Bihamiltonian approach to the closed string model in the background fields

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另一方面梁的轴向应变的表达式也会因变形大小的不同而采用不同的表达式比如小变形时应变而当考虑大变形时可能采用的应变表达式就是进而得到的梁的振动方程将会是一个含有高度非线性项的偏微分方程组
非线性动力学入门
张新华
西安交通大学 工程力学系 2011 年 07 月
前 言
─1687 年，牛顿(Isaac Newton, 1643 ～ 1727)发表了《自然哲学之数学原 理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)，标志着经典力学(亦即牛 顿力学)的正式诞生。牛顿力学主要研究自由质点系的宏观运动规律。 ─1788 年，拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736 ～ 1813)发表了分析力 学教程(Analytical Mechanics)，标志着拉格朗日力学的诞生。Lagrange 力学属 于分析力学的主要内容之一，在位形空间中研究带有约束的质点系动力学。 ─1833 年，哈密尔顿(William Rowen Hamilton, 1805 ～ 1865)对 Lagrange 力学进行了改造，引进了相空间(2n 维空间)，对系统内在的对称性(辛对称， Symplectic)进行了刻画。狭义上的哈密尔顿力学只适用于保守系统，而广义 的哈密尔顿力学在适用于非保守系统。哈密尔顿力学也属于分析力学的主要 组成部分。在此后发展起来的量子力学中 Hamilton 力学发挥着巨大的作用。 目前在天体力学、计算 Hamilton 力学，量子力学，甚至弹性力学(即所谓的 辛弹性力学)中哈密尔顿力学依然发挥着重要作用。 ─1927 年，Birkhoff(George David Birkhoff, 1844 ～ 1944)发表了“动力系 统”(Dynamical Systems)，标志着 Birkhoff 动力学的正式问世。Birkhoff 动力 学建立了研究非完整力学的框架。 ─1892 ～ 1899， 彭加莱(Henri Poincaré, 1854 ～ 1912)发表了三卷本的“天 体力学中的新方法”(New Methods of Celestial Mechanics)，系统性地提出了 研究动力学系统的定性方法，即几何方法。经典力学的目标之一就是设法求 得系统的解析解，而 Poincaré意识到对于大多数非线性系统而言，求其解析 解是不可能的，而必须发展新的研究方法。他超越了他的时代，极富远见地 预测到了非线性系统混沌现象(系统的解对初始条件具有极端敏感依赖性)的 存在。更为重要的是，Poincaré开创了研究非线性动力系统的几何方法，当之 无愧地被誉为非线性科学之父，其影响是划时代的。 ─1892 年，李亚普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857 ～ 1918)在 他的博士论文“运动稳定性的一般问题”(General problem of the stability of motion )中，系统地探讨了非线性动力学系统的稳定性问题。他提出了两种研 究稳定性的方法：李亚普诺夫第一方法(间接方法)和李亚普诺夫第二方法(直 接方法)。他从代数角度出发，对动力学系统的研究开创了一个崭新的领域。 彭加莱与李亚普诺夫，前者从几何角度，后者从代数角度，开拓了非线 性科学的研究疆域和研究手段。 ─1963 年，Lorenz(Edward Norton Lorenz, 1917 ～ 2008)发表了“确定性 非周期流”(Deterministic Nonperiodic Flow)的论文，认为大气系统的性态对 初值极为敏感，从而导致准确的长期天气预报是不可能的。该文标志着人类 首次借助于计算机发现了混沌(Chaos)现象的存在。 ─1757 年，欧拉(Leonhard Euler, 1707 ～ 1783)发表了压杆稳定性的论 文，首次探讨了力学系统的分岔现象。作为分岔理论重要分支的突变理 论(Catastrophe Theory)则主要由法国数学家托姆(René Thom, 1923 ～ 2002)于 上个世纪 60 年代创立，由齐曼(Christopher Zeeman，1925 ～)在 70 年代大力 推广普及。 ─1834 年，英国的罗素(John Scott Russell, 1808 ～ 1882)骑着马在 Union 运河上散步时，发现了现在称之为孤立波(又称作孤波，Solitary wave)的 i

哈密顿-雅克比方程哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi Equation）是一个数学方程，它在经典力学中扮演着重要的角色。

该方程描述了质点在势能场中运动的性质，并且在量子力学中也有相对应的形式。

下面将介绍哈密顿-雅可比方程的定义和意义，以及一些相关的数学性质和应用。

1. 定义和意义：哈密顿-雅可比方程是一个偏微分方程，描述了在哈密顿力学中，系统的哈密顿量H和系统的作用量S之间的关系。

哈密顿量H是系统的总能量，而系统的作用量S则是描述了质点运动的性质，比如轨迹、速度和能量等。

哈密顿-雅可比方程可以写成如下形式：H + ∂S/∂t = 0其中，H是哈密顿量，S是作用量，∂S/∂t是时间的偏导数。

哈密顿-雅可比方程的重要性在于它提供了一种描述系统演化的方法。

通过解哈密顿-雅可比方程，我们可以得到系统的运动方程和轨迹，从而更好地理解和预测物体在势能场中的运动行为。

2. 数学性质：哈密顿-雅可比方程是一个非线性偏微分方程，它一般较难解析求解。

但是，有一些特殊情况下，可以找到一些哈密顿量H 和作用量S的特殊形式，从而使方程得以简化。

比如，在势能场为保守场的情况下，哈密顿-雅可比方程可以通过分离变量的方法得到具体的解析解。

此外，哈密顿-雅可比方程还有一些重要的性质。

例如，根据哈密顿原理和哈密顿-雅可比方程的关系可以证明，作用量S满足哈密顿特征函数的正则条件。

这个条件保证了解析解的唯一性和连续性。

3. 应用：哈密顿-雅可比方程在物理学中有广泛的应用。

最常见的应用是描述经典力学中的运动行为，例如刚体的转动、行星的轨道和质点在势能场中的运动等。

通过求解哈密顿-雅可比方程，我们可以得到精确的解析解，并且可以从中获得丰富的物理信息，如轨道的形状、能量的守恒等。

此外，哈密顿-雅可比方程在量子力学中也有应用。

量子力学中的哈密顿-雅可比方程可以用于描述粒子的波函数演化和能量本征值等问题。

通过求解哈密顿-雅可比方程，我们可以得到量子力学中的定态波函数和能谱，从而更好地理解微观粒子的性质。

K物理中的常规物理量: BK
Short distance 贡献占主导 ⇒ OPE ⇒ Wilson coeff. C(µ) × operator Q∆S=2(µ)
He∆ffS=2 占间接CP 破坏 K 贡献的绝大部份
K
=
exp(i φ
) sin(φ
)
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
Im[⟨K
0 He∆ffS=2 ∆MK
格点QCD——超级计算机上的虚拟实验室
格点QCD：超级计算机上的虚拟实验室
格点QCD简介
格点QCD 40年
最早由诺贝奖获得者 Kenneth G. Wilson 在 1974 年提出 计算机上的第一个数值计算由 M. Creutz 在 1979 年实现 QCD 超级计算机 1983 – 2011
未来几年内，QCD 计算机进入Eflops时代，每秒进行1018浮点运算
格子上的QCD
QCD 格点离散化 夸克场位于格点上, ψ(x), xµ = nµa 胶子场由格点之间的链接来表示 Uµ(x ) = eiagAµ(x)
1 mπ
L a
计算机只能模拟有限的自由度 ⇒ 格距a不是无穷小，格子长度L不是无 穷大 欧氏时空路径积分: 闵氏时间被欧氏时间替代 x0 → −it ⇒ e−iHx0 → e−Ht = e−S[ψ,ψ¯,A] 但哈密顿量 H 在闵氏和欧氏时空是一致的
=++
FLAG average for = + RBC/UKQCD 15A RBC/UKQCD 13 FNAL/MILC 12I JLQCD 12 JLQCD 11 RBC/UKQCD 10 RBC/UKQCD 07
FLAG average for = ETM 10D (stat. err. only) ETM 09A QCDSF 07 (stat. err. only) RBC 06 JLQCD 05 JLQCD 05

with plenty of inspiration, but not many In fact, there are ample reasons why one might doubt whether Einstein’s vision is achievable, or at least achievable in the fore-seeable future. Crucial clues may be hope-lessly out of reach. When looking back at Einstein’s own work, most physicists would say that many of the most important clues for a unified field theory — involving strong andweak nuclear interactions, the roleof gauge theory and the world of elementary particles — were simplyand Newton’s gravitational constant,one can construct a natural unit of length — the Planck length. First defined by Max Planck a century ago, this length is so fantastically ror reflection— is oneof themostimportant findings ever madeabout elementary particles.In 1984, this flaw was abruptlyovercome when Green and Schwarza reasonable rough draft of particle physicsunified with gravity.And finally, string theory has proved tobe remarkably rich, more so than even theenthusiasts tend to realize. It has led topenetrating insights on topics from quarkconfinement to quantum mechanics ofblack holes, to numerous problemsin pure geometry. All this sug-gests that string theory is on theright track; otherwise, whywould it generate so many unex-pected ideas? And where criticshave had good ideas, they havetended to be absorbed as part ofstring theory, whether it was black-hole entropy, the holographicprinciple of quantum gravity,noncommutative geometry, ortwistor theory.well be the only way to reconcilegravity and quantum mechanics, but whatis the core idea behind it? Einstein under-stood the central concepts of general rela-tivity years before he developed the detailed。