2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题 1．复数21ii+的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.2．已知集合(){}210,|ln 61x A xB x Z y x x x ⎧⎫-==∈=+-⎨⎬+⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-【答案】A【分析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A ，B ，再进行交集运算即可. 【详解】解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故(1,1]A =-， 使对数型函数有意义，则一元二次方程260x x +->，即(2)(3)0x x +-<得23x -<<，故{1,0,1,2}B =-，所以{0,1}AB =.故选：A.3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算． 【详解】2222|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯+=故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】C【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果. 【详解】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故4222422216A A A A -=.故选：C.5．若10.3221,log 3,32a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】易得12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，然后由222log 3b =推出32b >比较即可.【详解】12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3222222log 3log 9log 82log 23=>==，32b ∴>， 又0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以c a b <<. 故选：D6．在ABC 中，,4B AD π=是BC 边上的高，且2CD AD =，则cos BAC ∠=（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】C【分析】设AD x =，求得,2,,BD x CD x AB AC ====，结合余弦定理，即可求解.【详解】设AD x =，因为,24B CD AD π==，所以,2,,BD x CD x AB AC ====，由余弦定理，可得222cos10BAC ∠==-. 故选：C.7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C .【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 8．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞【答案】D【解析】因为/()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2π-上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-，又cos sin )4t x x x π=+=+，且444x πππ-≤+≤，故sin()[1,1]4x t π≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1(1)0{{17(1)01h a a h a -≤≥⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:AQI 指数值 0~5051~100101~150151~200201~300300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日~20日AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占13C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】AD【分析】根据折线图中的信息，对每一个选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100， 第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确：对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14，故B 错误；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选: AD10．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ） A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案.【详解】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD【点睛】易错点睛：本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题.11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为132C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【分析】由已知可得||13OM c ==，再由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，从而有2||||3OE OP =，得23a b =，再结合222c a b =+可求出,a b 的值，进而可求得渐近线方程、离心率、OMN 的面积【详解】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）A ．四边形MENF 为平行四边形B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数 【答案】ABC【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据菱形面积公式判断B ，将四棱锥分解成两个小棱锥的和，根据小棱锥的体积公式判断C ，根据对称性得出11()22ABCD A B CD V h x V '''-===可判断D ．【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；若四边形MENF 面积1(),2S f x EF MN M ==⋅⋅为BB '中点时，即12x =时，MN 是短，此时面积最小，故B 正确； 连接,,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查柱锥台的体积，解答本题的关键是找到几何体中的定值，AEF 的面积是个常数且,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，考查学生空间想象能力，属于中档题．三、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为_________. 【答案】210【分析】先根据等差数列前n 项和公式得2n S n =，进而得nS n n=，再根据等差数列前n 项和公式即可得答案.【详解】解：因为数列{}n a 满足21n a n =-，所以数列{}n a 是等差数列， 所以()12(121)22n n n a a n n S n ++-===，所以n Sn n =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为2020(120)2102T +==. 故答案为：210.【点睛】结论点睛：若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列.14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________. 【答案】2【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求. 【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，由()0011f x x a'==+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.15．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________．351. 【解析】分析：取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥，可得点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作1OH A N ⊥于H ，可得355OH =，即可求得PQ 长度的最小值.详解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥.∵5PM =，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2 ∴1OP =∴点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值.作1OH A N ⊥于H ，则1A ON ∆的面积为1113222111212222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. ∴11322A N OH ⨯=，则355OH =. ∴PQ 长度的最小值为3515- 351. 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点P 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.四、双空题16．设抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________.【答案】2545 【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p 的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得CDF 的面积．【详解】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =， 如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =， 所以||3||AM BF =，||5||AB BF =， 所以3,45AM AB BM BF ==， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 整理得241740x x -+=，所以12174x x +=， 所以1225||4AB x x p =++=， 所以254||||sin 545CD AB BAM =∠=⨯=， 所以CDF 的面积为15252⨯⨯=， 故答案为：25,54．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．五、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，120,2,B BC ABC ∠=︒=的面积为23.(1)求AC ；(2)若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】（1）27（2）647+【分析】（1）由ABC 面积132322ABCSAB =⨯⨯⨯=，求得4AB =，然后在ABC 中，利用余弦定理得求解.（2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，利用余弦定理得到228()3m n mn =+-，然后利用基本不等式求得m n +最大值即可. 【详解】（1）由ABC 面积公式得1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=， 所以4AB =，在ABC 中，由余弦定理得22224224cos12028AC ︒=+-⨯⨯⨯=， 所以27AC = （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，由余弦定理得222(27)2cos 60m n mn ︒=+-，2()3m n mn =+-则22()2832832m n m n mn +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，即2()284m n +≤，所以m n +≤当且仅当m n ==时，等号成立. 所以四边形ABCD周长的最大值为6+18．在①234,,4a a a -成等差数列;②123,2,S S S +成等差数列;③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21log n n b n a =+，记数列242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明2nT <. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）选①：根据等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选②：根据等比数列的前n 项和定义以及等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选③：先求解出2a ，则等比数列的公比q 可求，则{}n a 通项可求；（2）先求解出{}n b 的通项公式，再求解出242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求解出n T 的结果，并证明出2n T <即可. 【详解】设等比数列的公比为(0)q q >， （1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，因为12a =，所以22332131412,2,2a a q q a a q q a a q q ======， 所以234224q q q =+-，即()()22211q q q+=+.又0q >，解得2q，所以2nn a =.选②：因为123,2,S S S +成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即()12112322a a a a a a ++=+++，化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即220q q --=， 又0q >，解得2q，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=， 因为n a 是等比数列，则212a q a ==， 所以2nn a =. （2）因为2nn a =，所以22(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n =+=+=+，所以22222422(21)112(1)(1)n n n b n n n n ⎛⎫++==- ⎪++⎝⎭， 所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221111112121223(1)(1)n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 222(1)n =-+因为n ∈+N 时，220(1)n >+，所以2n T <.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（31=-（4）()()1121121212121n n n nn ++=-----.19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .(1)证明:MN AH ⊥；(2)当H 为PC 的中点，3,PA PC AB PA ==与平面ABCD 所成的角为60°，求平面ABCD 与平面AMHN 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）连结AC BD 、且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，再利用线面平行证明//BD MN ，即证MN AH ⊥；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，利用线面成角60°求出线段之间关系，再建立空间直角坐标系，利用法向量成角求锐二面角的大小即可. 【详解】（1）连结AC BD 、且ACBD O =，连结PO .因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AH ⊂平面PAC ，所以，BD AH ⊥， 因为，//BD 平面AMHN BD ⊂，平面PBD ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN AH ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ︒∠=， 所以，13,2AO PA PO PA ==， 因为，3PA AB =，所以，36BO PA =. 以,,OA OD OP 分别为,,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA =， 所以，33(0,0,0),(1,0,0),0,,0,0,,033O A B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13(0,0,3),,0,2P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，23330,,0,2BD AH ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2333022yx z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0,23y z ==，所以，(2,0,23)n =.因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,3)OP =是平面ABCD 的一个法向量 记平面ABCD 与平面AMHN 所成角为锐二面角是θ， 则||3cos |cos ,|2||n OP n OP n OP θ⋅=<>==‖. 因为θ是锐角，所以平面ABCD 与平面AMHN 所成角为6π. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:前50名 后50名 近视 40 32 不近视1018(1)求a 的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.75a =，4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，34. 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可； （2）由列联表数据代入公式计算2K 的观测值2003.175 3.84163k =≈<，进而得答案； （3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为14，根据题意得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布求解即可得答案.【详解】（1）由直方图可得(0.250.521 1.75)0.21a ++++⨯=，所以0.75a =，4.10.50.2 4.30.750.2 4.5 1.750.2 4.710.2 4.90.750.25.10.250.2 4.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6. （2）因为2K的观测值2100(40181032)2003.175 3.8415050722863k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：0.2510.250.754=+所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，则1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3313(),0,1,2,344k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以0312013313271327(0),(1)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21302333139131(2),(3)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()344E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为14，进而得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭.是中档题. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点是(),0,F c P 椭圆上的一动点，且PF 的最小值是1，当PF 垂直长轴时，3||2PF =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切，且交圆22:4O x y +=于,M N 两点，求MON △面积的最大值，并求此时直线l 方程.【答案】（1）22143x y +=；（2y =【分析】（1）由||PF 的最小值为1，得到1a c -=，再由3||2PF =， 结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求得椭圆的方程.（2）设切线l 的方程为y kx t =+，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得2234t k -=，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得MON △的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 椭圆上的一动点，且||PF 的最小值是1，得1a c -=，因为当PF 垂直长轴时，可得3||2PF =，所以232b a =，即223b a =， 又由222a bc =+，解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由题意知切线l 的斜率一定存在，否则不能形成MON △，设切线l 的方程为y kx t =+， 联立22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223484120k x ktx t +++-=， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()222(8)4344120kt k t ∆=-+-=，化简得2234t k =+，则2234t k -=， 因为点O 到直线l的距离d =所以||MN ==||MN = 故MON △的面积为114||122||||S MN d t t =⋅==+ ， 因为22304t k -=≥，可得23t ≥，即t ≥1||||y t t =+在)+∞上单调递增，所以1||||t t +≥||t =则S ≤=MON △当||t =0k =，所以直线的方程为y =【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.22．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+. (1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222x xf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-.【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln x m x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立，即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln xm x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立. 设()(2)ln xh x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当1x >时，10x ->，且1,1x e e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<， 设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x →+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010x u e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增. ()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。
