四色定理简易证明
Zhou Yan-hui（周彦辉）
（Freelance，Beijing 100070，china）
摘要：首先，证明一个多边形只需要3种颜色就可以保证相邻的边不同
色。然后，将多边形的边换成折线-边界线，结论不变。最后，在地图上任选一个中心区域，以边界线的颜色代表相邻地区的颜色，即可证明只需要4种颜色就可以保证相邻的地区不同色。
关键词：多边形，颜色，折线，国家，地区
1、引言
四色定理是指在地图上只需四种颜色即可将所有的国家和地区分开，或者是相邻的两个国家或地区不能使用同一种颜色，只需要四种颜色就能保证这一点。
四色定理曾经是一个无法证明的定理，后来科学家用计算机经过上亿次验算才得以证明，但是，还有没有更简单的证明方法呢？
2、任意一个多边形相邻的两条边若不同色，只需3种颜色。
证明：
多边形的两条邻边须用不同的颜色，两条被隔离的边就可以使用同一种颜色。按照这条规则，如果一个多边形的边数是偶数，只需要2种就能保证；如果一个多边形的边数是奇数，则要增加一种颜色，即需要3种颜色（见图一）。图一所示是一个七边形ABCDEFG，唯独“FG”边的颜色是绿色。如果去掉“FG”，就是一个六边形，只需要红、黄两种颜色。
因此，一个多边形要保证相邻两边不同色，只需要3种颜色。
3、要保证两条相邻的边界线不同色，只需3种颜色。
证明：
一个国家的区域由数条边界线围成，将上述的多边形的每条边由直线段变成折线段，类似于地图上凹凸不平的边界线。折线虽然并非直线，似乎有数不清的边，但是，由于每条折线段都有两个端点，相邻的折线同样可以用不同的颜色加以区分。只要不涉及计算折线长度的问题，这个区域仍然可以按多边形处理。由前面的结论推论，要保证相邻的边界线不同色，只需3种颜色（见图二）。
4、地图上相邻的两个国家不能使用同一种颜色，那么，只要4种颜色就能保证这一点。
证明：
在地图上任意取一块地区作为中心区域O，它和周围地区的分界线就构成一个不规则的“多边形”。以每条边的颜色代表相邻地区的颜色，只要保证将邻边的颜色区分开来，就可以将地区之间的颜色分开（见图三）。
根据上面的推论，一个多边形只需要3种颜色，就能保证相邻的边不同色，再加上中心区域的一种颜色，共计4种。即用4种颜色即可将地图上的中心区域和相邻的区域彼此都分开。
由于中心区域的形状是任意的，而且，它的周围任意两个国家或地区都已经
分开了，结论对任何地方都适用。即用4种颜色就可以将地图上所有国家和地区分开。中心区域可以移动到任何一个位置，例如，将中心移到FE地区，FE地区目前的三个近邻用三个不同颜色标记，如果在它的上方再出现一个邻居，必然和O地区相隔离，两者可以使用同一颜色-白色(见图四)。
如果中心区域出现了国中之国，由于它本身受到中心区域的包围，与其它国家和地区相隔离，只要它的颜色与中心区域不同即可，因此可选绿、红、黄任意一种颜色。
