中考复习二次函数压轴题--二次函数中的存在性问题
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压轴题分类解析汇编--二次函数存在性问题
<1>每条题目给出了：1.原始题目（对照扫描试卷逐条检验，力求无差错）；2.完整解答（解答全面，完整绘图，对网上流传的错误答题进行了更正）；3.归纳考点；4.详细分析；5.考题出处；6.考题分值。
<2>专题为：
一、二次函数中有关面积的存在性问题
二、以直角或直角三角形为条件的存在问题
三、以特殊三角形为条件的存在问题
四、相似性的问题
第一讲：二次函数中有关面积的存在性问题
例1（山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于点1030AB，、，两点，与y轴交于点03.C，以AB为直径作M⊙，过抛物线上一点P作M⊙的切线PD，切点为D，并与M⊙的切线AE相交于点E，连结DM并延长交M⊙于点N，连结.ANAD、
(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
(2）若四边形EAMD的面积为43，求直线PD的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于DAN△的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
答案：解：（1）因为抛物线与x轴交于点1030AB，、，两点，设抛物线的函数关系式为：13yaxx，
∵抛物线与y轴交于点03C，，
∴30103a，
∴1.a
所以，抛物线的函数关系式为：223yxx，
又214yx， 因此，抛物线的顶点坐标为14，．
(2）连结EM，∵EAED、是M⊙，的两条切线，
∴EAEDEAAMEDMN，，，∴EAMEDM△≌△
又四边形EAMD的面积为43，∴23EAMS△，∴1232AMAE·，
又2AM，∴23.AE
因此，点E的坐标为1123E，或2123.E，
当E点在第二象限时，切点D在第一象限.
在直角三角形EAM中，23tan32EAEMAAM，
∴60EMA°，∴60DMB°
过切点D作DFAB，垂足为点F，
∴13MFDF，
因此，切点D的坐标为23，．
设直线PD的函数关系式为ykxb，将12323ED，、，的坐标代入得
3223kbkb解之，得33533kb
所以，直线PD的函数关系式为353.33yx
当E点在第三象限时，切点D在第四象限.
同理可求：切点D的坐标为23，-，直线PD的函数关系式为353.33yx
因此，直线PD的函数关系式为
35333yx或353.33yx
(3）若四边形EAMD的面积等于DAN△的面积
又22EAMDANAMDEAMDSSSS△△△四边形，
∴AMDEAMSS△△
∴ED、两点到x轴的距离相等， ∵PD与M⊙相切，∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为2y或2.y
当2y时，由223yxx得，16x；
当2y时，由223yxx得，12x.
故满足条件的点P的位置有4个，分别是123162162122PPP，、，、，、
4122.P，
第二讲：以直角或直角三角形为条件的存在问题
1．(荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y＝12x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝12x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝12x2＋bx＋c得
1,10.2cbc得解析式y＝12x2－32x＋1………………………………………………3分
(2)设C(x0，y0)，则有
00200011,2131.22yxyxx解得004,3.xy∴C(4，3)．…………………………………………6分
由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝32可知E(2，0)．
∴S＝12AE²y0－12AD³OB＝12³4³3－12³3³1＝92………………………………8分 第24题图 当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴BOOPPFCF．即143aa．
整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3
∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)
综上所述：满足条件的点P共有二个…………………………………………………12分
(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：
第三讲：以特殊三角形为条件的存在问题
1．(荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y＝12x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝12x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)
(1)求二次函数的解析式；
(2)求四边形BDEC的面积S；
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．
解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝12x2＋bx＋c得
1,10.2cbc得解析式y＝12x2－32x＋1………………………………………………3分
(2)设C(x0，y0)，则有
00200011,2131.22yxyxx解得004,3.xy∴C(4，3)．…………………………………………6分
由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝32可知E(2，0)． 第24题图 ∴S＝12AE²y0－12AD³OB＝12³4³3－12³3³1＝92………………………………8分
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．
∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴BOOPPFCF．即143aa．
整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3
∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)
综上所述：满足条件的点P共有二个…………………………………………………12分
(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：
2.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.
解：方法一：∵抛物线过C(0,-6)
∴c=－6, 即y=ax2+bx－6
由061214422baab 解得：a=161 ,b=－41
∴该抛物线的解析式为y=161x2－41x－6 -----------------3分
方法二：∵A、B关于x=2对称
∴A（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12)
C在抛物线上 ∴－6=a³8³(－12) 即a=161
∴该抛物线的解析式为：y=161x2－41x－6 --------3分
（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,
在Rt△AOC中，AC=2268==AD
∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，-----------4分
由已知∠PDC=∠ACD
∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分
DB=AB－AD=-=
∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=21AC=5 -----------------6分
AP=AD-PD=AD-DQ=-5=5
∴t=5÷1=5(秒)
∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分
在Rt△BOC中, BC=22126=65 ∴CQ=35
∴点Q的运动速度为每秒553单位长度.------------------8分
（3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9
在Rt△PQH中，PQ=2239=310 --------------------9分
①当MP=MQ，即M为顶点，
设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：
bkb206 解得：36kb
∴y=3x-6
当x=1时，y=－3 ∴M1(1, －3) ------------------------分
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.
设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：
42+y2=90 即y=±74
∴M2（1，74） M3（1，－74） -----------------------11分
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.
过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)
设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：
(y＋3)2+52=90 即y=－3±65
