巧用分式方程的增根解决问题一、解分式方程的步骤：
二、分式方程增根的概念：
在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根。
三、产生增根的原因：
增根是在分式方程转化为整式方程去分母的过程中产生的。因为等号两边同乘以的最简公分母有可能是0，
因此就有可能产生满足整式方程，但是不满足分式方程的根。
注意：1.解分式方程必须要验根；
2.验根时只需要把求出的x的值代入最简公分母中，看是否为0。
四、常见的题型：
1.求增根问题：
方法是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最简公分母，若为零是增根，若不为零是原方程的根。
2.根据增根求待定系数问题：
步骤：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值。
初二上小专项(16)与分式方程有关的运算技巧练习含解析
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
〔本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做〕
方法技巧1裂项相消法解分式方程
1、解方程：1x（x＋1）＋1（x＋1）（x＋2）＋1（x＋2）（x＋3）＝1x＋3、
2、解方程：1x（x＋3）＋1（x＋3）（x＋6）＋1（x＋6）（x＋9）＝32x＋18、
方法技巧2两边通分法解分式方程
3、解方程：1x－4－1x－5＝1x－7－1x－8、
4、解方程：1x＋1＋1x＋4＝1x＋2＋1x＋3、
方法技巧3利用无解〔增根〕的意义解题
5、当m为何值时，分式方程mx＋1－2x－1＝3x2－1会产生增根？
方法技巧4分式方程根的情况求参数的取值范围〔易错点：忽视增根的情况〕
6、关于x的方程2x＋mx－2＝3的解是正数，求m的取值范围、
7、当a为何值时，关于x的方程x＋1x－2－xx＋3＝x＋a（x－2）（x＋3）的解为负数？ 参考答案
1、原方程变形为1x－1x＋1＋1x＋1－1x＋2＋1x＋2－1x＋3＝1x＋3、
整理，得1x－2x＋3＝0，
去分母，得x＋3－2x＝0，
解得x＝3、
经检验，x＝3是原分式方程的解、
2、原方程变形为13〔1x－1x＋3〕＋13〔1x＋3－1x＋6〕＋13〔1x＋6－1x＋9〕＝32x＋18、
整理，得1x－1x＋9＝92（x＋9），
去分母，得2〔x＋9〕－2x＝9x，
解得x＝2、
经检验，x＝2是原分式方程的解、
3、两边通分得：（x－5）－（x－4）（x－4）（x－5）＝（x－8）－（x－7）（x－7）（x－8），－1x2－9x＋20＝－1x2－15x＋56，6x＝36，x＝6、
经检验，x＝6是原分式方程的解、
4、移项得：1x＋1－1x＋2＝1x＋3－1x＋4，
两边通分得：1x2＋3x＋2＝1x2＋7x＋12，x2＋3x＋2＝x2＋7x＋12，－4x＝10，x＝－2、5、
第1页 共6页 分式方程及其应用（习题）
例题示范
例1：解分式方程：11322xxx．
【过程书写】
1(1)3(2)1136242xxxxxx解：
检验：把x=2代入原方程，不成立
∴x=2是原分式方程的增根
∴原分式方程无解
例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.
【思路分析】
列表梳理信息：
s（km） v（km/h） t（h）
快车 120 1.2x 1201.2x
慢车 120 x 120x
【过程书写】
解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.2x km/h，
由题意得，1201200.51.2xx
解得，x=40
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意
答：慢车的速度是40km/h．
巩固练习
1. 下列关于x的方程，其中不属于分式方程的是（ ）
第2页 共6页 A．1abaxa B．xabxba11
C．bxaax1 D．1nxmxmxnx
2. 解分式方程2236111xxx分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)xx
B．方程两边都乘以(1)(1)xx，得整式方程
2(1)3(1)6xx
C．解这个整式方程，得1x
D．原方程的解为1x
3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意可列方程为（ ）
A．1515112xx B．1515112xx
C．1515112xx D．1515112xx
八年级数学上册第十五章第3节分式方程解答题专题训练
(33)
一、解答题
x-6 x
(2)已知关于x的一元二次方程-x2 +-x-m^2无实数根，求m的取值范围.
2 3
2. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用12000元购书若干本，并按该书定 价70元出售，很快售完.由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高 了 20%,他用15000元所购该书数量比第一次多10本.
(1) 求两次购书的价格分别是多少？
(2) 若第二次购书按定价售出200本时，出现滞销，于是决定打折出售剩下这批书，那 么该商家最低打几折才能保证剩下书的利润率不低于5% ?
、 4 1 2
3. 解方程： ——-—I—= ；
-2x x x-2
4. 某校为美化校园，计划对面积为1100m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成. 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面 积为200m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天。
(1) 求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
(2) 若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.35万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化 总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
5. 足球是世界第一运动，参与足球运动可以锻炼身体，陶冶情操.“高新美少年，阳春蹴 鞠忙”，让学生走出教室，走进阳光，让每一位学生健康、快乐成长，是高新一中初中校 区一直秉承的理念.本月，我校第四届校园足球联赛落下了帷幕，并取得了四满成功.为 了举办本次活动，我校在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2600元， 购买乙种足球共花费1328元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2.5倍，且购买 一个乙种足球比购买一个甲种足球多花18元.求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多 少元？
6. 为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲乙两种型号的机器人用来进行垃圾分 类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分10kg,甲型机器人分类800千克垃圾所用的时间 与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等.
与分式方程根有关的成绩分类举例之杨若古兰创作
与分式方程的根有关的成绩，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供进修、复习有关内容时参考.
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值
解答此类成绩必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值.
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根.
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值.
例1. （2000年潜江市）
使关于x的方程axxax2224222发生增根的a的值是（）
A. 2 B. －2 C. 2 D. 与a有关
例2. （1997年山东省）
若解分式方程21112xxmxxxx发生增根，则m的值是（）
A. －1或－2 B. －1或2
C. 1或2D. 1或－2
例3. （2001年重庆市）
若关于x的方程axx1110有增根，则a的值为__________.
例4. （2001年鄂州市） 关于x的方程xxkx323会发生增根，求k的值.
例5. 当k为什么值时，解关于x的方程：1151112xxkxxkxx只要增根x=1.
评注：由以上几例可知，解答此类成绩的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值.
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围
例6. （2002年荆门市）
当k的值为_________（填出一个值即可）时，方程xxkxxx122只要一个实数根.
例7. （2002年孝感市）
当m为什么值时，关于x的方程21112xxmxxx无实根？
例8. （2003年南昌市）
已知关于x的方程11xmxm有实数根，求m的取值范围.
