电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答

第六章时变电磁场
有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。

滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.
解穿过导体回路abcda的磁通为
故感应电流为
一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。

设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。

解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为
故介质棒内的极化强度为
极化电荷体密度为
极化电荷面密度为
则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为
平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。

设、、，求回路中的感应电动势。

解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。

故回路中的感应电动势为
式中
故
则
有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。

讨论这两种情况下导线内的电场强度E。

解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为
而环形线圈的电感为L，故电压方程为
当U=U0时，电流i也为直流，。

故
此时导线内的切向电场为
当U=U（t）时，，故
即
求解此微分方程就可得到。

一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。

设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。

解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即
故电容器两极板间的位移电流密度为
则
式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。

流过电容器的传导电流为
可见
由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程
和
由得
据散度定理，上式即为
利用球对称性，得
故得点电荷的电场表示式
由于，可取，则得
即得泊松方程
试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。

解（1）在直角坐标中
（2）在圆柱坐标中
（3）在球坐标系中
已知在空气中，求和。

提示：将E代入直角坐标中的波方程，可求得。

解电场E应满足波动方程
将已知的代入方程，得
式中
故得
则
得
将上式对时间t积分，得
已知自由空间中球面波的电场为
求H和k。

解可以和前题一样将E代入波动方程来确定k，也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场H。

而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。

将两个电场比较，即可确定k的值。

两种方法本质上是一样的。

由
得
将上式对时间t积分，得
（1）将式（1）代入
得
将上式对时间t积分，得
（2）将已知的
与式（2）比较，可得
含项的E r分量应略去，且，即
将代入式（1），得
试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表示麦克斯韦方程。

解注意到非均匀媒质的参数是空间坐标的函数，因此
而
因此，麦克斯韦第一方程
变为
又
故麦克斯韦第四方程变为
则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为
写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。

解空气和理想导体分界面的边界条件为
根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式
即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件
式中，J ms为表面磁流密度。

提出推导的详细步骤。

解如题图所示，设第2区为理想导体（）。

在分界面上取闭合路径。

对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得
（1）
因为为有限值，故上式中
而(1)式中的另一项
为闭合路径所包围的传导电流。

取N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径的绕行方向成右手螺旋关系），则有
因
故式（1）可表示为
（2）
应用矢量运算公式，式（2）变为
故得
（3）
由于理想导体的电导率，故必有，故式（3）变为
在由理想导电壁（）限定的区域内存在一个由以下各式表示的电磁场：
这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何？
解如题图所示，应用理想导体的边界条件可以得出
在x=0处，
在x=a处，
上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量E y和磁场的法向分量H x。

另外，在x=0的表面上，电流密度为
在x=a的表面上，电流密度则为
海水的电导率，在频率f=1GHz时的相对介电常数。

如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。

对于良导体，例如铜，，比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。

可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。

写出H的微分方程。

解对于海水，H的微分方程为
即把海水视为等效介电常数为的电介质。

代入给定的参数，得
对于铜，传导电流的幅度为，位移电流的幅度。

故位移电流与传导电流的幅度之比为可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。

故对于铜，H的微分方程为
计算题中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。

解瞬时能流密度矢量为
为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式
故平均能流密度矢量为
写出存在电荷J的无损耗媒质中E和H的波动方程。

解存在外加源和J时，麦克斯韦方程组为
（1）
（2）
（3）
（4）对式（1）两边取旋度，得
而
故
（5）将式（2）和式（3）代入式（5），得
这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。

同样，对式（2）两边取旋度，得
即
（6）将式（1）和式（4）代入式（6），得
此即E满足的波动方程。

对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示
（7）
（8）
（9）
（10）对式（7）两边取旋度，得
利用矢量恒等式
得
（11）将式（8）和式（9）代入式（11），得
此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。

同样，对式（8）两边取旋度，得
即
（12）将式（7）和式（10）代入式（12），得
此即E满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。

在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令，试导出A
和所满足的微分方程。

解将电磁矢量位A的关系式
和电磁标量位的关系式
代入麦克斯韦第一方程
得
利用矢量恒等式
得
（1）又由
得
即
（2）按库仑规范，令，将其代入式（1）和式（2）得
（3）
（4）式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A和所满足的微分方程。

设电场强度和磁场强度分别为
证明其坡印廷矢量的平均值为
解坡印廷矢量的瞬时值为
故平均坡印廷矢量为
证明在无源空间（），可以引入一个矢量位A m和标量位，定义为
试推导m和的微分方程。

解无源空间的麦克斯韦方程组为
（1）
（2）
（3）
（4）据矢量恒等式和式（4），知D可表示为一个矢量的旋度，故令
（5）将式（5）代入式（1），得
即
（6）根据矢量恒等式和式（6），知可表示为一个标量的梯度，故令
（7）将式（5）和式（7）代入式（2），得
（8）而
故式（8）变为
（9）又将式（7）代入式（3），得
即
（10）令
将它代入式（9）和式（10），即得A m和的微分方程
给定标量位及矢量位，式中。

（1）试证明：；（2）B、H、E和D；（3）证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。

解（1）
故
则
（2）
而
（3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。