高考数学一轮复习《导数的综合应用》PPT

k 解：(1)g(x)＝ln x＋x， x－k ∴令 g′(x)＝ x2 ＝0 得 x＝k. ∵x＞0，∴当 k≤0 时，g′(x)＞0. ∴函数 g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当 k＞0 时，g′(x)＞0 得 x＞k；g′(x)＜0 得 0＜x＜k. ∴增区间为(k，＋∞)，减区间为(0，k)．
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2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最 值问题． (2)求解不等式恒成立或有解问题时，可以考虑将参数分离出来， 将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
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1．实际问题的最值 (1)注意函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只 要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的 函数值比较． 2 ．判断方程根的个数或者函数的零点个数时，应先利用导数研 究函数的单调性、极值或最值情况，然后数形结合进行判定．
【解】
3a2 (1)f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝ ， x
由题意知 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 1 2 2 x ＋ 2 ax ＝ 3 a ln x0＋b， 0 0 2 即 2 3 a x0＋2a＝ . x0 3a2 由 x0＋2a＝ ，得 x0＝a 或 x0＝－3a(舍去)． x0 1 2 5 2 2 2 即有 b＝2a ＋2a －3a ln a＝2a －3a2ln a.
①当 a≥e 时，函数 F(x)在(0，e)上单调递减，F(e)为最小值 a 3 e 所以 F(e)＝1＋ － ≥0，得 a≥ ， e 2 2 所以 a≥e，
②当 a＜e 时， 函数 F(x)在(0， a)上单调递减， 在(a， e)上单调递增， a 3 F(a)为最小值，所以 F(a)＝ln a＋a－2≥0， 得 a≥ e， 所以 e≤a＜e. 综上， e≤a.

所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34，
对于任意实
若 方 程 f ( x ) ＝即m的最大值为－34.
数x，
0有且仅有一
f′(x)≥m恒
个实根，求a
成立，求m 的取值范围．
的最1大．值；设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
1．求参数的取值范围
与导数相关的参数范围问题是高考中 考查的一个重点，大多
给出函数的单调性，属运用导数研究 函数单调性的逆向问题，解
题关键在于灵活运用等价转化、分类 讨论、数形结合等思想方法，
建立关于字母参数的不等关系．
2．用导数方法证不等式
用导数证不等式的一般步骤是：构造可 导函数→研究单调性
数单调递增，∴当 x＝20 时，y 取得最小值，∴此轮船以 20 公里/ 小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
思想与方法
例题：(2011 年“江南十校” 联考)已知函数 f(x)＝ax3＋ bx2＋
cx 在 x＝±1 处取得极 值，且在 x＝0 处的切 线的斜率为－3.
8．利用数形结 合思想讨论函 数的图象及性
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)， 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.

利用数形结合来解决。
方法1：分离变量法(优先)
方法2：构造函数
，转化为 零点问题
方法3：构造两个函数的图象判断交点个数
方法4：转化为二次函数零点问题
方法5：转化为一次函数零点问题
类型五：利用导数研究函数与不等式问题
1、利用导数证明不等式的方法：证明
构造函数
。如果
，则F(x) 在
函数，同时若
，则由减函数的定义可知，
的值，要注意验证 左右的导数值的符号是否符 合取极值的条件。
（3）已知含参函数的极值点讨论 ①分类讨论根据 解（判断为极值点）
的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、 中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；
②注意数形结合。
注意：（1）在函数的整个定义域内，函数的极 值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极大
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
'( x) mi n
0；
函数f (x)在区间D单调递减 在f ' (x) 0在x D
恒成立 对x D, f ' (x) 0； max
试题研究：
例1、已知函数f (x) x ln x.
(1)若函数g(x) f (x) ax在区间e2, 上的增函数，
求a的取值范围；

（1）求的取值范围；
（2）设1 ，2 是()的两个零点，证明1 + 2 < 2.
来源： 2016年课表全国Ⅰ卷，21题，12分
一.题目分析
2.题目来源、背景
已知函数() = ( − 2) + ( − 1)2 有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）设1 ，2 是()的两个零点，证明1 + 2 < 2.
一.题目分析
4.数学思想方法
分类讨论思想
数形结合思想
转化与化归思想
5.典型性说明
本题考查的“利用导数研究函数零点问题”是导数及其应用章节的重要题型，由
零点存在情况求参数问题则是该题型重点考查的类型，属于对函数的综合考查，
难度较大，常在压轴题位置出现，主要考查学生数学运算和逻辑推理这两个核心
素养.
二.解题分析
解：(1)()’ = ( − 1) + 2( − 1) = ( − 1)( + 2).
(Ⅰ)设 = 0，则() = ( − 2) ，()只有一个零点.(不符合题意)
(Ⅱ)设 < 0，则由()’ = 0得 = 1或 = (−2).

2
若 ≥ − ，则(−2) ≤ 1,故当 ∈ (1, +∞)时，()’ > 0，因此()在(1, +∞)上
策略分析
解题分析
解题过程及评价
变式与拓展
教学启发
一.题目分析
已知函数() = ( − 2) + ( − 1)2 有两个零点.
（1）求的取值范围；
（2）设1 ，2 是()的两个零点，证明1 + 2 < 2.
1.题目的条件和结论
(1)函数有两个零点，求参数的取值范围，属于“由函数零点存在的情况求参数