52.

∵x－322≥0，

∴x－322＋52≥52，

即原多项式的值总为正数．

当x＝32时，多项式的值最小，最小值是52.

【拓展题】

[解析] 此题把x－2看作整体，用配方法可化为(x－2)2＋2(x－2)＋2＝0.

解：方法一：

∵x2－2x＋2＝x2－4x＋4＋2x－4＋2＝(x－2)2＋2(x－2)＋2，

∴方程x2－2x＋2＝0配方成为a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0的形式为(x－2)2＋2(x－2)＋2＝0.

方法二：(待定系数法)

显然可设x2－2x＋2＝(x－2)2＋b(x－2)＋c，由于两边恒等，

故当x＝2时，两边也相等，即22－2×2＋2＝02＋b×0＋c，

∴c＝2.

从而x2－2x＋2＝(x－2)2＋b(x－2)＋2，

∴x(x－2)＝(x－2)2＋b(x－2)，

∴x＝(x－2)＋b，

∴b＝2，

从而x2－2x＋2＝(x－2)2＋2(x－2)＋2＝0.

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一元二次方程的解法第2课时

一元二次方程的解法第2课时

一元二次方程的解法第2课时

1．一元二次方程的求根公式及推导

(1)求根公式的定义

一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝－b±b2－4ac2a.这个式子称为一元二次方程的求根公式．

(2)求根公式的推导

一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的过程．具体推导过程如下：

由于a≠0，在方程两边同除以a，得x2＋bax＋ca＝0.

移项，得x2＋bax＝－ca.

方程两边同加上(b2a)2，得x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2，即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2.

由于4a2＞0，所以当b2－4ac≥0时，

可得x＋b2a＝±b2－4ac2a.

所以x＝－b±b2－4ac2a.

(1)配方法是推导求根公式的基础．

(2)由于4a2＞0，所以只有当b2－4ac≥0时，式子b2－4ac4a2才是非负常数，方程才能开方．

(3)由此可见，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．

【例1】方程3x2－8＝7x化为一般形式是________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为________．

解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8.因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝7±1456.

答案：3x2－7x－8＝0 3 －7 －8 7±1456

2．公式法解一元二次方程

(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．

(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．

(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：

①将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值．

九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程 解一元二次方程课标解读素材 (新

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解一元二次方程课标解读

一、课标要求

包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．?义务教育数学课程标准〔 2022年版〕?对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。

1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．

2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．

3．了解一元二次方程的根与系数的关系．

二、课标解读

1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的根本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部开展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元〞上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二〔三〕元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次〞降为“一次〞，这是本章学习的另一条主线．

与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的时机．根据?课程标准〔 2022年版〕?的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．

2．解一元二次方程的根本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，那么可令每个因式为0来解．

一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，表达了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程那么是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，表达了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．

华师大版数学九年级上第2讲 一元二次方程及解法

华师大版数学九年级上第2讲 一元二次方程及解法

第2讲 一元二次方程解法复习

知识要点

1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a、b、c、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个

时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：

①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；

③配方，即方程两边都加上 的平方；

④化原方程为2()xmn的形式，

如果n是非负数，即0n，就可以用 法求出方程的解。

如果n＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)axbxca，当24bac_______ 0时，x = ________

（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

①将方程的右边化为 ；

②将方程的左边化成两个 的乘积；

③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；

④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .

（1）acb42>0一元二次方程002acbxax有两个 的实数根,

即2,1xx

（2）acb42=0一元二次方程有两个 的实数根，即21xx,

（3）acb42<0一元二次方程002acbxax 实数根。

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(基础

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；

2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；

3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

要点诠释：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()aabbab．

知识点二、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

要点诠释：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．