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第一讲 三角形

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第一讲 三角形
知识点
一、 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
二、 性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
三、 判定：1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或
“SSS”）
2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或
“SAS”）
3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ASA”）
4、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角
边”或“SAS”）
5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、
直角边”或“HL”）
四、角平分线
1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
例1如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF.∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结
论 ①∠AFC=∠C;②DF=CF;③BC=DE+DF;④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是

____________ (填写所有正确结论的序号)
2

例2、如图,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上
两点,且∠BEC=∠CFA=∠a
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在直线CD上,请解决下面两个问题:①
如图①,若∠BCA=90°,∠a=90°,则BE__CF;EF__|BE-AF|(填“＞” “＜”
“=”)
②如图②,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件，
使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论。
(2)如图③,若直线CD经过∠BCA的外部,∠a=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线
段数量关系的合理猜想(不要求证明)

例3、如图,已知△ABC中,∠A=60°,BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,P为BE,CD
的交点求证:BD+CE=BC
3

例4、如图①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内任意一点,将AP绕点A顺
时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ,CP,则BQ=CP.
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,
从而证得BQ=CP.之后,他将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中其他条件不
变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明

例5、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过C点,且AD⊥MN于D,BE⊥MN
于E；(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时,求证:DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,求证:DE=AD-BE;
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等
量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。
4

运用勾股定理求最值
例6如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，
在容器内壁离容器底部3cm的B处有一粒饭，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且
离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A.13cm B.261cm C. 61cm D.234cm

例6图 变式1图 例7图 变式2图
变式1、如图，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路线

爬行路程最短？最短路程是多少？已知长方体的长为2cm，宽为1cm，高为4cm.

例7、如图，A,B两村在河边CD的同侧，A,B两村到河边的距离分别为AC=1km，
BD=3km，又CD=3km，现要在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水，铺设
水管时工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水
管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.

变式2. 如图，∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角两边上有两点R,Q(均不
同于点O),则△PQR周长的最小值是_______;当△PQR周长为最小值
时,∠QPR=________.
5

第一讲 三角形练习题
1、如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E,并且AE=21(AB+AD),求
∠ABC+∠ADC的度数。

2、如图,将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°,B点落在B′点位置,A点落在A′点位
置,若AC⊥A′B′,则∠A=______。
3、在△ABC中,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=__________。
4、如图,△ABC中,∠ABC=45°°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于

点F,DH⊥BC于H,交BE于点G.下列结论:①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=21BF；④AE=BG,其
中正确的是（ ）
A、①② B、①③ C、①②③ D、①②③④

第1题图 第2题图 第4题图
5、如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点
(1)若E,F分别是AB,AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD
(2)当点F,E分别从C,A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA,AB运动,到点
A,B时停止.设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式;
（3）如图②，在（2）的条件下，点F,E分别沿CA，AB的延长线继续运动，求此时y与x的
函数关系式。

第5题图
6

6、
如图,△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO,若

∠BAC=80°,则∠BCA的度数为________.
7、在平面直角坐标系中,已知点A(3,-3),P是y轴上一点,则使△AOP为等腰三角形的点P
共有( )个
A．2 B.3 C.4 D.5
8.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点,∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与
边AB,AC交于E,F两点,下列结论:

①BE+CF=22BC;②S△AEF≤41S△ABC;③S四边形AEDF=AD·EF;④AD≥EF;⑤AD与EF可能互相平
分.其中正确结论的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

第6题图 第8题图 第9题图
9、
河岸L同侧的两个居民小区A,B到河岸的距离分别为a米、b米(如图①所示,AA=a

米,BB′=b米),A'B′=c米,现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计),使C
到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.
(1)在图②中画出绿化带的位置,并写出画图过程;
(2)求AC+BD的最小值

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一讲 全等三解形的性质和判定

一讲 全等三解形的性质和判定

广州市培贤教育学校升初二数学 （新课）班讲义第一讲 全等三角形的性质和判定全等三角形的性质[学习过程] 活动11、观察老师出示的图形（教材中的图形），从中寻找形状大小相同的图形。

2、你能再举出一些生活中的例子吗？3、归纳概念 全等形：能够 的两个图形叫做全等形。

全等三角形：能够 的两个 叫做全等三角形 “全等”用符号 表示，读作“ ” 如图1，∆ABC 与∆DEF 全等，记作： A DC E F 图1注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。

（问题：怎样找全等三角形的对应顶点？对应边？对应角？）活动21、观察图1，∆ABC 怎样移动可得到∆DEF ？ 观察图2，∆ABC 怎样移动可得到∆DBC ？ 观察图3，∆ABC 怎样移动可得到∆AED ？ C D 图2 图3 问题：各图中的两个三角形全等吗？为什么？若是全等三角形，请找出每对三角形的对应顶点，对应边，和对应角。

名师点睛A D C2、用两块全等的三角板重合放在桌面上，让其中一块绕一个顶点旋转，你能画出几种不同的位置关系？在下面框图中画出图形并说出对应元素。

活动3通过活动2的观察和操作，你觉得全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？归纳：全等三角形的性质：全等三角形的对应边全等三角形的对应角[巩固练习]基础训练1、如图，∆OCA≅∆OBD，C和B，A和D是对应点。

说出这两个三角形中相等的边和角。

C BOA D2、如图，∆ABC≅∆CDA，AB和CD，BC和DA是对应边。

写出其它对应边及对应角。

A3、如图，∆ABC ≅∆AEC ，∠B =30O ，∠ACB =85O 。

求∆AEC 各内角的度数。

A能力提升4、如图∆ABC ≅∆DEF ，∠F 和∠C 是对应角。

在∆ABC 中，AB 是最长边，在∆DEF 中，DE 是最长边。

AC =2.1cm ,AE =1.1cm ,ED =3.3cm 。

（1）写出其它对应边及对应角。

F （2）求线段DF 和BE 的长度。

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1


证明 ∵AB∶BC＝5∶6， ∴设 AB＝5k，BC＝6k(k>0). ∴在矩形 ABCD 中，有 CD＝AB＝5k，BC＝ AD＝6k，∠B＝∠C＝∠D＝90°. ∵EC＝16BC，∴EC＝16×6k＝k.∴BE＝5k. ∵FC＝35CD，∴FC＝35×5k＝3k. ∴DF＝CD－FC＝2k.
在 Rt△ADF 中，由勾股定理得 AF2＝AD2＋DF2＝36k2＋ 4k2＝40k2，同理可得 AE2＝50k2，EF2＝10k2. ∴AF2＋EF2＝40k2＋10k2＝50k2＝AE2. ∴△AEF 是直角三角形. ∵FG⊥AE，由直角三角形的射影定理， 得 EF2＝GE·AE.∴AE＝5 2k，∴GE＝EAFE2＝510k22k＝ 2k. ∴4GE＝4 2k.又∵AG＝AE－GE＝5 2k－ 2k＝4 2k， ∴AG＝4GE.
例中项；两条直角边分别是它们在斜边上射影与_斜_边___的 语言
比例中项 符号 在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则CD2＝BD·_A_D_； 语言 AC2＝AD·_A_B__；BC2＝BD·B_A__
图形 语言
作用 确定成比例的线段
要点一 射影的概念 例 1 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC
∵四边形 ABD1D 为矩形，∴BD1＝AD＝1， ∴线段 AD 在直线 BC 上的射影长为 1.
(2)由(1)的作图知，D1C 即为线段 DC 在直线 BC 上的射 影.∵DD1＝AB＝2，∠DCB＝60°，∴D1C＝tanD61D0°＝
2 ＝2 3
3 3.∴线段
DC
在直线
BC
上的射影长为2 3
3.
要点二 与射影定理有关的计算问题 例 2 如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，
第一讲相似三角形的判定及有关性质

第一讲相似三角形的判定及有关性质

△ADE与四边形DECB的面积之比为 1∶3 .
SADE 1 , 解：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 SABD 2
1 3 所以SADE SABC , SDECB SABC , 4 4 SADE 1 所以 . S DECB 3
2
4.如图，Rt△ABC中,∠C＝90°,CD是斜边上的高,AC＝5, BC＝8,则S△CDA∶S△CDB等于(
点评
比例求值，求面积，求线段长，它们是一个有机的统一
体，它们可以互为条件，以相似三角形为核心，有时借助平行线分 线段成比例定理，演绎出众多题型和方法.
【变式迁移】 2.如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若△AEF的面 积等于6cm2,则△ADF的面积等于 18 cm2．
解：由题意得△AEF与△CDF为相似三角形,又AE∶CD=1∶3, 由△AEF的面积为6cm2得△CDF的面积为54cm2, 又S△ADF∶S△CDF＝1∶3,所以S△ADF=18cm2．
解：因为AD⊥BC，所以△ADB是直角三角形， 又DE⊥AB，由射影定理，AD2＝AE·AB， 同理可得，AD2＝AF·AC，
AE AC 3 . 所以AE·AB＝AF·AC，所以 AF AB 4
拓展练习1：如图，在RtABC中，AF 是斜边BC上的 高线，且BD DC FC 1，则AC
图5
B
图4
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线，必平分另一腰。
符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
第一讲 相似三角形的判定及有关性质(6)

第一讲 相似三角形的判定及有关性质(6)


A
B´
C´ D´
O周长 AD k. O周长 AD
AD 2 ( ) O面积 2 k 2. O面积 ( AD ) 2 2
问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长 比，面积比与相似比有什么关系？
结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比 等于相似比；面积比等于相似比的平方。
解:设正方形PQMN为加工成 的正方形零件.边QM在BC上, 顶点P,N分别在AB,AC上. △ABC的高与边PN相交于点 E.设正方形的边长为xcm. PN // BC
A P E
N
x
APN ∽ ABC 12 x x AE PN 12 24 AD BC
B
Q
D
M
C
x 8(cm )
习题1.4 2.如图，△ABC中∠BAC=60°CD⊥AB
1 求证：BD=AB- AC 2
B D
60° A C
3.如图，已知线段a,b.求作线段a和b的比例中项。 a b
BC2 BD AB 8 10 80, 解得BC 8 5.
习题1.4 1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25
求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169,AC=65,BC=156
例2 △ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且
CD² =AD· DB 求证： △ABC是直角三角形。
R
r
四 直角三角形的射影定理
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线 的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
A
N
M
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在 这条直线上的正射影间的线段。