电磁场与电磁波课后答案

第一章 矢量场 1.1 z y x C z y x B z y x A ˆˆˆ3;ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2+-=-+=-+=ρρρ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB C ⨯ ； (e) ()ρρρA B C ⨯⨯ (f) ()ρρρA B C ⨯⋅ 解：(a) 14132222222=++=++=z y x A A A A ; (b) )ˆ2ˆˆ(61ˆz y x B B b -+==ρρ ( c) 7=⋅B A ρρ; (d) z y x C B ˆ4ˆ7ˆ---=⨯ρρ (e) z y x C B A ˆ4ˆ2ˆ2)(-+=⨯⨯ρρρ (f) 19)(-=⋅⨯C B A ρρρ 1.2 ρA z =++2∃∃∃ρπϕ; ρB z =-+-∃∃∃ρϕ32 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) B A ρρ+ 解：(a) 25π+=A ;(b) )ˆ2ˆ3ˆ(141ˆz b -+-=ϕρ;(c) 43-=⋅πB A ρρ (d) z A B ˆ)6(ˆ3ˆ)23(+--+=⨯πϕρπρρ (e) z B A ˆˆ)3(ˆ-++=+ϕπρρρ 1.3 ρA r =+-22∃∃∃πθπϕ; ρB r =-∃∃πθ 求:(a) A ； (b) ∃b ； (c) ρρA B ⋅ ； (d) ρρB A ⨯ ; (e) ρρA B + 解：(a) 254π+=A ； (b) )ˆˆ(11ˆ2θππ-+=r b ； (c) 22π-=⋅B A ρρ ； (d) ϕπθππˆ3ˆ2ˆ22++=⨯r A B ρρ ; (e) ϕπˆ2ˆ3-=+r B A ρρ 1.4 ρA x y z =+-∃∃∃2; ρB x y z =+-α∃∃∃3 当ρρA B ⊥时，求α。

解：当ρρA B ⊥时，ρρA B ⋅=0, 由此得 5-=α 1.5 将直角坐标系中的矢量场ρρF x y z xF x y z y 12(,,)∃,(,,)∃==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

解：(1)圆柱坐标系 由(1.2-7)式，ϕϕϕρsin ˆcos ˆˆ1-==xF ρ;ϕϕϕρcos ˆsin ˆˆ2+==y F ρ (2)圆球坐标系 由(1.2-14)式, ϕϕϕθθϕθsin ˆcos cos ˆcos sin ˆˆ1-+==r x F ρ ϕϕϕθθϕθcos ˆsin cos ˆsin sin ˆˆ2++==r yF ρ1.6 将圆柱坐标系中的矢量场ρρF z F z 1223(,,)∃,(,,)∃ρϕρρϕϕ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-9)式，)ˆˆ(2ˆsin 2ˆcos 2ˆ2221y y x x yx y x F ++=+==ϕϕρρ )ˆˆ(3ˆcos 3ˆsin 3ˆ3222y x x y yx y x F +-+=+-==ϕϕϕρ1.7将圆球坐标系中的矢量场ρρF r r F r 125(,,)∃,(,,)∃θϕθϕθ==用直角坐标系中的坐标分量表示。

解：由(1.2-15)式，)ˆˆˆ(5)ˆcos ˆsin sin ˆcos (sin 52221z z y y x x zy x z y x F ++++=++=θϕθϕθρ )ˆsin ˆsin cos ˆcos (cos 2z y x F θϕθϕθ-+=ρ22222ˆˆˆˆˆˆˆz y x z z y y x x y x y x x y r ++++⨯++-=⨯=ϕ}ˆ)(ˆˆ{112222222z y x y yz x xz yx z y x +-++++= 1.8求以下函数的梯度：(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6 (b) f z z (,,)sin ρϕϕρ=-+24(c) f r r (,,)cos θϕθϕ=-+252解：(a) z x y x xz y f ˆˆ10ˆ)105(-+-+=∇ (b) z z f ˆˆcos 2ˆρϕρϕρ-+-=∇ (c) ϕθθθθˆsin 5ˆsin 2ˆcos 2r rf --=∇ 1.9 求标量场f x y z xy z (,,)=+22在点(1,1,1)沿)ˆˆ(21y x l -=ρ方向的变化率。

解：)(21ˆx y l f l f -=⋅∇=∂∂1.10 在球坐标中，矢量场ρρF r ()为ρρF r k r r ()∃=2 其中k 为常数，证明矢量场ρρF r ()对任意闭合曲线l 的环量积分为零，即 ρρF dl l⋅=⎰0解：由斯托克斯定理, ⎰⎰⎰⋅⨯∇=⋅s l S d F l d F ρρρρ 因为0)ˆ(2=⨯∇=⨯∇r r k F ρ 所以 ρρF dl l⋅=⎰0 1.11证明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。

1.12由(1.4-3)式推导(1.4-4a)式。

1.13由(1.5-2)式推导(1.5-3a)式。

1.14计算下列矢量场的散度a) ρF yzx zyy xzz =++∃∃∃ b) ρF z z =++ρρϕϕ∃sin ∃∃2 c) ρF r r r =++2∃cos ∃∃θθϕ 解：(a) z x F +=⋅∇ρ(b) ϕρcos 2z F +=⋅∇ρ(c) θθθsin sin cos 42-+=⋅∇r F ρ1.15计算下列矢量场的旋度a) ρF xyx yzy z =+-∃∃∃2 b) ρF =+2∃sin ∃ρϕϕ c) ρF rr =++∃∃sin ∃θθϕ 解： (a) z x xy F ˆˆ2--=⨯∇ρ (b) ∧=⨯∇z F ρϕsin ρ (c) )ˆˆsin ˆcos 2(1ϕθθθ+-=⨯∇r rF ρ 1.16计算a) ∇∇∇ρ,,r e krb)∇⋅∇⋅∇⋅(∃),,()ρρρρr ke kr c)∇⨯∇⨯∇⨯ρρρρ,,(∃)r z 解：(a) ;ˆˆˆˆρϕρϕρρρ=∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇zz ;ˆsin ˆˆˆr r r r r r =∂ψ∂+∂ψ∂+∂ψ∂=∇ϕθϕθθ kr kr kr kr ke rr ke kr e e ˆ)(=∇=∇=∇ (b) ;2)(1=∂∂=⋅∇ρρρρρρ ;3)(122=∂∂=⋅∇r r r r r ρ kr kr kr kr kr ke r k e k k e e k e k ˆ)(⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=⋅∇ρρρρρ (c) ϕρρˆ)ˆ(;0;0=⨯∇=⨯∇=⨯∇z r ρρ 1.17已知ρA yx xy =-∃∃，计算ρρA A ⋅∇⨯() 解：0)(;ˆ2=⨯∇⋅-=⨯∇A A z A ρρρ 1.18已知∇⋅=∇⨯=ρρF x y z F δδδ()()(),,0计算ρF 解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⨯∇F ρ，所以0=A ρ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅∇=ΦV V r dz dy dx R z y x dV R r F r πδδδππ41''')'()'()'(41')'('41)(ρρρ24ˆr r F π=Φ-∇=ρ 1.19已知∇⋅=∇⨯=ρρFFz x y z 0,∃()()(),δδδ计算ρF 解：根据亥姆霍兹定理，因为0=⋅∇F ρ，所以0=Φ r z dz dy dx R z z y x dV R F A V V πδδδππ4ˆ'''ˆ)'()'()'(41''41==⨯∇=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρρ 24ˆˆ)ˆ1ˆ1(41ˆ41r r z z r z r r z A F πππ⨯=⨯∇+⨯∇=⨯∇=⨯∇=ρρ 1.20求矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρρρ穿过由ρϕπ≤≤≤≤≤1001,,z 确定的区域的封闭面的通量。

解：根据高斯定理，矢量场z z F ˆˆˆ++=ϕρρρ穿过由l z ≤≤≤≤≤0,0,1πϕρ确定的区域的封闭面的通量 ⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅=ψS V dV F S d F ρρρ 因为 31)(1=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z F F F F z ϕρρρρϕρρ 所以 ⎰⎰⎰==⋅∇=ψV l V dV F 2332πρ 第二章习题解 2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。

解：设z r ˆ=ρ,y r x r y r x r ˆ',ˆ',ˆ',ˆ'2321-=-===ρρρρ z y r r R z x r r R z y r r R z x r r R ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=ρρρρρρρρρρρρ 84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41024442333222221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=+++=ρ 2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。

(a) (b) (c) 题2-2图解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E ρρρρρ(b) 由对称性0321=++=E E E E ρρρρ(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为y ay x y x a E E E l la ˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021περπερ-=--+-=+=ρρρ半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为y a E l b ˆ20περ=ρ 总电场为0=+=b a E E E ρρρ2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。

解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为ϕρρad s l =,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为 y d x y a d r a E s s s ˆ)ˆcos ˆsin (22ˆ00000⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρρ 题2-3图 题2-4图2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。

解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，在点),(y x 处产生的电场为ρρρπε'ˆ21),(0dx y x E d s =ρ 其中 22)'(y x x +-=ρ；22)'(ˆˆ)'(ˆyx x y y x x x +-+-=ρ对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为)}2/2/(2ˆ)2/()2/(ln ˆ{4),(22220y a x arctg y a x arctg y y a x y a x x y x E s --+++-++=περρ 2-5.已知电荷分布为 ρ=≤>⎧⎨⎪⎩⎪r a r a r a220;;ρs b r a ==;r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。