一类具反馈控制的种群动力学模型的稳定性与概周期解

第２８卷第９期　２０１１年９月　吉　林　化　工　学　院　学　报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　Ｊ１ＬＩＮ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　ＯＦ　ＣＨＥＭＩＣＡＬ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｖ０１．２８　ＮＯ．９　Ｓｅｐ．　２０１１　

文章编号：１００７－２８５３（２０１１）０９－０１００－０５　

一类具反馈控制的种群动力学模型的　

稳定性与概周期解　

于丽颖　

（北方工业学校数学教研室，辽宁盘锦１２４０２１）　

摘要：研究了一类具有反馈控制的种群动力学模型．通过利用微分方程比较原理和构造适当的Ｌｙａｐｕｎｏｖ　函数，得到了保证系统持久性、全局渐近稳定性和相应概周期系统存在唯一全局渐近稳定的概周期正解　的充分性判据．获得了一些新结果．　关键词：反馈控制；持久性；概周期解；全局渐近稳定性；Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数　中图分类号：Ｏ　１７５．１４　文献标志码：Ａ　

近年来，生物动力系统已成为了一个研究热点领域　．本文首先讨论系统的一致持久性，然后　研究系统正平衡点的全局渐近稳定性，最后就系统为概周期系统时证明其正概周期解存在唯一性．　

１动力学模型　

１９８０年，Ｇｕｍｅｙ…等提出了描述Ｎｉｃｈｏｌｓｏｎ飞蝇的动力学模型：　Ⅳ　（ｔ）＝一　Ⅳ（ｔ）＋ａＮ（ｔ—　）ｅ　“一　，ｔ≥０，　（１）　其中Ⅳ（ｔ）为在时刻ｔ的种群数量，ｏｔ是每只飞蝇产卵的最大速率，Ｉ／＃为种群以最大速率繁殖的数量，ｙ　为每只成虫的死亡率，．ｒ为生育时间．　２００３年，冯春华和葛渭高¨２　对模型（１）作了进一步推广，研究了非自治生态系统：　

Ｎ　（ｔ）＝一ｙ（ｔ）Ｎ（　）＋　（　）｝　ｋ（ｓ）Ｎ（ｆ一５）ｅ　州　”ｄｓ，　≥０，　（２）　

获得了系统（２）的概周期解存在唯一性的充分条件．　基于以上工作，本文提出在无时滞的模型（１）中引入一反馈控制变量，其模型如下：　ｆⅣ　（ｔ）＝Ｎ（ｔ）（一　＋　ｅ一　“　一ｐｕ（ｔ）），　，　【Ｍ　（ｆ）＝“（　）（一ａｕ（ｚ）＋ｂＮ（　））．　其中Ｎ（ｔ）表示时刻ｔ的飞蝇种群密度，ｔｔ（ｔ）表示时刻ｔ的控制变量（如天敌种群）的密度，ｏｔ，１３、　、ｐ、ａ、　ｂ都是正常数．本文假设初始条件为Ｎ（Ｏ）＝　（Ｏ）＞０，ｕ（Ｏ）＝０（ｏ）＞０．　系统（３）的生态意义是：在飞蝇种群密度过大的情况下，通过引人控制变量，借以实现生态系统的　稳定性，使得人们能够从中获益．　生物动力系统的动力学性质具有重要意义，历来受到学术界的重视．据悉，目前尚未见有系统（３）　的研究结果发表．　

２　一致持久性　

引理１　Ｒ　＝｛（Ⅳ（ｆ），“（￡））　ＩⅣ（￡）≥０，Ｍ（￡）≥０｝是系统（３）的正向不变集　

证明：　系统（３）等价于　

收稿日期：２０１１－０６—１０　作者简介：于丽颖（１９７４＇），女，辽宁兴城人，

北方工业学校副高级讲师，主要从事微分方程应用方面的研究　第９期　于丽颖：一类具反馈控制的种群动力学模型的稳定性与概周期解　１０　

｛　Ｎ　（。Ｏ　）ｅｘｐ｛　Ｊ＂￣　［

一－

口Ｔ　＋　ａｅ

＋＇￣Ｎ

６（　

Ⅳｓ）　

．］ｄｓ’：　

ｍａｘ｛Ｍ　｝　≥０　ｌ　ｆ　１、　１　【　Ｊ　

则田糸狁（３　明弟一／ｒ７）－程得　

（ｚ）≤盖一　￡）　ｌｉｍ…ｓｕｐ　Ｎ（￡）≤南・　

由比较原理知，　

＞０，　＞南，Ｖｔ＞　，Ⅳ（￡）≤Ｍｔ・　

由第二个方程，当ｔ＞Ｔ。时　

（ｔ）≤“（ｔ）（　一口Ｍ（¨）’ｌｉｍ…ｓ　ｕｐ“（ｔ）≤　ｂＭｉ．　

同理，　＞　，　＞　，Ｖｔ＞　，ｕ（￡）≤　．　

由系统（３）的第　个方程，当ｔ＞　时　

Ⅳ　（ｔ）≥Ⅳ（￡）（０ｆ—ｙ—ｐＭ２　ｆｌａＮ（￡）），ｌｉｍ。　ｉｎｆ＾　（ｔ）≥　．　

由比较原理知，　

．　ｊ　＞　，　＞ｍ，＞０，Ｖｔ＞　，Ⅳ（ｔ）≥ｍ　．　

Ⅱ，（ｔ）≥“（￡）（６ｍｌ一口　（１）），ｌｉｍ　ｉｎｆ　（￡）≥　．　ｆ＿　∞　ａ　同理，ｊ　＞　，—ｂｍ—ｌ＞ｍ２＞Ｏ，Ｖｆ＞　，　（ｆ）≥ｍ２．　ａ　综上，可知存在不依赖系统（３）任何正解的正常数ｍ　，Ｍ　（　＝１，２），获得紧集：　Ｄ＝｛（，ｖ（￡），ｕ（￡））∈Ｒ２＋ｌ　ｍｌ≤Ⅳ（￡）≤Ｍ，，ｍ２≤ｕ（ｔ）≤Ｍ２｝．　

并且知存在充分大的Ｔ＞０，当ｔ＞Ｔ时系统（３）的解都最终进人并保留在Ｄ内，即Ｄ是系统（３）的正向　不变集和最终有界区域，因此系统（３）是一致持久的．证毕　

３　全局渐近稳定性　

由系统（３）的等倾线　

’．：　（Ⅳ）＝　；　：　（＾／）：ｂＮ．Ｐ　。　ｎ　

易知，当　＞７时厂，与厂ｚ有一个正交点　（７ｖ’，ｕ　），其中。＜Ⅳ　＜　ｌｎ（詈），０＜ｕ　＜仅一

　吉林化工学院学报　２０］１年　

定理２　如果　＞ＴＲＩ３￣Ｔｅ（一　）＞６ｐ０ｃ，则系统（３）的正平衡点　（』、ｒ‘，Ｈ‘）是全局渐近稳定的．　

证明　将系统（３）改写为　

ｆＮ　（ｆ）＝／、，（￡）ｌ一触ｅ　“　（　（ｚ）一Ｎ　）一　（　（ｚ）一Ⅱ’）ｌ，　Ｊ　Ｌ　（４）　

【ｎ　（￡）＝ｕ（ｔ）ｆ一口（“（ｔ）一ｕ　）＋ｂ（Ｎ（ｔ）一Ｎ　）１．　

其中　（“一ｅ　＝一３ｅ　’（Ｎ（ｔ）一Ｎ　），ｆ（￡）位于卢Ⅳ（￡）与　之间．　由系统（３）一致持久性知，存在充分大Ｔ＞０，当ｔ＞Ｔ时　

ｍＩ≤Ｎ（ｔ）≤Ｍｌ，ｍ２≤Ｍ（ｔ）≤　．　构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数：　

）＝（Ⅳ（１）　一Ｎ＊Ｉｎ　十号（　ｌｎ　）．　

直接计算　（ｔ）沿系统（４）的右上导数有　

Ｄ　（ｔ）＝（ｕ（ｔ）一　’）　＋（　（ｔ）一ｕ．）甓　≤一　（Ⅳ（ｆ）一Ⅳ’）　一警（　（ｔ）一“　）　・　

取　＝ｍｉｎ｛　２，警｛，得到　Ｉ，≤一　［（Ⅳ（１）一Ⅳ。）　＋（　（ｚ）一　‘）　］，从　到ｔ积分得　

ｖ（ｔ）＋　ｌｔ　［（Ｊ７、ｒ（ｓ）一Ｎ’）　＋（　（ｓ）一Ｈ　）　］ｄｓ＜　（　）＜＋∞‘，ｔ＞　

并且（Ⅳ（ｔ）一Ｊ７、，　）：＋（ｕ（￡）一ｕ‘）　∈Ｌ－ｌ［　，＋∞，ｓｕ　ｐ．ｒ　［（Ⅳ（ｓ）一Ⅳ‘）　＋（　（ｓ）一ｕ　）　］ｄｓ＜　

＜＋ａｏ．由系统（３）的一致持久性知，Ｎ（ｔ）一Ｎ　，ｕ（ｔ）一Ｍ。和Ｎ　（ｔ），　（ｆ）是一致连续的，由Ｂａｒｂａｌａｔ　

引理知　ｌｉｒａ［（Ｎ（ｔ）一Ⅳ‘）　＋（ｕ（ｔ）一ｕ’）。］＝０，　

即…ｌｉｒａ　Ｎ（ｔ）：Ｎ’…ｌｉｒａ　（ｔ）＝　’・证毕　、　

４　正概周期解　

在实际的生态环境中，严格的周期现象几乎是不存在的，周期只是概周期的一个特例，因此研究概　

周期系统更具有实际意义．于是，假设　（ｔ），／３（ｔ），７（ｔ），ｐ（ｔ），０（ｔ），６（ｔ），均为定正连续的一致概周期　

函数，则系统（３）成为了一个概周期系统（５）　ｆⅣ　（ｔ）＝Ｎ（ｔ）（一　（￡）＋　（￡）ｅ　‘‘’　‘‘　一ｐ（ｔ）ｌ上（ｔ）），　

【Ｍ　（ｔ）＝“（ｔ）（一ｏ（ｔ）“（ｔ）＋６（ｆ）Ｎ（‘））．　本文设初始条件：Ｎ（０）＝　（Ｏ）＞０，ｕ（Ｏ）＝　（Ｏ）＞０．其中Ｎ（ｔ）＝　（ｔ），“（ｔ）一　（ｔ）都是ｔ　Ｅ　Ｒ＋＝　

『０，＋∞）上的概周期连续函数．对定义在Ｒ　上连续有界的概周期函数ｇ（ｔ），本文记：　ｇ３ｏ＝ｉｎ　ｆ｛ｇ（ｔ）｝，ｇｌ＝　ｕＰ｛ｇ（ｔ）｝．　

引理３砭＝｛（Ｎ（ｔ），“（ｔ））　Ｉ　Ｎ（ｔ）≥０，“（ｔ）≥０｝是系统（５）的正向不变集．　

证明　类似于引理ｌ的证明，从略．　定理３　如果　，口　，　（　。一ｙ。）＞６，　．Ｏ１．，则系统（５）是一致持久的．　

证明　类似于定理１的证明，可得系统（５）的紧集　

Ｕ：｛（Ｎ（ｔ），ｕ（ｔ））∈　：ｌ　ｈｌ≤Ｎ（ｔ）≤叼ｌ，ｈ２≤“（ｔ）≤　２｝．　

其　＞　＞　，　Ｉ＞０等　＞０．结论显然成立・

　第９期　于丽颖：一类具反馈控制的种群动力学模型的稳定性与概周期解　ｌ０３　

为着以下证明的方便，我们记系统（５）为如下形式　

：　ｔ，ｘ）．　（６）　

其中　ｔ，　）Ｅ　Ｃ（Ｒ　Ｘ　Ｄ，尺：）关于ｔ是一致概周期的．设系统（５）的伴随系统　

一ｄｘ　（ｆ）：ｆ＜ｔ，ｘ），ｄｙｄｚ（￣Ｏ　＝　￡，ｙ）．　（７）　

引理２［４　设　是　的一个开集，函数Ｖ（ｔ，　，Ｙ）定义在Ｒ＋Ｘ　Ｕ　Ｘ　Ｕ上，满足：　

（Ｉ）口（　一Ｙ　ＪＩ）≤ｖ（ｔ，　，），）≤６（ＩＩ　ｘ—Ｙ　Ｉ），其中口（ｒ）和６（ｒ）是连续且递增的正定函数；　

（Ⅱ）Ｉ　（ｔ，　。，Ｙ。）一　（ｔ，　２，Ｙ２）ｌ≤￡（ＩＩ　。一　：ｌｆ＋ｌＪ　Ｙ．一Ｙ２　ｌＩ），￡为一正常数；　

（Ⅲ）Ｄ　ｆ７１≤ＡＶ（ｔ，　，Ｙ），Ａ为一正常数．　

则系统（６）在Ｒ＋×Ｕ中存在唯一的正概周期解，且此解是大范围一致渐近稳定的．　

定理４　如果（ｉ）／３￣ａ０Ｔｏｅ（ｏ－ｏ—ｙｔ）＞ｂ，ｐ，ｃｌＩ；（ｉｉ）　ｅ　＞ｂｌ，（ｉｉｉ）ａ０＞Ｐｌ＇９则概周期系统（５）　存在唯一的正概周期解，且此解是全局渐近稳定的．　

证明　由定理３知系统（５）是一致持久的，且紧集Ｕ就是永久持续生存区域．我们考虑系统（５）的　伴随系统：　Ｎ　（ｆ）＝Ⅳ（ｔ）（一ｙ（ｆ）＋　（ｔ）ｅ叩‘‘’　‘‘’一ｐ（ｔ）　（ｆ）），　

“　（　）＝　（‘）（一口（‘）　（　）＋６‘　：　），　（８）　Ｐ　（￡）＝Ｐ（ｔ）（一ｙ（ｔ）＋ｏｔ（ｔ）ｅ巾‘‘’　‘”一ｐ（ｔ）ｖ（ｔ）），　

（ｔ）＝　（ｔ）（　口（ｆ）ｔＩ（ｔ）＋６（ｔ）Ｐ（￡））．　

设Ｘ（ｔ）＝（Ｎ（ｔ），　（ｔ）），Ｙ（ｔ）＝（Ｐ（ｔ），口（ｔ））为伴随系统（８）在Ｕ　Ｘ　Ｕ上的任意正解，在尺．Ｕ　Ｘ　Ｕ上　构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数：　（ｆ，　，Ｙ）＝ｌ　ＩｎＮ（ｔ）一ｌｎＰ（ｔ）Ｉ＋ｌ　ｌｎｕ（ｔ）一ｌｎｖ（ｔ）１．　

由于ｌｎＮ（ｔ）一ＩｎＰ（ｔ）＝　（ｔ）（Ⅳ（ｔ）一Ｐ（￡）），孝（￡）位于Ⅳ（ｔ）与Ｐ（ｔ）之间；ｌｎｕ（ｔ）一ｌｎｖ（ｔ）＝　

（ｔ）（“（ｔ）一ｔ，（ｔ）），　（ｔ）位于ｕ（ｔ）与　（ｔ）之间．　所以　ｍ（Ｉ　ｌＩｖ（￡）一Ｐ（￡）ｌ＋ｌ　ｕ（ｔ）一　（ｔ）Ｉ）≤ｖ（ｔ，Ｘ，ｌ，）≤Ｍ（ＩⅣ（ｔ）一Ｐ（ｔ）Ｉ＋Ｉ　ｎ（ｔ）一　（￡）Ｉ），　

其中ｍ＝ｍｉｎ｛　，　｝，Ｍ＝ｍａｘ｛者，忐）．进而，获得　

ｍ　ｆＩ　（　）一ｙ（ｆ）Ｊｌ≤　（ｔ）≤Ｍ　ｆＩ　（ｆ）一ｌ，（　）ｌｆ．　（９）　

取口（ｒ）＝ｍｒ，ｂｒ＝Ｍｒ，则引理２的条件（１）满足；　设　（ｔ）＝（＿Ⅳ（ｔ），ｕ（ｔ）），＿ｙ（￡）＝（户（ｔ），　（ｔ））是伴随系统（８）的另一正解，由绝对值不等式及微　

分中值定理，我们得到　ｌ　Ｖ，（￡，Ｘ，ｌ，）一　（ｔ，　，　Ｉ≤　（ＩⅣ（ｆ）一Ｔｖ（ｔ）ｌ＋ｌ　Ｐ（￡）一　（￡）Ｉ＋ｌ“（ｆ）一　（￡）ｌ＋Ｉ　（￡）一　（ｔ）１），　

即　ｌ　Ｖ，（ｔ，Ｘ，’，）一　（ｚ，　，＿ｙ）ｌ≤　（１ｌ　（ｔ）一　（￡）ｌＩ＋０　ｙ（￡）一　（＃）ｌ１）．　

从而引理２的条件（Ⅱ）满足；　下面我们来验证引理２的条件（１１Ｉ）也满足．事实上，直接计算Ｖ（ｔ，　，Ｙ）沿系统（８）的右上导数有　

Ｄ　（￡，Ｘ，Ｙ）Ｉ（　）＝ｓｇｎ｛Ｎ（ｔ）一ＪＤ（ｆ）｝｛卢（ｔ）ａ（ｔ）ｅ　…（Ｎ（ｔ）一Ｐ（ｔ））一Ｐ（ｔ）（“（ｔ）一ｔＪ（ｔ））｛　

＋ｓｇｎ｛ｕ（ｔ）一　（ｔ）｝｛一口（ｔ）（“（ｔ）一ｔ，（ｔ））＋６（ｔ）（Ｎ（ｔ）一Ｐ（ｔ））｝　、　≤一（／３。　ｏｅ一　一ｂ，）｝Ⅳ（ｔ）一Ｐ（ｔ）｛一（ｎ０一Ｐ　）ｌ　ｎ（ｔ）一　（ｔ）ｌ　

≤一６（Ｉ＾ｆ（　）一Ｐ（￡）ｌ＋ｌ　ｕ（￡）一　（ｆ）｝）：一６　（￡）一ｙ（ｔ）ＩＩ．