第六章 定积分及其应用 总结

第六章 定积分

6.1 定积分的概念和性质

一、定积分问题举例

设在yfx区间,ab上非负、连续，由xa，xb，0y以及曲线yfx所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。

二、定积分的定义

定义 定积分

设函数fx在区间,ab上有界，在,ab中任意插入若干个分点011nnaxxxxb，把区间,ab分成n个小区间：

01121,,,,,,,nnxxxxxx

各个小区间的长度依次为110xxx，221xxx，…，1nnnxxx。在每个小区间1,iixx上任取一点i，作函数if与小区间长度ix的乘积iifx（1,2,,in），并作出和

1niiiSfx。

记12max,,,nPxxx，如果不论对,ab怎样分法，也不论在小区间1,iixx上点i怎样取法，只要当0P时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在区间,ab上的定积分（简称积分），记作bafxdx，即

bafxdx=I=01limniiPifx,

其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，,ab叫做积分区间。

定理1 可积性定理

设fx在区间,ab上连续，则fx在,ab上可积。

定理2 可积性定理

设fx在区间,ab上有界，且只有有限个间断点，则fx在区间,ab上可积。

三．定积分的性质

两个特殊的定积分

（1）如果fx在xa点有意义，则0aafxdx；

（2）如果fx在,ab上可积，则abfxdxbafxdx。

.

定积分的线性性

设函数fx和gx在,ab上都可积，k是常数，则kfx和fx+gx都可积，并且

（1）bakfxdx=bakfxdx;

(2) bafxgxdx=bafxdx+bagxdx

(3) bafxgxdx=bafxdx-bagxdx.

性质3 定积分对于积分区间的可加性

设fx在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的相对位置如何，都有cafxdx=bafxdx+cbfxdx。

性质 4 如果在区间,ab上fx1，则1badx=badx=ba。

性质 5 如果在区间,ab上fx0,则bafxdx0ab。

推论1。2 定积分的可比性

如果在区间,ab上，fxgx，则

bafxdxbagxdx，

bafxdxbafxdx。

用通俗明了的话说，就是定积分保持不等号。

性质 6 积分的有界性

如果fx在,ab上连续，且对任意的x,ab，都有mfxM，则bambafxdxMba。

性质 7 积分中值定理

如果函数fx在闭区间,ab上连续，则在积分区间,ab上至少存在一点，使下式

成立

bafxdx=fba，

且

f=1babafxdx

称为函数fx在区间,ab上的平均值。

6.2 微积分基本定理

一．积分上限的函数及其导数

定理1 微积分基本定理

如果函数fx在区间,ab上连续,则积分上限函数x=xaftdt在,ab上可导,并且它的导数是

'x=xadftdtdx=fxaxb.

定理 2 原函数存在定理

如果函数fx在区间,ab上连续,则函数x=xaftdt就是fx在,ab上的一个原函数.

二.牛顿-莱布尼茨公式

定理3 微积分第一基本定理

如果函数Fx是连续函数fx在区间,ab上的一个原函数,

则

bafxdx=FbFa

称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.

5.3 定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

假设函数fx在区间,ab上连续,函数xt满足条件

(1)a,b;

(2) t在,(或,)上具有连续导数,且其值域R,ab,则有

bafxdx='fttdt,

上面的公式叫做定积分的换元公式.

二、定积分的分部积分法

根据不定积分的分部积分法,有

'bauxvxdx 'bauxvxdx

'bauxvxuxvxdx

bauxvx'bavxuxdx

简写为

'bauvdx=bauv'bavudx

或

baudv=bauvvdu.

6.4 反常积分

一.无穷限的反常积分

定义1 设函数fx在区间,a上连续,取ta,如果极限limtatfxdx存在且为有限值,则此极限为函数fx在无穷区间,a上的反常积分,记作afxdx,即

afxdx=limtatfxdx.

这时也称反常积分afxdx收敛; 如果上述极限不存在,函数fx在无穷区间,a上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分afxdx发散.

设函数fx在区间,b上连续，取tb，如果极限limbttfxdx存在且为有限值，则此极限为函数fx在无穷区间,b上的反常积分，记作bfxdx，即

bfxdx=limbttfxdx，

这时也称反常积分bfxdx收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分bfxdx发散。

定义 设函数fx在区间,上连续，如果反常积分0fxdx和0fxdx都收敛，则称上述反常积分之和为函数fx在无穷区间,上的反常积分，记作fxdx，即

fxdx=0fxdx+0fxdx

=0limttfxdx+0limttfxdx

这时也称反常积分fxdx收敛；否则就称反常积分fxdx发散。

二、无界函数的反常积分

定义 无界函数反常积分

设函数()fx 在半开闭区间,ab 上连续,且 lim()tfxb,

则 ()lim()btaatfxdxfxdxb

如果等式右边的极限存在且为有限值,此时称反常积分收敛,否则称反常积分发散.

无界函数的反常积分

定义 设函数()fx在半开半闭区间,ab上连续,且lim()tafx,

则

()lim()btaatafxdxfxdx,

如果等式右边的极限存在且为有限值,此时称反常积分收敛,否则称反常积分发散.

积分函数在内点极限为∞的反常积分

设函数在()fx在,ab上除点 ()cacb外连续,且lim()xcfx , 则定义

()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx

lim()lim()tbattctcfxdxfxdx

如果等式右边的两个反常积分都收敛，否则称反常积分()bafxdx发散.

一类特殊的反常积分

1,1111,pifpdxpifdivergespx

6.5 定积分的几何应用

一、定积分的元素法

面积表示为定积分的步骤如下

（1）把区间],[ba分割成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.

（2）取出iA的近似值

（3） 求和，得A的近似值

（4） 取极限，得A的精确值

二、平面图形的面积

(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x)  0), 直线 x=a, x=b (a

面积微元: 面积

(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a

及y轴围成的平面图形的面积为

及y轴围成的平面图形的面积为：

二、立体的体积

1、旋转体的体积

一般地, 如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为：,d)(dxxfSiiixfA)(iix.)(1iinixfAiinixfA)(lim10badxxf)(baxxfSd)(baxxgxfSd)]()([(3) 由曲线0)(yx、直线)(,dcdycy .d)(dcyyS(4) 由曲线)(yx、)(yx直线)(,dcdycy

,)()(yy若.d)]()([dcyyySbaxxfVd)]([2